25.2.4 一元二次方程根与系数的关系-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(人教版·新教材)

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数关系，通过韦达定理的历史情境引入，从二次项系数为1的方程入手，引导学生自主探究两根和与积的关系，再扩展到一般形式，结合因式分解与求根公式证明，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以数学眼光激发探究兴趣，通过自主探究和严谨证明培养数学思维，例题与练习强化数学语言表达。如从具体方程试算到一般形式推导，注重推理能力；巩固练习涵盖求根和积、代数式求值等，助力学生掌握应用，教师可依托系统流程提升教学效果。

第二十五章 一元二次方程 25.2 解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为这个定理是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的.聪明的同学们，你能发现这个定理吗？ 情境引入 1.思考： 从因式分解法可知,方程(x-x1)(x-x2)=0的两根为x1和x2,将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？ 二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系： x1+x2=-p， x1x2=q. (p为一次项系数,q为常数项) 自主探究 2. 探究 一般地,一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a≠0）中, 二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数分别 有怎样的关系？ (1)试一试. 由2x2-3x+1=0，得x1= ，x2= ， 于是x1+x2= = , x1x2= . 这说明了什么？ 自主探究 (2)对于一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)又有怎样 的关系呢？ 结论：方程的两个根x1，x2和系数a,b,c有如下 关系： 自主探究 自主探究 x1+x2= + = = - x1x2= · = = = 证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2,则 　　例4　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 　　 （1） x 2 - 6x - 15 = 0 　 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 　 （3）5x - 1 = 4x 2 x1 + x2 = 6 x1 x2 = -15 x1 x2 = -3 x1 + x2 = x1 + x2 = x1 x2 = 自主探究 例题精讲 归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系 1.方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2= , x1x2 = - 注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0 特别地：方程x2+px+q=0的两根是x1 ，x2，那么 x1+x2= , x1x2= . －P q 　 1.不解方程，求下列方程两个根的和与积： 　　 （1） x 2 - 3x = 15 　　（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x 　　 x1 + x2 = 3 x1 x2 = -15 x1 + x2 = 巩固练习 x1 x2 = 巩固练习 2.已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2的值等于________． 3.设a,b是一元二次方程x2＋x－2027＝0的两个不相等的实数根,则a2＋2a＋b＝________． -2 2026 巩固练习 4.已知x＝4是一元二次方程x23x＋c＝0的一个根，则另一个根为________． 5.方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为________． x=-1 1 巩固练习 6.已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-4＝0的两个根，试求下列代数式的值： (2)(x1＋1)(x2＋1)； (3) x1－x2. (1) x12＋x22； 巩固练习 7.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值． Δ≥0，即32－4(m－1)≥0，解得m≤ m=-3 巩固练习 8.已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x＋m2－2＝0.试根据下列条件，求m的值． (1)两根互为相反数； (2)两根之和等于3； (3)两根之积等于1； (4)两根的平方和等于8； (5)两根的和的相反数等于两根之积． m=-1 m= m= m=0 m=0 巩固练习 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 中代数里，当且仅当 时，才 能应用根与系数的关系. 1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 师生小结 谢谢聆听 $