10 几何法、空间向量法解决空间面面角问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间面面角问题，系统梳理二面角与两平面夹角的定义、范围及几何法、空间向量法求解策略，通过回归教材经典习题、考点梳理典型例题、跟踪练习分层训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 资料以“回归教材+高考真题”为特色，注重培养学生空间观念与运算能力，如通过正方体中平面夹角问题引导学生用几何法找平面角，结合法向量方向判断培养推理能力，设置基础到综合的练习梯度，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——10 几何法、空间向量法解决空间面面角问题 知识梳理 1、在立体几何中常涉及三类空间角的求解：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和两个平面的夹角.具体如表所示: 空间角 向量求法 范围 二面角 平面与平面相交于直线，平面的法向量为，平面的法向量为，,，则二面角为或.设二面角大小为， 则 两个平面的夹角 若平面,的法向量分别是,，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角；设平面与平面的夹角为， 则, 【提醒】二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，若求出两个半平面 ， 的法向量，，则需根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等，还是互补． 2、求二面角的方法通常有两个思路： 一是传统方法，即几何法，先作(找)出平面角，再根据空间线、面位置和数量关系求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角； 二是建立坐标系，利用空间向量求解，这种方法的优点是思路清晰，方向明确，但计算量大． 3、利用空间向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 4、利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤 回归教材： 【人教A版必修二习题8.6第7题】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？ 【人教A版必修二习题8.6第18题】如图，在三棱锥V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值. 【人教A版必修二复习参考题8第14题】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值．                             . 【人教A版选择性必修一复习参考题1第16题】如图，在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角正切值. 【人教A版选择性必修一复习参考题1第11题】在长方体中，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：平面AEF； （2）当，，时，求平面AEF与平面所成二面角的余弦值． 【人教A版选择性必修一复习参考题1第12题】如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 【人教A版选择性必修一习题1.4第15题】如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，．求平面ABCD与平面BQP夹角的余弦值． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节41页练习第1题】如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面与平面的夹角． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例10】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节38页练习第3题】如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例8】如图，在直三棱柱中，，，，P为的中点，点Q，R分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值． 考点梳理： 例．（2026·广西北海·一模）如图，四边形和都是正方形，四边形为平行四边形，为锐角，M，N分别为的中点，直线AE与平面所成的角为． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 例．（2026·广东江门·一模）如图，在三棱柱中，，，，平面平面. (1)求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值. 例、如图，在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE， ∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点． (1)求证：平面BDF⊥平面ACE； (2)若2AE＝EB，在线段AE上是否存在一点P，使得二面角P­DB­F的余弦值的绝对值为.请说明理由． 小结：利用空间向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 跟踪练习： 1．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 3．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 5．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 6、【人教A版选择性必修一第1.4.2节38页练习第4题】如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）直线AD与直线BC所成角的大小； （2）直线AD与平面BCD所成角的大小； （3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． 7．（2026·河北邢台·一模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 8、如图，在三棱锥中，，， ，为的中点,点满足，求二面角的正弦值. 9．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 10、(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足＝，求二面角D－AB－F的正弦值． 11、(2024·新课标Ⅰ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； (2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为，求AD. 12．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求二面角的正切值. 13、如图，已知在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，SB＝，E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF. (1)求实数λ的值； (2)求二面角S­BE­F的平面角的余弦值. 