15.1 图形的轴对称-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）江西专用

第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1 轴对称及其性质 知识要点扫描 其中∠BAD=150°，∠B=40°，则∠ACD的度 1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条 数是 直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 【解】65 个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的 【点拨】根据轴对称的性质，得∠BAC= 对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称 ∠DAC,再由∠BAD的度数可求出∠BAC的 度数，再利用三角形的内角和定理求出∠ACB 点.这时，也说这个图形关于这条直线对称 2.两个图形成轴对称：把一个图形沿着某 的度数，再次利用轴对称的性质可得∠ACD 一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重 =∠ACB 合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴） 基础对点训练 对称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重 知识点① 轴对称图形 合的点是对应点，叫作对称点 1.（2025一2026上饶信州区期末)“致中和，天 3.轴对称的性质：(1)成轴对称的两个图 地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐 形全等；(2)成轴对称的两个图形中，连接对称 平衡思想的体现.下列大学的校徽图案是轴 点的线段被对称轴垂直平分 对称图形的是 4.线段的垂直平分线：经过线段中点并且 垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直 平分线。 D 经典例题剖析 2.跨语文学科汉字是中华文明的标志，从商 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是 朝后期被认为是汉字的第一种形式的甲骨 文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草 书、行书等多种字体，每种字体都有着各自 鲜明的艺术特征.下面的小篆体字是轴对称 图形的是 【答案】D 【点拨】A,B,C三个选项中的图形都能找 到一条直线，使图形对折后能够完全重合，是 A B D 轴对称图形，不符合题意；D选项的图形找不 知识点② 轴对称 到一条直线，使图形对折后能够完全重合，不 3.预防近视，保护眼睛，提高全民的重视程度， 是轴对称图形，符合题意 加强预防刻不容缓.视力表中的字母“E”有 【例2】如右图，一种滑 各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个 翔伞的形状是关于直线B 字母“E”不能关于直线1成轴对称的是 AC对称的四边形ABCD, 上册第十五章 E山山EEE白 知识点④ 轴对称变换 8.如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A= B D 20°，D是AB上一点.将△ABC沿CD折 4.通过找出图中图形符号所蕴含的内在规律， 叠，使点B落在AC边上的点B'处，则 在空白处的横线上填上恰当的图形. ∠ADB'的度数为 () A.30° B.20° C.55° D.40° 第4题图 B 知识点③轴对称的性质及垂直平分线的定义 5.如图，直线MN是四边形AMBN的对称 第8题图 第9题图 轴，P是直线MN上的点，连接AP,BP.下 9.(2025一2026上饶广丰区期中)如图，在三角 列判断错误的是 ( 形纸片ABC中，AB=10,BC=8,AC=6, A.AM=BM B.AP=BN 沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C C.∠MAP=∠MBPD.∠ANM=∠BNM 落在AB边上的点E处，折痕为BD,则 △AED的周长为 10.几何直观如右图，将长方 形纸片ABCD沿EF折 叠，使点A与点C重合，点 N 第5题图 第6题图 D落在点G处 6.(教材变式)如图，已知△ABC和△A'B'C (1)求证：△FGC≌△EBC. 关于直线MN对称. (2)若AB=8,AD=4,求四边形ECGF(阴 (1)连接AA',则AA'的垂直平分线是 影部分)的面积. (2)若∠B=110°，∠C'=40°，则∠BAC的 度数为 7.如下图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B= 50°，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， 点D,B'均在BC边上，点B的对称点是B' 求∠CAB'的度数， 432 八年级数学RJ版 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 色知识要点扫描 (BE=BE. 在Rt△BDE和Rt△BCE中， 1.线段垂直平分线上的点与这条线段两 BD=BC, 个端点的距离相等. .Rt△BDE≌Rt△BCE(HL), 2.与线段两个端点距离相等的点在这条 .'ED=EC, 线段的垂直平分线上. .BE垂直平分CD 3.两个命题的题设、结论正好相反，我们 【点拨】先根据“HL”判定Rt△BDE≌ 把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如 Rt△BCE,得到ED=EC,结合已知条件BD 果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它 =BC以及线段垂直平分线的判定定理，可以 的逆命题 证得BE垂直平分CD 4.如果一个定理的逆命题经过证明是真 已基础对点训练 命题，那么它也是一个定理.这两个定理叫作 知识点① 线段垂直平分线的性质 互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆 1.如图，CD是线段AB的垂直平分线，P为直 定理 线CD上的一点.若PA=5,则PB的长是 经典例题剖析 ( 【例1】如右图，△ABC中， A.6 B.5 C.4 D.3 AC边的垂直平分线分别交 AC,AB于点D,E,AD=3cm, △ABC的周长为18cm,则 △BEC的周长为 第1题图 第2题图 A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm 2.如图，DE,DF分别是线段AB,BC的垂直 【答案】C 平分线，连接DA,DC,则 ( 【点拨】由DE是AC的垂直平分线可得 A.∠A=∠C B.∠B=∠ADC AC=2AD=6cm,EA=EC.由△ABC的周长 C.DA=DC D.DE=DF 为18cm可得AB+BC=18-AC=12cm,故 3.如图，在△ABC中，AB=AC, △BEC的周长为BE十EC+BC=(BE+AE) DE是线段AB的垂直平分线. +BC=AB+BC=12 cm. 若AB=12,BC=8,则△BCE B 【例2】如右图，在 的周长为 第3题图 Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 变式题如图，在△ABC中，AB 是AB上一点，BD=BC,过点 =AC=10,AB的垂直平分线 D作DE⊥AB交AC于点E.求证：BE垂直平分 DE交AC于点D,交AB于点 CD. E,连接BD.若△DBC的周长 B 【解】：∠ACB=90°，DE⊥AB, 变式题图 为17，则BC的长为 ∴.∠ACB=∠BDE=90. 33 上册第十五章 4.如右图，AB=AE,BC=ED, 8.一题多解法如下图，在△ADB和△ADC AF是线段CD的垂直平分 中，∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠ACD,连 线.求证：∠B=∠E. 接BC.求证：AD垂直平分BC. 知识点②线段垂直平分线的判定（含定义） 5.如图，AC=AD,BC=BD,则 知识点③ 互逆命题与互逆定理 A.CD垂直平分ABB.AB垂直平分CD 9.下列定理中，没有逆定理的是 () C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对 A.线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等 B.内错角相等，两直线平行 C.对顶角相等 D D.角的平分线上的点到角两边的距离相等 第5題图 第6题图 10.命题“互补的角是邻补角”的逆命题是 6.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC =BD十AD,则点D在线段 的垂直平分线上 7.如图，在△ABC中，AB边 易错点 对“点在垂直平分线上”和“线 的垂直平分线L1交BC于B 段的垂直平分线”区分不清出错 点D,AC边的垂直平分线 11.如图，直线1与线段AB L2交BC于点E,l1与l2相 交于点O,点P在直线U 交于点O,△ADE的周长 第7题图 上，且PA=PB,则下列O 为6cm. 结论中，正确的有() 第11题图 (1)BC的长为 ①AO=BO;②PO⊥AB;③∠APO= (2)点O (填“在”或“不在”)BC ∠BPO;④点P在线段AB的垂直平 的垂直平分线上，其理由是 分线上 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 34 八年级数学RJ版 第2课时 线段的垂直平分线的作法 知识要点扫描 ①PQ为直线I的垂线；②CA=CB;③PO 线段的垂直平分线的作法 =QO;④∠APO=∠BPO. 已知：线段AB. 4.如图，已知△ABC≌△DEF,且点A,B,D, 求作：线段AB的垂直平 E在同一直线上.根据要求用无刻度的直尺 分线 作图（保留作图痕迹，不写作法）. 作法：如右图 (1)在图①中作出线段BE的垂直平分线. (1)分别以点A和点B为 (2)在图②中作出线段AD的垂直平分线. 圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于 C,D两点. (2)作直线CD,CD就是所求作的直线， 基础对点训练 图① 图② 知识点① 线段垂直平分线的作法 知识点② 作对称轴 1.根据如图所示的尺规作图的痕迹，可判断 5.如图，△ABC与△DFE关于直线1对称.请 AD一定为△ABC的 ( 仅用无刻度的直尺，在图①与图②中分别作 A.角平分线 出直线，并写出作法 B.中线 A(D) C.高线 B D D.都有可能 第1题图 2.(2025一2026南京溧水区检测)已知△ABC 图① 图② (AC<BC),用尺规作图的方法在BC上确 定一点P,使PA十PB=BC,则符合要求的 作图痕迹是 ( 6.已知图①、图②都是轴对称图形.请仅用无 刻度的直尺，按要求完成下列作图（保留作 图痕迹，不写作法)： (1)在图①中，作出该图形的对称轴. (2)在图②中，作出点P的对称点P'. 3.如图，已知直线1及直线外一 点P,观察图中的尺规作图痕 迹，则下列结论不一定成立的 是 (填序号) 第3题图 图① 图② 上册第十五章 35△(2)由(1)，得△ACD≌△CBE, ..AD=CE=10.CD=BE=4, ..BF=DE=CE-CD=10-4=6, .EF=BF+BE=6+4=10, ..EF=AD. 又，∠FEG=∠ADG=90°， ∠FGE=∠AGD, .△FEG≌△ADG(AAS), G.DG=EG=DE=3. 13.B14.B 15.1【解析】设点I到边AB的距离为x,则 1 1 1 7×5·x+2×4·x+2×3·x2×4×3 解得x=1.故点I到边AB的距离为1. 16.解：(1)证明：如图，连接BD,CD. :'AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF ⊥AC,.DE=DF,∠BED= G ∠CFD=90°. :DG⊥BC且平分BC, .BG=CG,∠BGD=∠CGD=90°. 又.'DG=DG,.△BGD≌△CGD(SAS), .'BD=CD. BD=CD, 在Rt△BED和Rt△CFD中， DE=DF, '.Rt△BED≌Rt△CFD(HL),,.BE=CF」 (2)AD平分∠BAC,∴.∠EAD=∠FAD. (∠AED=∠AFD=90°， 在△AED和△AFD中，{∠EAD=∠FAD, AD=AD. ∴.△AED≌△AFD(AAS),∴.AE=AF 设BE=x,则CF=x. .AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF, .5-x=3+x,解得x=1,∴.BE=1,.AE=AB BE=5-1=4. 17.C18.D19.C 20.证明：DE∥AB,.∠D=∠ABC 又BD=AB,DE=BC, ∴.△BDE≌△ABC(SAS),.BE=AC. 21.证明：：∠CBE=∠CDF,∠ABC+∠CBE=180°， ∠ADC+∠CDF=180°， .∠ABC=∠ADC ∠ABC=∠ADC, 在△ABC和△ADC中，∠ACB=∠ACD, AC=AC. ∴.△ABC≌△ADC(AAS), ..AB=AD. 22.解：(1)证明：，C是线段AB的中点，∴.AC=CB B. 1 .CD∥BE,.∠DCA=∠B ∠A=∠ECB, 在△DAC和△ECB中，{AC=CB, ∠DCA=∠B, ∴.△DAC≌△ECB(ASA). (2):AB=16, ∴.BC=8. ,△DAC≌△ECB, ..CD=BE. 又，CD∥BE, ∴.∠DCE=∠BEC. .CE=EC, ,.△DCE≌△BEC(SAS), ∴.DE=BC=8. 第十五章轴对称 15.1 图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.B2.B3.C 4.8【解析】观察图形可发现规律：每个图形都是由两个 英文大写字母构成的轴对称图形，且按顺序排列，其中 奇数位置上下对称，偶数位置左右对称. 5.B6.(1)MN(2)30° 7.解：△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点D,B 均在BC边上， .∠B=∠ABD=50°. ∠BAC=90°， .∠C=90°-50°=40° 又：∠AB'D=∠C+∠CAB', .∠CAB'=∠AB'D-∠C=50°-40°=10°. 8.D【解析】：∠ACB=100°，∠A=20°，∠B=60°. 由折叠的性质可知，∠DB'C=∠B=60°， ∴∠AB'D=180°-∠DB'C=120°， ∠ADB'=180°-∠AB'D-∠A=40° 9.8【解析】由折叠的性质可知，DE=CD,BE=BC. :AB=10,BC=8,AC=6, ..AE=AB-BE=AB-BC=10-8=2, ∴.△AED的周长=AD+DE+AE=AD十CD+AE =AC+AE=6+2=8. 10.解：(1)证明：由题意知，∠GCF+∠FCE=90°， ∠FCE+∠BCE=90°，∴.∠GCF=∠BCE. 又，'∠G=∠D=∠B=90°，GC=DA=BC, ∴.△FGC≌△EBC(ASA). (2)由(1)知，△FGC≌△EBC,∴.GF=BE. 又DF=GF,.DF=BE, .四边形ECGF的面积=四边形AEFD的面积 (AE+DF)·AD_(AE+BE)·AD_AB·AD 2 2 2 8X4≥16. 2 上册详解详析 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 1.B2.C 3.20 变式题7【解析】：DE是AB的垂直平分线， .'.AD=BD ,△DBC的周长为17， .BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=17. 又，AB=AC=10, .BC=7. 4.证明：如图，连接AC,AD :AF是线段CD的垂直平分线， ..AC=AD. 在△ABC和△AED中， (AB-AE, BC=ED, AC=AD, ∴.△ABC≌△AED(SSS), ∠B=∠E. 5.B 6.AC 7.(1)6cm(2)在与线段两个端点距离相等的点在这 条线段的垂直平分线上 8.证明：在△ADB和△ADC中， ∠ABD=∠ACD, ∠BAD=∠CAD, AD=AD, .△ADB≌△ADC(AAS), ∴.DB=DC,AB=AC, ∴点D在线段BC的垂直平分线上，点A在线段BC 的垂直平分线上， AD垂直平分BC. 》一题多解法《 如图，延长AD交BC于点E. 在△ADB和△ADC中， ∠ABD=∠ACD, ∠BAD=∠CAD AD-AD. ∴.△ADB≌△ADC(AAS), ,∴.AB=AC. 在△ABE和△ACE中， (AB=AC. ∠BAE=∠CAE, AE-AE, '.△ABE≌△ACE(SAS), ∴.∠BEA=∠CEA=9O°，BE=CE, .AD垂直平分BC. 9.C 10.如果两个角是邻补角，那么这两个角互补 11.A 410 八年级数学RJ版 第2课时线段的垂直平分线的作法 1.B2.B3.③ 4.解：（作法不唯一）(1)如图①，直线11即为所求. (2)如图②，直线12即为所求. 米的 图① 图② 5.解：如图①，过点A和BC与EF的交点作直线，该直 线就是所求作的直线l;如图②，过BC,FE的延长线 的交点和AC,DE的延长线的交点作直线，该直线就 是所求作的直线1.（作法不唯一） 图① 图② 6.解：(1)（作法不唯一）如图①，直线1即为所求。 (2)如图②，点P'即为所求. 图① 图② 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 1.D2.C3.34.林、共、品、吉、来5.68 6.解：如图所示 7.解：如图所示（答案不唯一）， 8.解：（答案不唯一）图①中，△DCB即为所求；图②中， △MNC即为所求；图③中，△APQ即为所求.对称轴 如图所示 图② 图③