2.2 第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学授课课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦“用配方法解较复杂的一元二次方程”，通过复习直接开平方法，对比可直接转化与需配方的方程，引导学生将方程转化为(x+n)²=p形式，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题链驱动数学思维，结合小球高度、矩形道路等实际问题培养模型意识与应用意识。通过无解方程辨析、步骤归纳等，提升学生运算能力与推理意识，教师可借助完整流程和多样化例题高效教学。

2.2 一元二次方程的解法 第二章 一元二次方程 第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点） 学习目标 (1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2. 2.下列方程能用直接开平方法来解吗? 1.用直接开平方法解下列方程: (1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0. 把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的 形式，再利用开平方 导入新课 复习引入 问题1：观察下面两个一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +8x－3 = 0. 问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方，得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4. 想一想怎么来解3x2 +8x－3 = 0. 讲授新课 一、用配方法解系数不为1的一元二次方程 解：方程两边都除以 3，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 所以 解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 即 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2－3x=－1, 即 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 例1 解下列方程： 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为1，得 为什么方程两边都加12？ 即 7 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 想一想 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 ,方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根. 配方法解一二次方程 归纳小结 一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h=15t - 5t2.小球何时能达到10m高？ 二、配方法解决实际问题 解：根据题意，得 15t -5t2 = 10 方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2 配方，得 ,∴ 两边开平方，得 例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ∴△ABC为直角三角形. 1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则 m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值. C 解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3 解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4 练一练 例4.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为x，十位数字为(x-3) x1=6, x2=5 x2-11x=-30 x2-11x+5.52=-30+5.52 (x-5.5)2=0.25 x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5 x2=10(x-3)+x ∴这个两位数为36或25， ∴周瑜去世的年龄为36岁. ∵周瑜30岁还攻打过东吴， 1.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解； 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2； 解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 当堂检测 2.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m. 17 3.已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ∴△ABC为等边三角形. 如图，A，B，C，D 是矩形的四个顶点，AB = 16 cm，BC = 6 cm，动点 P 从点 A 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，直到点 B 为止；动点 Q 同时从点 C出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动. 何时点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm ？ 解: 设 t 秒后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm． (16－3t－2t)2 ＝ 102－62． 所以，1.6 s或 4.8 s后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm． 配方法 方法 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 课堂小结 $