14、如图，在四棱锥中， 平面，,，，,为棱的中点. （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）求直线与平面所成角的正弦值; （3）若为棱上一点,满足,求平面所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——10 几何法、空间向量法解决空间面面角问题 知识梳理 1、在立体几何中常涉及三类空间角的求解：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和两个平面的夹角.具体如表所示: 空间角 向量求法 范围 二面角 平面与平面相交于直线，平面的法向量为，平面的法向量为，,，则二面角为或.设二面角大小为， 则 两个平面的夹角 若平面,的法向量分别是,，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角；设平面与平面的夹角为， 则, 【提醒】二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，若求出两个半平面 ， 的法向量，，则需根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等，还是互补． 2、求二面角的方法通常有两个思路： 一是传统方法，即几何法，先作(找)出平面角，再根据空间线、面位置和数量关系求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角； 二是建立坐标系，利用空间向量求解，这种方法的优点是思路清晰，方向明确，但计算量大． 3、利用空间向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 4、利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤 回归教材： 【人教A版必修二习题8.6第7题】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？ 【答案】平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°，平面与平面，平面成的角为90° 【解析】根据线面垂直判定面面垂直得二面角为90°，根据二面角定义找出二面角的平面角，并求出大小. 【详解】在正方体中，考虑平面与平面ABCD，平面， 平面，所以平面就是平面与平面ABCD所成角， 即平面与平面ABCD成角，同理平面与平面ABCD，平面， 平面，平面都成45°角，又因为平面，平面与平面垂直， 即所成的角为90°，同理可得平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°. 所以平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°. 【点睛】此题考查求平面与平面所成角的大小，常通过求二面角的平面角的大小进行度量，特殊情况可用垂直关系讨论. 【人教A版必修二习题8.6第18题】如图，在三棱锥V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值. 【答案】作图见解析；. 【分析】根据“一作二证三计算”，取AB的中点M，连接VM，CM，证明为二面角V-AB-C的平面角，在三角形中进行计算即可. 【详解】如答图所示，取AB的中点M，连接VM，CM. ，，为二面角V-AB-C的平面角， 根据已知条件可得. 在中，由余弦定理，∴二面角V-AB-C的余弦值等于. 【点睛】此题考查根据定义作出二面角并求二面角的大小，作出二面角的平面角，在三角形中解题，解题中需要遵循“一作二证三计算”原则. 【人教A版必修二复习参考题8第14题】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）证法一：由平面得，结合，由线线垂直即可证明平面；证法二：由平面可得平面平面，由面面垂直的性质定理即可证明平面； （2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）证法一：在正方形中，，又侧面底面，侧面底面，底面，所以平面；因为平面，平面， 所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又，，平面，所以平面；            法二：由法（1）知平面，又平面，故平面平面，因为是正三角形，是的中点，所以，  又平面平面，平面，故平面； （2）取，的中点分别为，，连接，，，    则，，因为，所以，又在正中，， 因为，，平面，所以平面，正方形中，， 平面，又，平面， 所以，，                                               所以是侧面与底面所成二面角的平面角，  因为平面，， 所以平面，因为平面，所以，                                    . 设正方形的边长，则，，所以， 所以，  即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 【人教A版选择性必修一复习参考题1第16题】如图，在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角正切值. 【答案】（1）证明见详解；（2） 【分析】（1）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可证明. （2）根据三棱锥的体积最大时，E，F分别是棱AB，BC上中点，过作，连接，得出为平面与平面BEF的夹角，在中即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图： 设，则，，，， ，，由，. （2），若三棱锥的体积取得最大值，则取得最大值， ，当且仅当时，即时取等号，即E，F分别是棱AB，BC上中点， 过作，连接，由三垂线定理可得，得出为平面与平面BEF的夹角，，，所以. 【人教A版选择性必修一复习参考题1第11题】在长方体中，点E，F分别在，上，且，． （1）求证：平面AEF； （2）当，，时，求平面AEF与平面所成二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）利用向量证明，即可； （2）首先建立空间直角坐标系，算出平面的法向量，利用第一问的结论进一步得到平面的法向量，最后利用法向量的夹角求出二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：因为，所以, 因为，所以, 因为，所以平面 （2）分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，连接， 由于：，，,所以， 设平面的法向量为，则，，所以， 所以可取,又由于：平面，所以看作是平面的法向量，设平面和平面所成的角为，则， 所以平面和平面所成的角的余弦值为． 【人教A版选择性必修一复习参考题1第12题】如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先求底面面积，再结合锥体体积公式即可求解； （2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,为平面的一个法向量,且,求平面的一个法向量,根据,即可求得答案. 【详解】（1）平面,,，且， 所以四棱锥的体积； （2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系,如图: 由，，可得:,,,,, 由（1）知平面,为平面的一个法向量,且； 设为平面的一个法向量,则,,,, ,,,令,则,,, 设平面与平面所成的二面角为,， 平面与平面所成二面角的余弦值为． 【人教A版选择性必修一习题1.4第15题】如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，．求平面ABCD与平面BQP夹角的余弦值． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求解两个面的法向量，利用法向量的夹角求解即可. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，不妨令，则，所以，又平面的法向量为，所以. 所以面ABCD与平面BQP夹角的余弦值为。 【人教A版选择性必修一第1.4.2节41页练习第1题】如图，二面角的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面与平面的夹角． 【答案】 【分析】利用向量求解，，两边平方可求平面与平面的夹角． 【详解】设平面与平面的夹角为，由可得 ，所以，即平面与平面的夹角为. 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例10】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． （1）求证：面；（2）求证：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小． 分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角．这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． 解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设． （1）证明：连接，交于点G，连接．依题意得，，．因为底面是正方形，所以点G是它的中心，故点G的坐标为，且，， 所以，．而平面，且平面，因此平面． （2）证明：依题意得，．又，故． 所以．由已知，且．所以平面． （3） 已知，由（2）可知，故是平面与平面的夹角．设点F的坐标为，则，因为，所以，即，，．设，则．所以， 点F的坐标为，又点E的坐标为，所以． 所以 所以，即平面与平面的夹角大小为60°． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节38页练习第3题】如图，正三棱柱的所有棱长都为2，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面与平面的法向量，利用法向量求解夹角的余弦值． 【详解】因为正三棱柱的所有棱长均为2，取BC的中点O，则 所以平面.取的中点H，所以 AO, BO,OH两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则, 所以,. 设平面的一个法向量为，则 令得.同理可得平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角为，易知为锐角， 则，即平面与平面夹角的余弦值为. 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例8】如图，在直三棱柱中，，，，P为的中点，点Q，R分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值． 分析：因为平面与平面的夹角可以转化为平面与平面的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可． 解析：以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角．因为平面，所以平面的一个法向量为． 根据所建立的空间直角坐标系，可知，，．所以，．设，则，，所以，取， 则．设平面与平面的夹角为， 则．即平面与平面的夹角的余弦值为． 考点梳理： 例．（2026·广西北海·一模）如图，四边形和都是正方形，四边形为平行四边形，为锐角，M，N分别为的中点，直线AE与平面所成的角为． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）作辅助线，要证明线面平行，则需要证明线线平行，即证明. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，然后求出平面与平面的法向量坐标，最后根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接.根据中位线定理可得， 因为.所以，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内，所以平面. （2）四边形和都是正方形，所以，又平面，所以平面.平面，所以平面平面. 过点作，垂足为，由平面平面可知平面. 所以是与平面所成的角，.设，则. 如图，以为原点，所在直线分别为轴，在平面内过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，设. 由，所以，可得.同理可得， 为的中点，所以.可知平面的一个法向量为. 设平面的法向量坐标为，. 则，那么有，令，则，所以. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 例．（2026·广东江门·一模）如图，在三棱柱中，，，，平面平面. (1)求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用平面平面结合面面垂直性质定理得出平面，即可得出线线垂直； （2）解法一：应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出是直线与平面所成的角，是二面角的平面角，计算边长计算求解；解法二：建系得出平面和平面的法向量，再应用二面角的余弦公式计算求解. 【详解】（1）因为在中，， 由余弦定理得：，所以， 所以，故，又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以； （2）解法一：过作，垂足为，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，直线是直线在平面上的投影，所以是直线与平面所成的角，即.由（1）知，又， 连接，则是等边三角形，取的中点，连接，则， 由（1）知，所以平面，所以， 所以是二面角的平面角，由（1）知平面，所以， 又， 所以，所以二面角的平面角的余弦值为. 解法二：过作，垂足为，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，则直线是直线在平面上的投影，所以是直线与平面所成的角，且，则， 由（1）可知，即是的中点.取的中点，连接，则. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则所以. 设平面的法向量为，则，取，则， 所以是平面的一个法向量，取平面的法向量为，则，所以二面角的平面角的余弦值为. 例、如图，在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE， ∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点． (1)求证：平面BDF⊥平面ACE； (2)若2AE＝EB，在线段AE上是否存在一点P，使得二面角P­DB­F的余弦值的绝对值为.请说明理由． [解]　(1)证明：因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，所以BC⊥AE.因为AE⊥BE，BC∩BE＝B，所以AE⊥平面BCE， 因为BF⊂平面BCE，所以AE⊥BF.