专题01 集合的基本运算与含参数问题（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

专题01集合的基本运算与含参数问题 （题型突破·举一反三） 题型01 交集运算 题型02 并集运算 题型03 补集的运算 题型04 交、并、补混合运算 题型05 空集的分类讨论 题型06 由集合间的关系求参数 题型07 由集合运算求参数 ▌题型01 交集运算 1.交集的概念 提醒：（1）A∩B仍是一个集合，且A∩B中任一元素都是A与B的公共元素；（2）如果两个集合没有公共元素，即A∩B＝⌀. 2.交集的运算性质 A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩⌀＝⌀；A∩B＝A⇔A⊆B；（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B. 3.求两集合交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； （2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共部分，要注意端点值的取舍. 【典例1】（2026·广东佛山·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． ▌题型02 并集运算 1.并集的概念 提醒：（1）A∪B仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. 2.并集的运算性质 A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪⌀＝A；A∪B＝A⇔B⊆A；A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）. 3.并集的运算技巧 （1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性； （2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值. 【典例2】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·广西来宾·期末）设集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·陕西西安·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． ▌题型03 补集运算 1.全集 （1）定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的　所有元素　，那么就称这个集合为全集； （2）记法：全集通常记作U. 提醒：全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在具体题目中，全集一般是给定的. 2.补集 （1）补集的概念 提醒：∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且（∁UA）⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. （2）补集的运算性质 ∁UU＝⌀，∁U⌀＝U；∁U（∁UA）＝A； A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝⌀. 3.求集合补集的2种方法 （1）当集合是用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 【典例3】（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． ▌题型04 交、并、补混合运算 集合混合运算的一般思路 （1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； （2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； （3）注意对运算结果进行检验. 【典例4】（25-26高二下·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·河北·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）全集，集合，，则（    ） A． B．或 C． D． ▌题型05 空集的分类讨论 空集 定义 我们把　不含任何元素　的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的　子集　，即⌀⊆A 特性 空集只有一个子集，即它的本身，⌀⊆⌀；若A≠⌀，则⌀　⫋　A 【典例5】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【变式2】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·河南安阳·阶段检测）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 ▌题型06 集合间的关系求参数 应用集合关系求参数的四个步骤 　提醒：不能忽视集合为⌀的情形. 【典例6】（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌题型07 由集合运算求参数 1.利用集合交集、并集的性质求参数的策略 （1）若集合中元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； （2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解或解集的取值范围； （3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围. 2.由集合的补集求参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义求解； （2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析求解. 【典例7】（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01集合的基本运算与含参数问题 （题型突破·举一反三） 题型01 交集运算 题型02 并集运算 题型03 补集的运算 题型04 交、并、补混合运算 题型05 空集的分类讨论 题型06 由集合间的关系求参数 题型07 由集合运算求参数 ▌题型01 交集运算 1.交集的概念 提醒：（1）A∩B仍是一个集合，且A∩B中任一元素都是A与B的公共元素；（2）如果两个集合没有公共元素，即A∩B＝⌀. 2.交集的运算性质 A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩⌀＝⌀；A∩B＝A⇔A⊆B；（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B. 3.求两集合交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； （2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共部分，要注意端点值的取舍. 【典例1】（2026·广东佛山·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，， 在数轴中表示出集合，由图可知. 【变式1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 当时，即；当时，即，解得， 综上不等式的解集为或，故或， 又，根据交集的定义即可得. 【变式2】（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，所以．故选：C． 【变式3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立，得，解得或， 所以，故选：D. ▌题型02 并集运算 1.并集的概念 提醒：（1）A∪B仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. 2.并集的运算性质 A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪⌀＝A；A∪B＝A⇔B⊆A；A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）. 3.并集的运算技巧 （1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性； （2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值. 【典例2】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，因为，所以. 【变式1】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以. 【变式2】（25-26高二下·广西来宾·期末）设集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，则． 【变式3】（25-26高二下·陕西西安·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，， 所以 ▌题型03 补集运算 1.全集 （1）定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的　所有元素　，那么就称这个集合为全集； （2）记法：全集通常记作U. 提醒：全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在具体题目中，全集一般是给定的. 2.补集 （1）补集的概念 提醒：∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且（∁UA）⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. （2）补集的运算性质 ∁UU＝⌀，∁U⌀＝U；∁U（∁UA）＝A； A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝⌀. 3.求集合补集的2种方法 （1）当集合是用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 【典例3】（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，全集，而集合， 所以 【变式1】（25-26高二下·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，所以. 【变式2】（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，所以． 【变式3】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以. ▌题型04 交、并、补混合运算 集合混合运算的一般思路 （1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； （2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； （3）注意对运算结果进行检验. 【典例4】（25-26高二下·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知全集为且，可得， 又，则. 【变式1】（25-26高一上·河南洛阳·期末）全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为，所以.故选：C 【变式2】（25-26高三上·河北·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合可知， 由集合可知或， 故，或， 或，， 或，， ，或， 综上，，故选：B. 【变式3】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）全集，集合，，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】，解得或，集合或， ，， ，解得，集合， ． 故选：C． ▌题型05 空集的分类讨论 空集 定义 我们把　不含任何元素　的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的　子集　，即⌀⊆A 特性 空集只有一个子集，即它的本身，⌀⊆⌀；若A≠⌀，则⌀　⫋　A 【典例5】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【解析】表示正整数集，，①正确； 是有理数集，是无理数，，②错误； 集合中的元素是，元素是一个方程，而是一个数， ，③错误； 中不含有元素，，④错误； 是任何一个集合的子集，，⑤正确； 是整数集，中的0是整数，，⑥正确.故选：A. 【变式1】给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【解析】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥，故选D. 【变式2】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得．故选：C． 【变式3】（25-26高一上·河南安阳·阶段检测）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为，故选：C ▌题型06 集合间的关系求参数 应用集合关系求参数的四个步骤 　提醒：不能忽视集合为⌀的情形. 【典例6】（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 【变式1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得，当时，， 故所有的取值构成的集合为. 【变式2】（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 【变式3】（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由集合， 因为，则满足，所以实数的最小值为.故选：C. ▌题型07 由集合运算求参数 1.利用集合交集、并集的性质求参数的策略 （1）若集合中元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； （2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解或解集的取值范围； （3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围. 2.由集合的补集求参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义求解； （2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析求解. 【典例7】（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 【变式1】（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，所以，即实数的取值范围为. 【变式2】（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由全集，且，故，从而. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合，所以， 由于，所以.故选：A. 【变式4】（23-24高一上·广东佛山·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由集合，，可得或， 因为，则满足.故选：A. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $