解析几何中的面积及面积的最值 专项练习-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解析几何面积及最值问题，系统整合公式推导与解题方法，构建“公式—推导—应用”逻辑链条，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积公式推导|5个公式（含2种证法）|三角形面积：距离公式、向量叉积；四边形面积：对角线乘积法|从特殊到一般，推导不同条件下面积公式，建立代数与几何联系| |面积及最值应用|12道题（含2道高考真题）|最值求解：函数求导、不等式法；结合圆锥曲线：联立方程、韦达定理|以公式为基础，应用于椭圆、抛物线、双曲线，形成“公式应用—综合问题—最值突破”递进逻辑|

高中数学精选专题-解析几何 解析几何中的面积及面积的最值 湖北天门 薛德斌 解析几何中三角形和四边形的面积公式 一、已知，，直线的方程为，，为坐标原点，的面积为，点到直线的距离为． 1．． 2．． 3．． 4．． 证法一：直线的方程为，即， ，由2可证． 证法二：， ， ∴． 更一般的，若，，则． 5．． 二、四边形中，与相交于点，则四边形的面积为 ． 1．【2024年全国新课标Ⅰ卷T16/19】已知和为椭圆：上两点． （1）求的离心率； （2）若过的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【要点】解法一：求线求点． 解法四：设线解点． 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）解法一：（求线求点）以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平行线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程； 解法二：设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可，其他同解法一； 解法三：利用椭圆的参数方程求解，其他同解法一； 解法四：（设线解点）首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，求出点的横坐标，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案； 解法五：利用根与系数关系求弦长，其他同解法四； 解法六：利用面积＝×水平宽×铅锤高，其他同解法四. 解法七：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可. 解：（1）由题意得，解得，所以. （2） 解法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则，， 设与直线平行且距离为的直线方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或，即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上所述，直线的方程为或. 解法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 解法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 解法四：（设线解点） 当的斜率不存在时，，，，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， 由，得， 依题意，且，即， 依题意，即，∴， ∴， 到直线距离， ∴，解之得或，均满足题意， ∴或，即或． 解法五：， ，其他同解法四． 解法六：设与轴的交点为，令，则， ， 则，其他同解法四． 解法七：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为，点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 2．【2024年全国适应性测试（九省联考）T18/19】已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点． （1）证明：直线过定点； （2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）设出直线与直线的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线后即可得定点坐标； （2）.解法一：（面积分割与转化），， ． 解法二：设出直线与直线的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点的横坐标恒为，再结合面积公式及基本不等式即可得． 解：（1） 设，， 设，则．由，得， 故，，，． 所以． 同理可得． 若，则直线，MN过点． 若，则直线，MN过点． 综上所述，直线MN过定点． （2） 解法一：（面积分割与转化）设H为AD的中点， ∵，∴．同理可得， ∴． 由（1）可得，同理可得． ∴， 当且仅当时等号成立． ∴的面积的最小值为8． 解法二：设，，，， 则，由，， 故， 同理可得，联立两直线，即， 有， 即， 有，由，同理， 故 ， 故， 过点作轴，交直线于点，则， 由、， 故， 当且仅当时，等号成立， 下证： 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方， 有，由直线过定点， 此时， 同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方， 有，故此时， 当且仅当时，， 故恒成立，且时，等号成立， ∴，即的面积的最小值为8． 3．已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，O为坐标原点． （1）求的方程； （2）设过点A的动直线与相交于P，Q两点，当的面积最大时，求的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【要点】换元＋基本不等式，求最值． 解：（1）＝，得c＝．又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1． 故的方程为． （2）当l⊥x轴时，不合题意， 故可设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，|PQ|＝|x1－x2|. 又点O到直线l的距离d＝. 所以的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝|x1－x2|＝. 设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝. 因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，满足Δ>0， ∴当的面积最大时，k＝±，的方程为或． 注：． 4．设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （1）若，求的值； （2）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）或；（2）． 【要点】解法一：平方＋分离常数＋基本不等式，求最值． 解法二：三角换元 解法三：点的坐标＋基本不等式 解法四：Δ法 解法五：数形结合（切线） ( D F B y x A O E )解：（1）依题设得椭圆的方程为， 直线的方程分别为，． 如图，设，其中， 且满足方程，故．① 由知，得； 由在上知，得． 所以，化简得，解得或． （2）设，，， 由题设，，， 故四边形的面积为， 解法一：，， ∵，∴，∴， 当，即当时，四边形面积取得最大值为． 解法二：设，，， 则， 当，即，，即时，四边形面积取得最大值为． 解法三： ， 当，即，，即时，四边形面积取得最大值为． 解法四：Δ法． 解法五：数形结合（切线）． 5．设动直线与椭圆：有且只有一个公共点，且直线与两定直线：和：分别交于，两点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 【答案】的面积存在最小值为8． 【要点】对直线的斜率分类讨论． 解：（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有. （2）当直线的斜率存在时，设直线， 由 消去，可得. 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即. ① 又由 可得；同理可得. 由原点到直线的距离为和，可得 . ② 将①代入②得，. 当时，； 当时，. 因，则，，所以， 当且仅当时取等号. 所以当时，的最小值为8. 综上所述，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8． 6．如图，有一个“果圆”，轴左边为一个半圆，轴右边为一个半椭圆（焦点在轴上），且它与轴正半轴的交点为，椭圆的离心率为． （1）求半椭圆的标准方程； （2）过点作直线与果圆交于另一点（与不重合），若的面积为1，求直线的方程： （3）若轴上方有一条斜率为0的直线与果圆相交于、两点，连接、并延长，分别交果圆于点、点，连接，记、的面积分别为、，求的最大值． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【分析】（1）设半椭圆的方程为，结合题意，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设点到直线的距离为，根据题意，求得，得到点落在直线上，联立方程组，求得点的坐标，进而求得的方程； （3）． 解法一：设，． 解法二：设直线． 解：（1）设半椭圆的方程为， 因为半椭圆与轴正半轴的交点为，可得， 又因为椭圆的离心率为，可得，即， 因为，即，解得，所以半椭圆的标准方程为. （2）设点到直线的距离为， 由点，可得直线的方程为，且， 因为若的面积为1，可得，解得， 设点落在直线时，则，解得或， 此时或， 当时，联立方程组，其中， 整理得，此时，不符合题意，舍去； 当时，联立方程组，其中， 整理得，解得或，此时点或， 所以的方程为或. （3）由， 因为，可得所以． 不妨设点在点的右边． 解法一：设，． 联立方程组，得， 同理可得，，，， 依题意，，， ∴ ， 当且仅当即时，等号成立， ∴的最大值为． 解法二：设直线， 联立方程组，解得，此时； 联立方程组，解得，此时 所以直线，直线 联立方程组，可得， 联立方程组，可得， 则 ∵， ∴，当且仅当即时，等号成立， ∴的最大值为． 7．在平面直角坐标系中，已知椭圆： 的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3． （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆：相交于不同的两点，，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在或，的面积最大为． 【解析】（1）设 由，所以 设是椭圆上任意一点，则，所以 当时，当时，有最大值，可得，所以 当时， 不合题意， 故椭圆的方程为 （2）中，， 当且仅当时，有最大值， 时，点到直线的距离为 又，，， 综上所述，存在或，的面积最大为． 8．已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，∴所求椭圆方程为． （2）设，． （1）当轴时，． （2）当与轴不垂直时，设直线的方程为． 由已知，得． 把代入椭圆方程，整理得， ∴，． ∴ ． 当且仅当，即时等号成立．当时，， 综上所述． ∴当最大时，面积取最大值． 9．已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线l与椭圆交于，两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求 的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为， 所以，又椭圆的离心率为，即，所以， 所以，椭圆M的方程为． （2）方法一：不妨设AB的方程为． 由消去x得， 设，则有，. 因为以AB为直径的圆过点C，所以， 由， 得， 将，代入上式， 得. 将①代入上式，解得或m=3（舍） 所以（此时直线AB经过定点D（，0），与椭圆有两个交点）. 所以. 设，，则. 所以当时，的面积取得最大值． 方法二：不妨设BC的方程为，则AC的方程为． 由得． 设 因为，所以， 同理可得， ∴，， ， 设，则， 当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为． 10．如图，椭圆：的离心率为，其左焦点到点的距离为．不过原点O的直线l与相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． （1）求椭圆的方程； （2）求ABP的面积取最大时直线l的方程． 【答案】（1）；（2）． 解：（1）由题：；① 左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：．② 由①②可解得：．∴所求椭圆C的方程为：． （2）直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0． ∵A，B在椭圆上，∴． 设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)， 代入椭圆：． 显然，∴＜m＜且m≠0． 由上又有：＝m，＝． ∴SABP＝d|AB|＝|m-4|， 令， 则， 此时直线l的方程． 11．如图，椭圆：的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为8． （1）求椭圆M的标准方程； （2）设直线与椭圆M有两个不同的交点，，与矩形有两个不同的交点，，求的最大值及取得最大值时m的值． 【答案】（1）；（2）当和0时，取得最大值． 解：（1）……①， 矩形ABCD面积为8，即……② 由①②解得：，∴椭圆M的标准方程是. （2）， 设，则， 由得. . 当过点时，，当过点时，. ①当时，有， ， 其中，由此知当，即时，取得最大值. ②由对称性，可知若，则当时，取得最大值. ③当时，，，，当时，取得最大值. 综上可知，当和0时，取得最大值． 12．（1）过双曲线：上一点作切线分别交两条渐近线于，两点，试探究面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由； （2）已知双曲线：，直线：，过点的直线与的右支交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，，直线，交于点． ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值． 【答案】（1）是定值；（2）①直线过定点；② ． 【详解】（1）不妨设是双曲线在第一象限的点，则，，，， 则过点的切线方程为：，即， 与双曲线渐近线联立，即，， 解得或， 设，则,， 因为， 所以， 所以面积是定值2．    （2）①设，则， 由题知，过的直线斜率不为0，设该直线方程， 因为点，为右支上的点，所以或， 所以， 由得，，， ，则，即， 由图象知直线的斜率存在，所以， 故直线的方程为：， 令，， 由得，， 所以直线过定点， 同理可得直线也过定点， 所以直线与的交点为． ② ， 令，，则， 因为函数在上单调递减，， 则，即， 所以， 故面积的最小值为．    解析几何—面积与面积的最值 第 25 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学精选专题-解析几何 解析几何中的面积及面积的最值 湖北天门 薛德斌 解析几何中三角形和四边形的面积公式 一、已知，，直线的方程为，，为坐标原点，的面积为，点到直线的距离为． 1．． 2．． 3．． 4．． 证法一：直线的方程为，即， ，由2可证． 证法二：， ， ∴． 更一般的，若，，则． 5．． 二、四边形中，与相交于点，则四边形的面积为 ． 1．【2024年全国新课标Ⅰ卷T16/19】已知和为椭圆：上两点． （1）求的离心率； （2）若过的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程． 2．【2024年全国适应性测试（九省联考）T18/19】已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点． （1）证明：直线过定点； （2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值． 3．已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，O为坐标原点． （1）求的方程； （2）设过点A的动直线与相交于P，Q两点，当的面积最大时，求的方程． 4．设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （1）若，求的值； （2）求四边形面积的最大值． 5．设动直线与椭圆：有且只有一个公共点，且直线与两定直线：和：分别交于，两点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 6．如图，有一个“果圆”，轴左边为一个半圆，轴右边为一个半椭圆（焦点在轴上），且它与轴正半轴的交点为，椭圆的离心率为． （1）求半椭圆的标准方程； （2）过点作直线与果圆交于另一点（与不重合），若的面积为1，求直线的方程： （3）若轴上方有一条斜率为0的直线与果圆相交于、两点，连接、并延长，分别交果圆于点、点，连接，记、的面积分别为、，求的最大值． 7．在平面直角坐标系中，已知椭圆： 的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3． （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆：相交于不同的两点，，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由． 8．已知椭圆：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值． 9．已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线l与椭圆交于，两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求 的面积的最大值． 10．如图，椭圆：的离心率为，其左焦点到点的距离为．不过原点O的直线l与相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． （1）求椭圆的方程； （2）求ABP的面积取最大时直线l的方程． 11．如图，椭圆：的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为8． （1）求椭圆M的标准方程； （2）设直线与椭圆M有两个不同的交点，，与矩形有两个不同的交点，，求的最大值及取得最大值时m的值． 12．（1）过双曲线：上一点作切线分别交两条渐近线于，两点，试探究面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由； （2）已知双曲线：，直线：，过点的直线与的右支交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，，直线，交于点． ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值． 解析几何—面积与面积的最值 第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $