2.2 第3课时 用公式法解一元二次方程-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦“用公式法解一元二次方程”，核心涵盖求根公式推导、解法步骤及根的判别式。通过复习配方法步骤，结合解方程2x²+4x+1=0引导思考，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以配方法推导求根公式培养数学思维（推理能力），用表格归纳判别式与根的关系体现数学语言（模型意识），例题及等腰三角形周长等能力题发展数学眼光（抽象与应用）。学生能提升逻辑推理与解题能力，教师可借清晰结构和精选资源高效教学。

2.2 一元二次方程的解法 第二章 一元二次方程 第3课时 用公式法解一元二次方程 1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 学习目标 1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0? 导入新课 复习引入 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 （a≠0） 能否也用配方法得出它的解呢？ 讲授新课 一、求根公式 想一想 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0). 方程两边都除以a 解: 移项，得 配方，得 即 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 即 一元二次方程的求根公式 特别提醒 ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ＜0时， 而x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 归纳小结 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 【提醒】用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 例1. 用公式法解方程 5x2-4x-12=0 解：∵a=5,b=-4,c=-12， b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0. 二、公式法解一元二次方程 例2. 解方程： 化简为一般式： 解： 即 ： 这里的a、b、c的值是什么？ （1）你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ 解：（1）a = 1，b = -2，c = 3. ∵ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0， 方程没有实数根. （2）对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），当 b2 -4ac < 0 时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流. 想一想 公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 归纳小结 12 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac. > 0 = 0 < 0 ≥ 0 三、一元二次方程根的判别式 13 按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 练一练 14 例3.已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 【解析】原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B. B 15 【方法总结】判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0时,方程无实数根. 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程可化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 练一练 17 不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7y=5(y2+1). 解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程有两个相等的实数根． 18 1.解方程：x2 +7x – 18 = 0. 解：这里 a=1, b= 7, c= -18. ∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0, 即 x1 = -9, x2 = 2 . 当堂检测 2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号 ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式 3x2 -7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. ∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96 = - 47 < 0, ∴原方程没有实数根. 一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。 解: 设中间边长为 x． x2＋(x-2)2 ＝ (x＋2)2． 解得 x1＝0(舍去)，x2＝8． ∴这个三角形的三条边长为6，8，10． 在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， ∴Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. ∴b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13. 能力提升 22 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 务必将方程化为一般形式 课堂小结 $