在△BCE中，因为BE＝BC，F为CE的中点， 所以BF⊥CE，又AE∩CE＝E，AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，所以BF⊥平面ACE， 又BF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面ACE. (2)存在． 理由如下：以E为坐标原点，EB，EA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系E­xyz， 设AE＝1，则E(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,1,2)，C(2,0,2)，F(1,0,1)，＝(－2,1,2)，＝(2,0,2)， 设P(0，a,0)，a∈[0,1]，则＝(2，－a,0)，结合(1)易知EC⊥平面BDF， 故＝(2,0,2)为平面BDF的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面BDP的法向量， 则即令x＝a，可得平面BDP的一个法向量为n＝(a,2，a－1)， 所以cos〈，n〉＝＝，由|cos〈，n〉|＝，解得a＝0或a＝1. 故在线段AE上存在点P，使得二面角P­DB­F的余弦值的绝对值为，且此时点P在E处或A处． 小结：利用空间向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 跟踪练习： 1．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到所求二面角的平面角，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，设， 因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角，设正方体的边长为，则，，，所以，故C正确. 2．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设棱长为1， 则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝， 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则 即令x＝1，∴∴n1＝(1,2,2)． 又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝. 即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为. 3．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定正三棱锥底面中心的位置，结合图形确定侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正弦的定义计算所求正弦值. 【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、，由正三棱锥性质，，，可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形.由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为，可知中心到边的距离. 在中，，二面角的正弦值. 4．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】作出该二面角的平面角，假设正三角形边长为4，利用勾股定理求出相关线段长，再利用三角函数定义即可得到余弦值. 【详解】取线段中点，分别连接，因为为等边三角形，则，则，设的边长为4，则，因为平面BCD，且平面， 则，则，所以，所以即为二面角的平面角，因为M是AD的中点，则，，， 则. 5．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点分别作于点，于点，连结，先由线面垂直的判定定理证明，得到二面角的平面角，再由几何关系求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）过点分别作于点，于点，连结. 由平面平面，平面平面，得平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故，所以二面角的平面角为.不妨设， 因为，，所以，，，. 在中，，在中，， 所以，所以. 6、【人教A版选择性必修一第1.4.2节38页练习第4题】如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）直线AD与直线BC所成角的大小； （2）直线AD与平面BCD所成角的大小； （3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． 【答案】（1）90°（2）（3） 【解析】 【分析】（1）作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角； （2）显然平面BCD的一个法向量为，利用空间向量法求出线面角； （3）求出平面CBD的一个法向量为 以及平面ABD的一个法向量为 ，求出两法向量的余弦值的绝对值即为平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． 【详解】设，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标： ，， ， ， （1），，， 所以AD与BC所成角等于90°． （2），显然为平面BCD的一个法向量 ，∴直线AD与平面BCD所成角的大小。 （3）设平面ABD的法向量为则，所以，即， 令，则，，则，设平面ABD和平面BDC的夹角为， 则，因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为． 7．（2026·河北邢台·一模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明一条直线垂直于一个平面，只需证明该直线垂直于平面内的两条相交直线； （2）利用空间向量法，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后计算法向量夹角的余弦值，即得到二面角的余弦值. 【详解】（1）已知侧面为正方形，所以，又因为平面平面，且两平面的交线为，平面，所以平面，平面，即有， 已知，，所以，满足，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2） 如图所示，以为原点，分别以、、的方向为轴正方向，则各点坐标为：，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则 令，则，，即， 设平面的法向量为，则 令，则，，即，设二面角的大小为，易知为锐角， 则有. 8、如图，在三棱锥中，，， ，为的中点,点满足，求二面角的正弦值. [解析]设，由 ，可知,都为等边三角形， 所以.又，所以，所以， 则为直角三角形，且 ， 所以，，. 又，， 平面, 平面，所以 平面. 以为坐标原点，,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系，如图所示, 则，，，，设，则， 所以，.设平面的一个法向量为， 则即令,则,,所以. 又.设平面的一个法向量为，则 即令,则,,所以. 所以，则.所以二面角的正弦值为. 9．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，， 分别为棱上的点. (1)若∥，∥，证明:∥； (2)若分别为棱 的中点，在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在, 或 【分析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面∥平面，再由面面平行的性质定理证明∥； （2）由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ，由面面角的向量求法列出关于的方程，求解可得. 【详解】（1）若∥，平面，平面，所以∥平面； 若∥，平面，平面，所以∥平面. 因为平面，所以平面∥平面. 又平面平面，平面平面，所以∥. （2）因为，所以，所以. 因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.过作，垂足为，则.所以. 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则. 所以. 设：在棱上是否存在点G，使得平面与平面所成角为，且 ， 则，所以.设平面的法向量为， 则.令，则.所以平面的法向量为. 由平面，知平面的一个法向量为.所以， 即，化简得，解得或. 故在棱上存在点G，使得平面与平面所成角为，此时 或. 10、(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足＝，求二面角D－AB－F的正弦值． 解：(1)证明：连接AE，DE，因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC，①，因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，所以AC＝AB，所以AE⊥BC，② 由①②，AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA. (2)不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为BD⊥CD，所以BC＝2，DE＝， 因为△ACD与△ABD均为等边三角形，所以AC＝AB＝2，所以AE⊥BC，AE＝， 所以AE2＋DE2＝4＝DA2，所以AE⊥DE，又DE∩BC＝E，DE，BC⊂平面BCD，所以AE⊥平面BCD. 以E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则E(0，0，0)，D(，0，0)，A(0，0，)，B(0，，0)，设平面DAB与平面ABF的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，二面角D－AB－F的平面角为θ，而＝(0，，－)，因为＝＝(－，0，)， 所以F(－，0，)，即有＝(－，0，0)，所以即 取x1＝1，所以n1＝(1，1，1)．即取y2＝1，所以n2＝(0，1，1)， 所以|cosθ|＝＝＝，所以sinθ＝＝，所以二面角D－AB－F的正弦值为. 　11、(2024·新课标Ⅰ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； (2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为，求AD. 解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，又AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB.因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB， 根据平面知识可知AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC. (2)由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为原点，AD，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，设A(a，0，0)，a>0，则CD＝，C(0，，0)，P(a，0，2)，＝(0，－，0)，＝(－a，，0)，＝(a，－，2)． 设平面CPD的法向量为n＝(x，y，z)，则即 可取n＝(2，0，－a)．设平面ACP的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即 可取m＝(，a，0)．因为二面角A－CP－D的正弦值为， 所以二面角A－CP－D的余弦值的绝对值为， 故|cos〈m，n〉|＝＝＝，又a>0，所以a＝，即AD＝. 12．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求二面角的正切值. 【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）要证明线面垂直，根据判定定理，需证明线与平面内的两条相交直线垂直，根据所给的条件，易证明，点是的中点，所以，又因为平面，所以易得，； （2）首先根据条件作出直线与平面所成的角，点作，分别与，相交于，，连接，为直线与平面所成的角, 为直线与平面所成的角，根据这两个角相等，得到边的关系，最后得到二面角的平面角为. 【详解】（1）证明：连接，由，，，得， 又，是的中点，所以；平面，平面，所以, 而，所以平面； （2）平面，是二面角的平面角，过点作，分别与，相交于，，连接，由（1）知平面，为直线与平面所成的角，且，由平面知，为直线与平面所成的角，有题意知，,因为知，，又，是平行四边形, ，，因为，，， 于是，所以，又，，， 所以，即二面角的正切值是. 13、如图，已知在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，SB＝，E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF. (1)求实数λ的值； (2)求二面角S­BE­F的平面角的余弦值. 【解析】(1)连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG. 因为SA∥平面EFB，所以SA∥FG.因为△GEA∽△GBC，所以＝＝. 所以＝＝，从而SF＝SC，即λ＝. (2)因为SA＝SD＝，所以SE⊥AD，SE＝2.又因为AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，所以BE＝. 所以SE2＋BE2＝SB2，所以SE⊥BE，所以SE⊥平面ABCD. 以EA，EB，ES所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(0，，0)，S(0,0,2)，平面SEB的一个法向量m＝＝(1,0,0)． 设平面EFB的法向量n＝(x，y，z)，则n⊥， 即(x，y，z)·(0，，0)＝0，解得y＝0. 由n⊥，得n⊥，即(x，y，z)·(－1,0,2)＝0，得x＝2z. 令z＝1，得n＝(2,0,1)，所以cos〈m，n〉＝＝. 故所求二面角的平面角的余弦值是. 14、如图，在四棱锥中， 平面，,，，,为棱的中点. （1）求异面直线与所成角的正切值； （2）求直线与平面所成角的正弦值; （3）若为棱上一点,满足,求平面所成角的余弦值. [解析]依题意，以点为原点,,,所在直线分别为,,轴，建立空间直角坐标系（如图）， 可得,,,.由为棱的中点,得. （1）,,,， 则,，所以,. （2） ,，.设为平面的一个法向量, 则即不妨令,可得， 于是,， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3），，，. 由点在棱上,设,，故. 由,得，即，解得，即,,. 设为平面的一个法向量,则即 不妨令,可得.取平面的一个法向量为, 则.故其余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $