4.1 函数&4.2 认识一次函数-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

第四章 一次函数 1 函数 已课内基础闯关 知识点③ 函数值及自变量的取值范围 知识点① 函数的概念 5.函数y= x一1 的自变量x的取值范围是 1.(2025一2026梅州梅县区期中)下列曲线中， 能表示y是x的函数的是 ) 6.已知函数y=2x十5，当x=0时，y= ;当x= 时，y=0. 色课外拓展提高 7.(教材变式)如下图，y表示某人一昼夜的体 温，x表示时间.根据图象回答下列问题： (1)该图象反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据图象填写下表： D x/时2 4 812161820 22 y/℃ 知识点②函数的表示方式 (3)y可以看成x的函数吗？为什么？ 2.情境应用某救援队在一次前往灾区的救援 /℃1 活动途中遇到塌方路段，经过一段时间的清 3 障，该救援队加速前进，最后到达救灾地点， 则该救援队行进路程y与行进时间x的函 数关系的大致图象是 024681012141618202224x/时 v/km y/km y/km v/km x/h Ox/h O x/h 0 x/h A B D 3.某文具店开展促销活动，销售总价y与卖出 笔记本数量x的关系如下表： 数量x/本 1234 5 知识要点归纳 … 销售总价y/元814202632… 1.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量工 当x=7时，y= 和y,并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯 4.油箱装满45L油，油从油箱的管道均匀流 一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其 出，90min可以流尽.油箱中剩油量y(单 中x是自变量 位：L)与流出时间x(单位：min)之间的关系 2.函数的三种表示方式：(1)表格；(2)关系式： (3)图象. 式是 42 八年级数学BS版 2认识一次函数 第1课时 认识生活中“均匀”变化的现象 色课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点认识生活中“均匀”变化的现象 4.在学习地理时，我们知道“海拔越高，气温越 1.下列变化过程属于均匀变化的是 低”.下表是海拔h(单位：km)与气温t(单 A.春天到了，竹笋的生长过程 位：℃)的关系.根据下表，回答以下问题： B百米赛跑时，运动员从起点到终点的速度 海拔 0 1 2 3 4 5 随时间的变化 h/km 气温 C.车辆以恒定的速度从甲地行驶到乙地时， 20 14 8 10 t/℃ 距乙地的路程随时间的变化 (1)由表可知，海拔每上升1km,温度降低 D.体育课上，投掷出的铅球飞行高度的变化 ℃ 2.(2025一2026大庆红岗区期中)已知蓄水池 (2)写出气温t与海拔h的关系式，并求出当 有水50m3,现匀速放水，池中水量和放水时 海拔是7km时的气温. 间的关系如下表所示.当放水14min时，池 (3)某航班飞机在航行至一定高度时，驾驶 中水量为 ) 舱突现险情，此时舱外气温为一38.2℃.两 放水时间/min 0 2 3 名飞行员冷静应对，创造了世界航空史上的 池中水量/m 50 48 46 42 奇迹.请你计算出该飞机发生险情时的海拔 (假设当时所在位置的地面温度为20℃). A.22m B.24m C.26m D.28m 3.跨化学学科“烷烃”是化学中常见的一类有 机物，由“C(碳)”和“H(氢)”两种化学元素 构成，烷烃的分子式可以简单地表示为 C,H,(x表示分子中C原子的数量，y表示 分子中H原子的数量).随着x的增多，y也 会增多，它们之间满足一次函数关系.下表 是几种不同的烷烃分子中C原子和H原子 的数量： 烷烃 甲烷 乙烷 丙烷 … C原子数量 1 2 3 知识要点归纳 H原子数量 4 6 8 “均匀”变化是指一个变量增加固定的数值时，另 请根据表格写出y与x之间的函数关系式： 一个变量的改变量是相同的， 上册第四章 43 第2课时 一次函数的认识及简单应用 色课内基础闯关 易错点忽略概念中的条件 知识点①一次函数与正比例函数的概念 4.(2025一2026宿州埇桥区期中)若函数 1.下列关于x的函数中，是一次函数的是 y=(m+1)x+m2-1是关于x的正比 例函数，则m= A.y=2.x2-2 B.y=1+1 色课外拓展提高 C.y=kx十b D.y 2x+2 5.新定义题规定：[k,b]是一次函数y=kx十 b(k,b为实数，k≠0)的“特征数”.若“特征 2.已知函数y=(m-5)xm-24十m+1. 数”是[4，一m]的一次函数是正比例函数，则 (1)若它是一次函数，求m的值 点(2-m,2+m)在第 象限。 (2)是否存在m使它是正比例函数？若存 6.情境应用灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质 在，请求出m的值；若不存在，请说明理由， 文化遗产之一，其古朴典雅，款式多样.