2.10.5 圆锥曲线的综合问题-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训

最新真题分类特训·数学 第5节 圆锥曲线的综合问题 [考点1]圆锥曲线的标准方程和几何性质 (ⅰ)求M的方程； 1(2025·全国二卷，1双膨线C号-若=1 (i)当t为何值时，M有对称中心？当M 有对称中心时，将M平移后得到曲线M', (a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2, 使得O为M'的对称中心，说明M是什 左、右顶点分别为A1,A2,以FF2为直径的 么曲线. 圆与C的一条渐近线交于M,N两点，且 ∠NAM=,则 () A∠A,MA,=否 B.MA=2 MA, C.C的离心率为13 D.当a=√2时，四边形NAMA2的面积为8√3 2.(2023·上海卷，16)对于平面上的一条曲线 C,若在平面上存在点M,使得C上任意一 点P,都存在C上的一点Q,使得MP·MQ =1.则称C为“自相关曲线”. ①任一椭圆都是“自相关曲线”②存在一 条双曲线是“自相关曲线” 下列说法正确的是 A.①是假命题，②是真命题 B.①是真命题；②是假命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 3.(2026·全国Ⅱ卷，18)(17分)已知椭圆E: 十y1(a>),过E的右焦点且与x翔 垂直的直线被E所截得的线段长为√2 (1)求E的离心率； (2)设O为坐标原点，给定点G(t,0)(t≠ 0),A(xy)(y≠0)为E上的点，过A作 y轴的垂线，垂足为B.直线OA与直线GB 的交点为P.当A在E上运动时，点P的轨 迹为M. 98 第二部分专题十平面解析几何 4.(2024·新课标Ⅱ卷，19)(17分)已知双曲 线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C 5.22·天津卷，19)椭圆号+若=1a>6>0) 上，k为常数，0<k<1,按照如下方式依次 的右焦点为F、右顶点为A,上顶点为B,且 构造点Pn(n=2,3,…),过点P-1作斜率为 的直线与C的左支交于点Qm-1,令Pn为 满足-受 Q-1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为 (1)求椭圆的离心率e; （xn,yn）. (2)直线1与椭圆有唯一公共点M,与y轴 1若=合求 相交于N(N异于M).记O为坐标原点，若 |OM=|ON|,且△OMN的面积为3，求 (2)证明：数列工，一是公比为牛套的等 椭圆的标准方程。 比数列； (3)设Sn为△PnPm+1Pm+2的面积，证明：对 于任意正整数n,Sn=Sm+1· 99 最新真题分类特训·数学 [考点2]离心率问题 2.(2024·天津卷，18)（本小题15分）已知椭 2025·天津卷，9)双曲线-=1(a>0 因后+芳=1a>≥b0》的房心率：=多在 b>0)的左、右焦点分别为F,F2,以右焦点 顶点为A,下顶点为B,C是线段OB的中 F2为焦点的抛物线y2=2x(p>0)与双曲线 3√3 点，其中SAAc= 在第一象限的交点为P,若|PFI十|PF2|= 2 3|FF2|,则双曲线的离心率e=() (1)求椭圆的方程. A.2 B.5 (2)过点[0，一)的动直线与椭圆有两个交 C.2+1 D.5+1 2 2 点P,Q.在y轴上是否存在点T使得TP· [考点3]取值范围及最值问题 TQ≤0.若存在，求出点T纵坐标的取值范 1.(2025·全国-卷，18)已知箱圆C:号+号 围，若不存在，请说明理由. 1a>6>0)的离心率为2g2,下顶点为 A,右顶点为B,|AB=/10. (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线 AP上，且满足|AP|·|AR|=3 (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表 示)； (iⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直 线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求 |PQ的最大值. 100 第二部分专题十平面解析几何 3.(2024·上海卷，20)(18分)本题共有3个 4.(2023·全国甲卷（理），20)(12分)设抛物 小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 线C:y2=2x(p>0),直线x-2y+1=0 分，第3小题满分8分： 与C交于A,B两点，且|AB=415 已知双线-茶-1,6>0)，左、右顶 (1)求p的值； (2)设C的焦点为F,M,N为C上两点， 点分别为A1,A2,过点M(一2,0)的直线交 双曲线T于P、Q两点. MF·NF=0,求△MNF面积的最小值 (1)若Γ的离心率为2，求b 2,△MA,P为等腰三角形，且 (2)若6=26 点P在第一象限，求点P的坐标 (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交Γ于 点R,若A,R·A2P=1,求b的取值范围. 10u 最新真题分类特训·数学 5.(2023·上海卷，20)（本题满分18分）第1 [考点4幻定点、定直线问题 小题满分4分，第2小题满分6分.第3小 1.(2023·新课标Ⅱ卷，21)(12分)已知双曲线 题满分8分. C的中心为坐标原点，左焦点为（一2√5,0），离 已知抛物线Γ：y2=4x上有一点A,A的纵 心率为5. 坐标为a>0. (1)求C的方程； (1)若A到T的准线的距离为3，求a的值； (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点 (2)若a=4,点B在x轴上，AB的中点在T (-4,0)的直线与C的左支交于M,N两 上，求点B坐标和坐标原点O到直线AB 点，点M在第二象限，直线MA1与NA2交 的距离； 于点P,证明：点P在定直线上 (3)若对于C上第一象限的任一不与A重 合的点P,设直线AP与直线l:x=一3交 于点Q,作PH⊥l于H,都有|QH|>4恒 成立，求a的取值范围. 102 第二部分专题十平面解析几何 2.(2023·全国乙卷（理），20)(12分)已知椭 3.(2022·全国乙卷（理），20)(12分)已知椭 时C学+云-1(a>6>0)的离心率为气， 圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y 点A(-2,0)在C上. 轴，且过A0,-2,B(8,-1]两点. (1)求C的方程， (1)求E的方程； (2)过点（一2,3）的直线交C于P,Q两点， (2)设过点P(1,一2)的直线交E于M,N 直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N, 两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB 证明：线段MN的中点为定点， 交于点T,点H满足MT=TH.证明：直线 HN过定点. 103 最新真题分类特训·数学 [考点5]面积问题 2.(2026·北京卷，19)(15分)已知椭圆E: 1.(2026·全国I卷，18)(17分)已知椭圆C: 士X0>b>0)的-个顶点是2,0 a2+ +1(a>6>0)的左焦点为F(-1,0, 离心率为？.过点A1,1D且斜率为k(k≠士1) 高心率为2 的直线交椭圆E于B,C两点，B关于直线y= (1)求C的方程； x的对称点为D,直线DC交直线y=x (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的 于Q. 动直线l与C交于P,Q两点，其中Q在第 (1)求E的方程； 三象限，直线PO与C的另一个交点为R. (2)若S人e5R=君，求点 (ⅰ)若△PQR的面积是△PFO的面积的3 倍，求1的方程； (i)求tan∠PQR的最小值. 10g 第二部分专题十平面解析几何 3(2025·全国=卷，16)已知箱图C:号+芳 4(2025·北京卷，19)已知椭圆E三子名 =1(a>6>0)的离心率为号，长轴长为4， (。>6>0),离心率为号，椭圆上的点到两个 (1)求C的方程； 焦点的距离之和为4. (2)过点(0，一2)的直线L与C交于A、B两 (1)求椭圆E的方程； 点，O为坐标原点.若△OAB的面积为√2， (2)设O为原点，M(x,y)(x≠0)为椭圆 求AB|. 上一点，直线xx十2yoy-4=0与y=2和 y=一2分别交于A,B两点.△OMA与 △0B的面积分别为5.s.猫想8与88 的数量关系并求证 105同显可得1AD1√+是合-2a =+名+2a: 所以|AB|+|AD|=V1+R1k-2a|+1+ + ≥+及·+居 /1+2) 设fm)=+m》=m+3m十+3， m 可得f(m)=2m+3-马=2m-1)(m+1)2 m m 可知m)在(0，)上为减画数，在（合1）上为增函 数.所以m在0D上的最小值为f(合）一平。 所以AB十AD=)≥9，由于两关取等的条件 不一致， 所以矩形的周长为2(|AB|+|AD|)>3√3. 7.解：(1)如图，由已知xM=p, y IMFI=3=xw+号， 所以p=2,抛物线C的方程 y2=4x. (2)令k=k1=tana,kB= 0/F D k2=tan B,tan (a-B) N 是 令M(x1,y1),N(x2,y2),(y1>0,y2<0)A(x3,y), B(x4ya)(y3<0,y4>0),AB:y=k2(x-m), 由/y=6,(x-1D y y2=4x 得x1x2=1, 9 ”得工x4 0 =m2, 如 得x1西=4， (y=k(x-2) y=4x 得x2x4=4, 所以有M2团.N(会爱) A信层)4因. 6气=写又要使。一日最大，则 (0,受）即>0， 详解详析 所以an(e一D=1十k,1+21+2k2 k1一k2= k2 1 故当好=号时a一日最大。 此时易得x3x4=16x1x2=m2,所以m=4,所以直线AB 方室y=号(x-0. 第5节圆锥曲线的综合问题 考点1圆锥曲线的标准方程和几何性质 1.ACD根据双曲线的对称性可知A1A2与MN互相平 分，所以四边形AMA2N是平行四边形，因为∠NA1M -否，所以∠AMA,=吾，A正确，以FF为直径的圈 的方程为x2+y=c2, 不妨设渐近线y=白x, a x2+y2=c2 由}m=b。,设M(a,b),N(-a,-b), 又因为A2(a,0),所以MA2⊥A1A2 Rt△MA,A,中，∠A,MA,=百， 所以MA1：|MA2=2:√3，所以B错误. 所以|A1M=/TA1A22+MA2 =√4a+b=√3a2+c2, 由|A,M=2|A1A2|得√3a2+c2=4a, 即c2=13a2,即e2=13,所以e=√13，所以C正确.因为 当a=√2，c2=26,从而b2=24,即b=2√6，四边形 NA,MA,的面积为S=2X号×22×26=8B,所以 D正确. 2.B①，椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点； ②：点P的任意性，∴.|PMax→十∞，：|QMmn是固 定的，∴.无法对任意的P∈C,都存在Q∈C,使得|PM ·1QM=1. 3.解：(1)因为椭圆E的方程中b2=1,所以半焦距c= √a一1.右焦点为F(c,0),过F垂直于x轴的直线为x =6关与精国交点的织丝标满足号十y了1D-1 这周为我线段长度为E,所以：名=→a a2 =√2， 所以c=V√2-1=1.椭圆的离心率为：e=二=2 2 (②)(1)由1)知横周E方程为号+y=1→2+2时 2.已知A(x0,y%),因为B是A在y轴上的垂足，所以 B(0,6).直线A0的方程为：y=x→6x-xy=0, 支线GB过G0),B0,9)两点，方程为：兰十头-1 yox+ty=tyo, 05 最新真题分类特训·数学 设交点为P(x,以.由A0得-二将元代入GB方 程-)=宁%=，号 从而出兴 因为A(x%)在椭圆上，所以满足号十2好=2.代入可得： (+2兴）广-2a+0= 展开整理，即得M的方程为：(t2-2)x2+4tx十2ty2 2t2=0(y≠0). (「)对M的方程进行配方： e-8+2)广+2y=20) 若2一2=0→t=士√2，方程为抛物线（去掉与x轴交 点)，无中心，点；若t≠士√2时，M存在唯一的中心点，其 坐标为（二20）片 当≠士√2时，将M平移至中心在原点处的M',其方程 形式为：-202+20y2 分析其几何形状：1.当t≠0且t≠士√2时，M有对称中 心，2.若t2-2>0→|t|>√2：x2与y2项的系数均大于 0,且右端项大于0，此时M为椭圆（去掉与x轴交点）： 3.若t2-2<0→0<|t<√2：x2项系数小于0，y2项系数 大于0，且右端项小于0，此时方程变形为(2一t)x2-2y 24 一2，此时M为双曲线（去掉与x轴交点）。 4.解：(1)P(5,4)在C上，.25-16=m,m=9, 过卫，6，④且斜率k=号的直线方程为y一4=红一5， 即x-2y十3=0， -2y+3=0→=8x=5。 (x2-y2=9{y=0{y=4 .Q(-3,0),P2(3,0),∴.x2=3,y2=0. (2):P.(xyn)关于y轴的对称点是 Q。-1（-xnyn),而Pn-1(xm-1ya-1) Q。-1都在同一条斜率为k的直线上， ∴xn-1≠一x, 一少1=k,:P。1,Q-1都在双曲线上， 一Xn一工我-1 /=9,0 “{x21-y2-1=9,② ①-②→(xn-xn-1)(xn十x-1) =(yn-y.-1)(yn+ym-1） 而.一y-1=-(x十x,-1)③， xn-x-1=-b(yn十y.-1)④， ④-③→xn-yn-(xa-1一yn-1） =k(xn-yn)+k(x-1一ym-1） .(1-k)(xn-yn)=(1+k)(xa-1-ya-1), 多告特 即数列亿一是公比为}出营的等比截列。 (3)要证：Sn=Sn+1,只需证明Pn+1P+2∥P.P+3,即证 p+1P+g=p,P+g’ 1+k 记t=-0<<1→>1， -%=✉)（告） =1, 而x-y=9,∴xn十yn=9t-", ∴=合（-1+9 而 1=+2-之1=t2十t1-y41-t pn+1Pn+2a+2一ya+1 ya+2y%+1 2t"(t-1) =1+(-t1+91)-(-r+9 2"(t-1) 2 =1+-9g-D-192+ 1=+十+2-y.-1 kpPat3 yn+3一yn 2-1(3-1) =1+(-t8+92a-)-(-1+92可 2t-1(t3-1) =1+-90--)(t-1 2t-1 2t0 =196+=19+t kp+1Pt2=kp.P+8.P+iP+e∥PP+a ∴.Sn=Sm+1 据0器景 a vb+a =5今4a2= 2 3(6+a2)→a2=362, a2-b-6 离心率为e=名。 3 (2)由(1)可知椭圆的方程为x2十3y2=a2, 易知直线L的斜率存在，设直线l的方程为y=x十m, 联立y=kx十m {x2+3y2=a2 得(1+3k)x2+6km.x+(3m2-a2)=0, 由△=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-a2)=0→3m2= a2(1+3k2),① 3km m IM=- 3k+1M=xM十m=1十36， 由lo=0N可择m-,② 由5w=可得号m·-5,四 联立①@回可得皮=弓m=4,。2=6,故精圆的标准方 程为后+号-1 考点2离心率问题 A如图所示，设|PF2|=m, 3c-a 则|PF1I=m+2a,|PMI =m. 由|PF1|+|PF2|=3|FF2 3c+a 可得m十(m十2a)=6c,所以 3c-a m=3c-a,过P作PM⊥ MF,交点为M. 06 从而|PF1|=3c+a,|F2H|=|PM-|F1F2|=c-a. 由|MFl1=|PH得(3c+a)2-(3c-a)2 =(3c-a)2-(c-a)2, 所以12ac=8c2-4ac,整理即得c=2a, 故离心率e=名=2. 考点3取值范围及最值问题 1.解：(1)依题有Va+6-√10且√a-B-2区 a 3 解得a=3,b=1,故C的方程为 9+y2-1. (2)(1)易知A(0,-1),设AR=tAP(t>0), 3 3 则=1AP=m+(n+1)' OR=OA+AR=(0,-1)+t(m,n+1) =(tm,t(n+1)-1) =(m++'m+n+n-1 3m 3(n+1) 故点R的坐标为 3m 3(n+1) (m2+(+1)2'm+(m+1)-1） （)由koR=3kp可知 3(m+1)-m2-(m+1)2=3n 3m m 整理可得m十(n十4)2=18，所以，点P在圆心为N(0,一4)， 半径r=3√2的圆上运动. 设Q(),则号+听=1，其中-1<%<1， 故|PQI≤IPN|+|NQI=3V2+√/6+(y.+4)2 =3√2+√9(1-y6)十(y。+4) =3√2+√/-8y后+8y+25 =3E+√-8-) +27≤3√2+3√5， 取等条件为%=Z,且P在线段QN延长线上， 1 故|PQ的最大值为3√2+3√5. 1 2.解：(1)因为椭圆的离心率为e=之，故a=2c,b=3c,共 中c为半焦距， 所以A(-2,0,B0,50.c0,-） 故5a-合X2c×厚-3y9, 2 2 解得c=√3，所以a=2V3,b=3, 故椭圆方程为三十女=1. 129 (2)若过点(0，-昌)的动直 线的斜率存在，则可设直线方 3 程为：y=bx一 设P(y),Q(x22),T(0,t), 详解详析 /3x2+4y2=36 =红-是，可得63+4x-12x-27=0, 由 故△=144k2+108(3+4k2)=324+576k2>0且x1十x2 12k 27 3+4R西西= 3+4k21 而TP=(x1y-),TQ=(x2y2-t),故TP·TQ=西x +6-%-0=4鸡+（号-(s是-） =1+)x-(是+小西+)+（号+）=d +)x(3e)一(2+)×+（受+） -27-27-18-12+3(是++3+20t 3+4 [3+2-12-45]0+3(是+）-27 3+4k2 因为TP·TQ0, ,(3+2t)2-12t-45≤0 {3(+)°-27<0 ,解得-3≤≤ 若过点(0，一吕)的功直线的斜率不寿在， 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3), 此时需-3≤<3，两者结合可得-3<<号. 综上，存在T0,0且-3≤≤号使得TP.TQ≤0， 3解：①因为6=2，脚后=2，片以后=4 a 因为a2=1,所以c2=4. 因为a2十6=c2,所以6=3，所以b=√3（负舍）. (2)因为△MA2P为等腰三角形， ①若MA:为底，则点P在直线x=-?,与P在第一象 限矛盾，故舍去. ②若A2P为底，则MP=MA2,与MP>MA2矛盾，故 舍去. ③若MP为底，则MA2=PA2, 设P(x0y0),x0>0,y>0. 则√/(x-1)2十(y-0)=3,即(x-1)2+y2=9,又因 为-=1， 8 3 得(x-102+(-1D×营=9，得11x2-6x,-32=0 得=2，y=2√2，即P点坐标为P(2,2√②). (3)由A1(-1,0),A2(1,0),设P(x1,),Q(x2,y2),则 R(--),设直线1：x=my-2(m>方） -2(> 联立 得(6m2-1)y2-462my+ 97 最新真题分类特训·数学 4b'm y1+%=62m2-1' 3b2=0,则 362 y·%=8m2-1 A1R=(-x2十1，-2)，A2P=(x1-1,y), 又由A1R·A2P=1,得(-x2十1)（知-1）-y2=1, 即(x2-1)(x1-1)+yy2=-1, 即(my2-3)(my-3)+y1y2=-1, 化简后可得到(m2+1)yy2-3m(y十y2)+10=0, 所以362(m2+1)-12m2b+10(62m2-1)=0, 化简6m+362-10=0, 所以b2= 又m分所以公头 1062 + 36+1,得6≠3，所以6 ∈0,3U(3,]6>0, 故6的取值范国是(0U,0） 3 4解：1)设A(x,B(xa3),由-2十1=0 得， ly=2px y2-4y+2p=0,所以ya+yB=4p,yAyB=2p, 所以|AB=√(xA-xB)+(yA-ya)产= 5lya-ya=5X√ya+yg)2-4yayg=4√15， 即2p2-p-6=0,因为p>0,解得：p=2. (2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN:x=my十n,M(x1,y),N(x2,y2), 由心=红可得，y一4my一4n=0,所以，》十为 x=my+n 4m,y1y2=-4n, △=16m2+16n>0→m2+n>0, 因为MF·NF=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0, 即(my1+n-1)(my2+n-1)+yy2=0, 亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0, 将y1+y2=4m,y1y2=一4n代入得， 4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0, 所以n≠1，且n2-6m十1≥0，解得n≥3+2√2或n≤3-2√2. 设点F到直线MN的距离为d,所以d=n-1山 √1+m 1MN|=√(x1-x2)2+(y1-y2)= √1+mly1-y2=√1+m√16m2+16m =√/1+m√4(n2-6n+1)+16n =2W1+m21n-1|, 所以△MNF的面积S=号XMN×d =××2什1m-1=(a-1. √1+m 而n≥3+2√2或n≤3-2√2，所以， 当n=3-2√2时，△MNF的面积 Smn=(2-2√2)2=12-8√2. 5.解：(1)准线为x=-1,∴xA=2,a=%=2W2 (2)A4,0,最B6,0),线段AB的中点为（生，2） .4=2(4十b)→b=-2,即B(-2,0),∴.直线AB为2x-3y 十4=0，原点0到直线AB的距离d=4=4国 √1313 3)设P(芹p小：A(管a) ∴.直线AP:4x-(a+p)y十ap=0, Q(-3g ,H(-3,), HQI= -=书 即(p-2)2>4(a-2)对p∈(0，a)U(a,十∞)恒成立， 当a=2时，p≠2，（p-2)2>4(a-2)成立；当a-2<0 时，即a<2时，(p-2)2>4(a-2)成立，此时0<a<2; a的取值范围为(0,2] 考点4定点、定直线问题 1.解：(1)由题意c=2√5，e=√5=C 则a=2,8=16,双曲线C的方8为-后-1 y (2)设过，点B的直线x=ty一4，联立 双曲线得(42-1)y2-32ty+48 =0, 32t 48 则y十为=42-14业=4二1' B A 04.* 则x1十x=4t-1' 8 金线-号 直线NA2:y业=2」 %x2-21 联主消去，得（医号+=（号+小 代入韦达定理解得x=一1， 即P在直线x=一1上. b=2 2.解：(1)由题意可得 a2=62+c2 e= c=⑤ a 3 ,a=3 解得b=2, c=5 所以指图方复为苦+苦-1： (2)由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:y=k(x十 2)+3, P(x1,y1),Q(x2y2), 1y=k(x十2)+3 联立方程 y21x =1 ,消去y得：(4k2+9)x2+8 (9+4 (2k+3)x+16(k2+3k)=0, 则△=64k(2k十3)2-64(4k2+9)(k+3k)=-1728k> 0,解得k<0, 208 详解详析 8k(2k+3) y 可得x1十x2= 一8(2十k) 4k2+9 M y十y2= 3k2+4 一24k(米) 16(k+3k) 得 4(4+4k-2k2 ,且x12十xy=3k2+4 x1x2= 4k2+9 3k2+4 因为A(一2,0)，则直线AP:y= B y-y 十2x+2), y1 联立 y= -2可得T(+3H,十6 令x=0,解得y= 2y1 1+2 即 x1M),可求得此时HN:y一y%=3干6-石-x y1y2 (x 2y11 M0,+2} x2),将(0，-2)代入整理得2(x1十x2)-6(y1十y2)+ x1y2+x2y1-3y1y2-12=0, 同理可得N0, 2y21 将(*)式代入，得24k+12k+96+48k-24k-48-48k x2+2 +24k2-36k2-48=0,显然成立. 2y2 则西十2T2+2k(+2)+3(2十2)十3 综上，可得直线HN过定，点(0，一2). 2 西1十2 2十2 考点5面积问题 [1+(2k+3)](x2+2)+[kx2+(2k+3)](x+2) 1.解：(1)椭圆左焦点为F(-1,0),故c=1. (x1+2)(x2+2) 2k1x2+(4k+3)(x1十x2)+4(2k+3) 高心率为一日=名，所以u=2. xx2+2(x1十x2)+4 又62=a2-c2=4-1=3. 32k(k+3)_8k(4k+3)(2k+3》+4(2k+3) 4k2+9 4k2+9 地号+=1 16(k+3)_16k(2k+3)+4 =108-3, 36 (2)设直线1的斜率为t>0.直线过F(-1,0), 4k2+94k2+9 所以线段MN的中，点是定，点(0,3). 数1=十1D.代入海国得号+时-1， 3 3解：(1)设E的方短为号+若-1(a>0,6>0,将 即(3+4t)x2+8tx+4t2-12=0. 设上方交点为P,第三象限交点为Q, 4 =1, 则p=2(-2+3VP+D A0,-2,B(受，-1两点代入得 4t2+3 品+ =1, 0=2-2-3F+D 4t2+3 (a@>0,6>0,解得d-3,6-6,故E的方程为写+号 由于椭圆关于原点对称，直线PO与椭圆的另一交点为 =1 R,OR=-OP. (2)由A0,-2,B(受-1 (i)P,Q,F共线，且OR 可得直线AB:y=号一2， =-OP. 点O到直线1的距离为 ①若过P(1,一2)的直线的斜率不存在，直线为x=1.代 t ,点R到直线I的 入+号=1，得M(1,2)N,-2# 2+1 距离为其2倍 25代入AB:y=号x-2,可得T6+3,2).由M 3 国=祭 -殖，得H(2、6+5,2)易求得比时直线HN:9 由超海为-3器-号PF=20 (2-2）-2所以直线注点0，-2》. 用横坐标差表示同一直线上的长度， 得xp十1=2(-1-xa). ②若过，点P(1,一2)的直线的斜率存在，设k:x一y一(k十 2)=0,M(x1,y1),N(x2y2. 代入上式化简2作=3，故=汽， kx-y-(k+2)=0 5(x+D 联立》 ,得(3k2+4)x2-6k(2+)x+ 所以l:y= 3 ()由计算可得直线QR的斜率为a=一E, 3k(k+4)=0. 直线QP的斜率为t.两直线夹角的正切为 6k(2+k) x1十x2 3 3k2+4 故有 koR一t 3 3k(4+b) tan∠PQR= =4t十 x1x2= +tkoR 3k2+4 1- t 209 最新真题分类特训·数学 由基本不等式， 41+2≥212=43， 当=时取等号 2 因此tan∠PQR=4V5. 2.解：(1)（圆锥曲线基本概念法）由题意可知a=2,离心 率为C=1 a 2' 所以c=1,又a2=b十c2,所以b=√3. 故E的方银为营+号-山 (2)(面积同高法)如图，设 90 B(x1y1),C(x2y2）, 由题意，得直线BC的方程为 y=k(x-1)+1, 由+=1 0 ,消去y (y=k(x-1)+1 得(4k2+3)x2+8k(1-)x+4(1-k)2-12=0, 则△=[8k(1-k)]2-4(4k2+3)[4(1-k)2-12]>0, +=微40-40 4k2+3 又B关于直线y=x的对称点为D,则D(y1,x), 设Q(t,t), 易知直线DC斜率存在，由D,C,Q三点共线，可得二 y =y2一x1 x2一y1 解得t= “年+，所以 y1y2一x1x2 Q(k士11,13k+1 8k十6’8k+6J1 设点Q到直线BC的距离为d,则d=1k-1)(1-1D √1+2 5|k2-11 √1+|8k+6l 由弦长公式可知AB=√1+k1x1-1|, 1AC=√1+k21x2-1|, 则|川AB|-|AC1|=√1+k1x1+x2-2|=√1+k2· -8k-6 4k2+3? S△ABQ IABId-ACld4AB1-IACII- 8 即是中… -8k-6 4k2+3 51k2-1L=5 √1+18k+618’ 化简得一1=1 4k2+3-4 解得=土 4 3.解：（①由题意知2a=4,a=2,由e=名-号得c=V包， 6=d2-6=2,故号+苦-1 (2)①L斜率不存在时舍去. ②设l方程为y=kx一2，A(x1y1),B(x2y2), (y=kx-2 联立 得(1十2k2)x2-8kx十4=0 由4=64-1601+20)>0，得>号表K-号 2 2 8k 所以x十x=1十2k12,=1+2 所以|AB|=√1十k21x1 2√8(k+1)(4k+2-4)_4√(k+1)(2k2-1) 4k2+2 2k2+1 2 O到AB的距离d= √1+k2 所以SAOB= 4√k+1)(2k-1D= √1+ 2k2+1 42处-2，解得= 2k2+1 2 |AB|= 1)() 2x+1 =√5 4.解：1)依椭圆定义知2a=4,而离心率e=二= ,所以 2 三2，c=V2,b=a2一c2=2,椭圆E的方程为女 2 =1. xx+2y0y-4=0 (2)联立 ,消去x得， (4-20）+2y2=4, 整理得，(2x+4y)y2-16yy+16-4x6=0①， 又草+营-1，所以2+40d=8,16-4=8话， 故①式可化简为8y2-16yy十8y后=0，即(y-)2=0, 所以y=yo, 所以直线xox十2yoy一4=0与椭圆相切，M为切点. 设A(x1y),B(x2y),易知，当x1=x2时，由对称性可 -88 提<场爱-微- 联主2少4=0，解得-4丝，=2. (y=2 联立巴x十2)一4=0，解得4 y=-2 4+40,2=一2， 所以=西一西= 4-4如一五。4-4一号 S2x0一x2 4+4x6-4y0-4 = 26-4。 2-yo -2听-4.2+ 1OA_+4 从而OB√运+4 (4-4)2+4号 /(2-2)2+4-2y8 4+4)y+42√2+2)+4-2 56-4%十4_ 2,又S2MB。+2· 房+4%十42汗%】 S=IAM_2- OB