14.3 角的平分线-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）江西专用

∴.CE=CD .BC=17,DF=6, ∴.BE=DF=6, ∴.CD=CE=BC-BE=17-6 =11, .CF=CD-DF=11-6=5. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的性质 1.A2.A 3.B【解析】如图，过点P作PT⊥AC 于点T. ,'AP平分∠DAC,PT⊥AC,PMI AD,..PM=PT. 又CP平分∠ECA,PT⊥AC,PN ⊥CE, ∴.PN=PT,∴.PM=PN 4.3变式题(1)9(2)8 5.角的平分线上的点到角两边的距离相等HLDH DG CH CFCF DG 6.证明：：OD平分∠AOB,∴.∠BOD=∠AOD OB=OA, 在△OBD和△OAD中，3∠BOD=∠AOD, OD=OD. ∴.△OBD≌△OAD(SAS), .∠BDO=∠ADO,即DO平分∠BDA PM⊥BD,PN⊥AD,.PM=PN. 7.解：如图，连接OA,过点O分别作OE⊥ AB于点E,OF⊥AC于点F. :BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,OD ⊥BC, ..OE=OD.OF=OD, ..OE=OD=OF. △ABC的周长是21，∴.AB+BC+CA=21, SAANC SAA0+SAuc0+SAACO=2AB.OE+ 2BC·OD+号AC.OF=2(AB+BC+AC)·OD 2×21×4=42. 8.3或7【解析】如图，过点P作PE⊥ OA于点E. ,OC平分∠AOB,PE⊥OA,PN⊥ OB,..PE=PN. ,'OP=OP,.Rt△OPE≌Rt△OPN(HL), ..OE=ON=5. .OM=3,∴.MN=2 若点D在线段OE上， .PM=PD,PE=PN, .Rt△PMN≌Rt△PDE(HL), .DE=MN=2...OD=OE-DE=3. 6 八年级数学RJ版 若点D'在射线EA上，同理可得DE=MN=2, ..OD'=OE+D'E=7. 综上所述，OD的长度为3或7. 第2课时角的平分线的判定 1.A2.C3.D4.120° 5.150°【解析】DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且 DB=DC,∴AD是∠BAC的平分线. ∠BAC=40°， ·∠CAD=2∠BAC=20°， .∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°. 6.解：∠EOG∠FOG△OEG△OFG 7.解：，AB∥CD,∴.∠ABC+∠BCD=180. 点P到AB,BC,CD的距离相等， ∴.BP平分∠ABC,CP平分∠BCD, PC-G∠ABC,∠PCB-i∠BCD. .∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- A7(∠ABC+∠BCD)=180°-90=908A 8.证明：BF⊥AC,CE⊥AB, ∴.∠DEB=∠DFC=90°. ∠BDE=∠CDF, 在△BDE和△CDF中，{∠DEB=∠DFC, BE=CF, ,.△BDE≌△CDF(AAS), .DE=DF. 又DF⊥AC,DE⊥AB, .AD平分∠BAC. 9.证明：如图，过点D作DE⊥BM, DG⊥AC,DF⊥BN,垂足分别为 E.G.F. BD平分∠ABC,DE=DF. 又：CD平分∠ACN, ∴.DG=DF, .DE=DG. ∴.AD是∠CAM的平分线. 10.证明：(1)如图，过点E作EF⊥CD于点F. .∠A=90°，DE平分∠ADC, ..AE=FE. E是AB的中点，AE=EB, ..FE=EB. 又，∠B=90°， .CE平分∠BCD. (2)由(1)知，AE=FE. 又：DE=DE, .Rt△ADE≌Rt△FDE(HL), ..AD=FD. 同理可得Rt△BEC≌Rt△FEC, .BC=FC, ..AD+BC=FD+FC=CD.14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 已知识要点扫描 .DG=DF. 1.角平分线的作法（如下图） .AB=3AC, （1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交 .S△ABD=3S△AcD OA于点D,交OB于点E; .AD=DE, (2)分别以点D,E为圆心， A ,.S△ABD=S△BDE=9, D 大于DE的长为半径作弧，两 .S△AcD=3, ∴.SAABC=S△ACD十S△ABD=3+9=12. 弧交于∠AOB内一点C; 已基础对点训练 (3)作射线OC,则射线OC即为∠AOB 知识点① 角的平分线的画法 的平分线， 1.用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示， 注意：(1)作角的平分线的依据是三角形 则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( 全等的判定定理一“SSS”; A.SSS B.ASA C.AAS D.HL (2)角的平分线是一条射线。 2.角的平分线上的点到角两边的距离相等 注意：(1)这里的距离是指点到角两边垂 线段的长； (2)该结论的证明是通过三角形全等得到 第1题图 第2题图 的，它可以独立作为证明两条线段相等的依 知识点②角的平分线的性质 据，即不需再用老方法一全等三角形； 2.如图，OD平分∠AOB,DE⊥AO于点E, (3)使用该结论的前提条件是有角的平分 DE=3,F是射线OB上的任意一点，则DF 线，关键是图中有“垂直” 的长度不可能是 () 经典例题剖析 A.2.8 B.3 【例】如右图，在△ABC C.4.2 D.5 中，AD是∠BAC的平分线， 3.如图，已知AP,CP分别是△ABC的外角 延长AD至点E,使AD= ∠DAC,∠ECA的平分线，PM⊥BD,PN DE,连接BE.若AB=3AC,△BDE的面积是 ⊥BE,垂足分别为M,N,那么PM与PN 9,则△ABC的面积是 的大小关系是 () ( A.6 B.9 C.12 D.15 【答案】C 【点拨】过点D作DG⊥AB于点G,DF⊥ AC,交AC的延长线于点F,如下图. 第3题图 ,AD是∠BAC的平分线，DG⊥AB,DF A.PM>PN B.PM=PN ⊥AC, C.PM<PN D.无法确定 上册第十四章 4.如图，AD是△ABC中C 6.（教材变式)如下图，OD平分∠AOB,在 ∠BAC的平分线，DE⊥ OE,OF上取OA=OB,P为OD上一点，且 AB于点E.若S△ABC=7, PM⊥BD,PN⊥AD.求证：PM=PN. DE=2,AB=4,则AC= 第4题图 变式题由求线段变式为求面积、周长 (1)如图，在△ABC中，BC=9cm,CD是 ∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E.若DE =2cm,则△BCD的面积为 cm, 7.如右图，已知△ABC的周长是 变式题(1)图 变式题(2)图 21,BO,CO分别平分∠ABC和 (2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC ∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD =6,BC=8,AB=10,BD是∠ABC的平 =4.求△ABC的面积. 分线，DE⊥AB,垂足为E,则△ADE的 周长为 5.补充解题过程如右图，C,D 分别是射线OA,OB上的 点，OE,CE分别平分 ∠AOB和∠ACD,且交于点 0 DGB E,过点E作EF⊥OA于点F,EG⊥OB于 点G.求证：CD=CF十DG. 证明：如图，过点E作EH⊥CD于点H,连 接DE. ,OE平分∠AOB,CE平分∠ACD, 易错点忽视点的位置有两种情况而导致 ∴.EF=EG,EF=EH( 少解 ),∴.EH=EG 8.如图，P是∠AOB的平分 DE=DE, 在Rt△EDH和Rt△EDG中， 线OC上一点，PN⊥OB EH=EG, 于点N,M是线段ON上 O M N ∴.Rt△EDH≌Rt△EDG( 一点，连接PM.已知OM 第8题图 ∷ =3,ON=5,D为OA上一点.若满足 同理可证， PD=PM,则OD的长度为 ∴.CH+DH= 即CD=CF+DG. 22 八年级数学RJ版 第2课时 角的平分线的判定 知识要点扫描 已基础对点训练 角的平分线的判定 知识点①角的平分线的判定 内容：角的内部到角两边的距离相等的点 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，ED⊥AB 在角的平分线上 于点D,且ED=EC.如果∠A=40°，那么 应用格式（如下图）： ∠EBD的度数是 () PD⊥OA,PE⊥OB,PD A.25° B.30° C.35 D.40° =PE. ∴.点P在∠AOB的平分 线上， 即OC平分∠AOB. 第1题图 第2题图 解读1：前提条件是指在角的内部的点到 2.如图，已知AB∥CD,AD⊥DC于点D,AE 角两边的距离相等时，它才在角的平分线上， ⊥BC于点E,∠DAC=35°，AD=AE,则 角的外部的点不会在角的平分线上」 ∠B等于 ( ) 解读2：角平分线的性质和判定的区别. A.50° B.60° C.70° D.80 (1)条件结论不同：性质的条件是“点在角 3.如图，在△ABC中，∠B=42°，AD⊥BC于 的平分线上”，结论是“点到角的两边的距离相 点D,E是BD上一点，EF⊥AB于点F.若 等”；判定的条件是“点到角的两边的距离相 ED=EF,则∠AEC的度数为 () 等”，结论是“点在角的平分线上” A.60° B.62 C.64°D.66 (2)应用途径不同：性质是证两条线段相 等的依据，判定是证两角相等的依据 已经典例题剖析 D C 【例】如右图，在△ABC中， 第3题图 第4题图 BD=DC,∠1=∠2.求证：AD平 4.(2025一2026龙南期中)如图，点O在 分∠BAC. △ABC内，且到三边的距离相等.若∠A= 【解】如图，过点D作DE⊥AB于点E, 60°，则∠BOC的度数为 DF⊥AC于点F. 5.如图，已知DB⊥AE于点 在△BED和△CFD中， B,DC⊥AF于点C,且 B D ∠1=∠2， DB=DC.若∠BAC= ∠BED=∠CFD=90°， 40°，∠ADG=130°，则 第5题图 BD=CD, ∠DGF的度数为 ∴.△BED≌△CFD(AAS), 6.如右图，G为∠AOB内一 .DE=DF,∴.AD平分∠BAC 点，过点G分别作GC⊥OA 【点拨】过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,只 于点C,GD⊥OB于点D, 0 需证DE=DF,即可证得AD平分∠BAC. CG=DG,E,F分别为OA, 23 上册第十四章 OB上的点，且OE=OF,连接OG,GE,知识点②角的平分线的性质与判定的综合 GF,则GE=GF.证明思路可以用下面的框 9.(教材变式)如右图，∠ABC 图表示，请补全其中的空格， 的平分线与∠ACN的平分 GC⊥OA. OE=OF 线相交于点D,连接AD.求 C N GD⊥OB GE=GF 证：AD是∠CAM的平分线. CG=DG 0G=0G 7.如下图，AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距 离相等，求∠BPC的度数. 10.推理能力如右图，在四边形AB- CD中，∠A=∠B=90°，E是 AB的中点，且DE平分∠ADC E 求证： (1)CE平分∠BCD. 8.如下图，BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E, (2)AD+BC=CD. BE=CF,BF和CE相交于点D.求证：AD 平分∠BAC. 424 八年级数学RJ版