2.3 一元二次方程的根与系数的关系-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习一般形式、判别式及求根公式导入，搭建从已有知识到新关系探索的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点是通过游戏、填表让学生自主发现规律，结合公式推导培养推理能力，例题涵盖求根和、积及平方和等应用，体现数学思维与模型意识。助力学生发展探究能力，教师可借结构化内容提升教学效率。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 学习目标 1. 一元二次方程的一般形式？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 2.一元二次方程有实数根的条件是什么？ △ = b2-4ac ≥ 0 复习引入 导入新课 3. 当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ △ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； △ = 0 时，方程有两个相等的实数根； △ < 0 时，方程没有实数根； 4. 一元二次方程的求根公式是什么？ 同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？  （1）x2-2x+1=0 （2）x2 - x-1=0  （3） 2x2-3x +1=0 讲授新课 一、探索一元二次方程根与系数的关系 计算填表： 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-2x+1=0 x2 - x-1=0  2x2-3x +1=0 1 1 2 1 -1 1 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流。 算一算 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）当b2-4ac ≥ 0 时有两个根： x1+x2 = x1x2 = 如果方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两根实数根x1，x2，那么 x1+x2 = x1x2 = 归纳小结 【提醒】满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 - 3x -2 = 0 . 解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6. ∆=b2-4ac = 72+4×1×6 = 49-24 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么. x1+x2=-7， x1x2 = 6. 二、一元二次方程的根与系数的关系的应用 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 - 3x -2 = 0 . （2）这里 a = 2，b = -3，c = -2. ∆=b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2) = 9+16 = 25 > 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么 x1+x2= ， x1x2 = -1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2-3x-1=0； （2）3x2+2x-5=0. 解：（1）x1+x2=3， x1x2 = -1. （2）x1+x2= ， x1x2 = . 练一练 例3. 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 1. 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 14 12 练一练 2. 小明和小华分别求出了方程 9x2+6x-1=0 的根. 小明：x1 = x2 = ；小华：x1 = ，x2 = . 他们的答案正确吗？说说你的判断方法. x1+x2= ， x1x2 = . 解：由题意，可得 小明和小华求得的根与算式都不符合， ∴小明和小华的答案都不正确. 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= . 1 -2 -3 当堂检测 3. 解下列方程： （1）12x2+7x+1 = 0； （2）0.8x2 + x = 0.3. （3）3x2+1= x； （4）(x+1)(x-3) = 2x+5. 解：（1） ∆ > 0 x1+x2= ，x1x2 = . x1= x2= （2） ∆ > 0 x1+x2= ，x1x2 = . x1= x2= ∆= 0 x1+x2= ，x1x2 = . x1= x2= （4）x2-4x-8=0 ∆> 0 x1+x2= 4，x1x2 =-8 . x1= x2= （3）3x2- x+1=0 （3）3x2+1= x； （4）(x+1)(x-3) = 2x+5. 4. 已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根 及 k 的值. x1+x2= ， x1x2 = . 解：由题意，可得 k = -7. ∵ x1= 2， ∴x2 = ， 5. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2-17x+66 = 0 的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是 20 吗？为什么？ 解：由题意，可得 x1+x2 = 17，即两边长之和为 17，小于 20，所以这个三角形的第三边的长不可能是 20. 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 课堂小结 $