李老 师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店 的标价都是每个10元.两商店售卖方式如 下，设李老师购买灯彩的个数为x,到甲商店 购买所需费用为y1元，且y1=7x十100；到 乙商店购买所需费用为y2元. 甲商店 乙商店 知识点② 一次函数的简单应用 购买一张会员卡，享 不购买会员卡，每个 受会员价，每个灯彩 灯彩可按标价的九折 3.(教材变式)写出下列各题中y与x之间的 可按标价的七折出售 出售 函数关系式，并判断y是否为x的一次函 (1)甲商店一张会员卡的价格为 数，是否为正比例函数 元. (1)小红去商店买笔记本，每本笔记本2.5 (2)求y2的函数表达式. 元，小红所付买笔记本的钱y(单位：元)与所 (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商 买笔记本的本数x(单位：本)之间的关系式. 店比较合算？请说明理由. (2)一辆汽车由北京驶往相距120km的天 津，它的平均速度是40km/h,汽车距天津的 距离y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)的 关系式 知识要点归纳 若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx 十b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次 函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数， 44 八年级数学BS版 第3课时 一次函数的分段应用 已课内基础闯关 色课外拓展提高 知识点①行程问题中的分段应用 3.如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B出 1.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了 发，沿B一C一D一A的路径匀速运动至点A 几分钟后坐上公交车，公交车匀速行驶一段 处停止.设点P运动的路程为x,△PAB的面 时间后到达学校，小刚离家的距离s(单位： 积为y,若y关于x的函数图象如图②所示，那 m)与时间t(单位：min)之间的函数关系的 么长方形ABCD的周长等于 图象大致是 ( s/m s/m t/min 0 t/min 图① 图② B 第3题图 :/m s/mt 4.数形结合思想已知动点P以1cm/s的速 度沿如图①所示的边框按B→C→D→E→ t/min t/min c D F→A的路径运动，△ABP的面积S随时间 知识点② 收费问题中的分段应用 t的变化如图②所示.若AB=4cm,试回答 2.北方某市对城市居民这个冬季的采暖收费 下列问题： 标准（以户为单位）如下表： (1)BC的长是多少？ (2)a的值是多少？ 阶梯 采暖用气量 销售价格 (3)该图形的面积是多少？ 第一阶梯 0m3~1500m3(含 2.67元/m 1500)的部分 S/cm2 1500m3~2500m 第二阶梯 3.15元/m (含2500)的部分 第三阶梯 2500m3以上的部分 3.63元/m3 46911 根据表中所给的数据回答以下问题： 图① 图② (1)设某户这个冬季用气量为xm3(1500< x≤2500)，缴纳采暖费用为y元，则y与x 之间的关系式为 (2)某户用气量为2000m3,则此户需缴纳的 燃气费用为 元 (3)已知某户这个冬季缴纳燃气费用为5895 元，该户用了多少立方米的燃气？ 知识要点归纳 分段函数是一种特殊的函数，它在不同的范围内 由不同的函数表达式来表示 上册第四章 45△即2×(-2+9)×4=8，解得1=2.5， 所以AP=2×2.5-4=1, 所以点P的坐标为(4,1). 12.D13.C 14.6【解析】如图，过点A分别作x轴和y轴的垂线， 垂足分别为D,E. 因为AD⊥x轴，AE⊥y轴， A(-3,3 所以∠ADB=∠AEC=90°， 因为∠BAD+∠DAC=∠DAC +∠CAE, 所以∠BAD=∠CAE. 因为A(一3,3)， 所以AD=AE=3. 在Rt△ABD和Rt△ACE中， I∠ADB=∠AEC, RAD=AE. ∠BAD=∠CAE, 所以Rt△ABD≌Rt△ACE(ASA), 所以BD=CE,即BD=OE+OC=3+OC, 所以OB=BD+OD=3+OC+3=6+OC, 所以OB-OC=6. 第四章 一次函数 1函数 1.C 2.D【解析】正常出发阶段，图象是一条向上倾斜的线 段；遇到塌方停留阶段，图象是平行于x轴的一条线 段：加速前进阶段，图象是一条向上倾斜且斜度比第一 条线段斜度还要大的线段.根据以上三个阶段的分析， 只有选项D的图象符合这些特点. 3.44 1 4.y=45-2x(0<x≤90)5.x≥0且x≠1 6.5-2 5 7.解：(1)该图象反映了某人一昼夜的体温y与时间x这 两个变量之间的关系. (2)35.5363736.53737.53736.5 (3)y可以看成x的函数.因为对于x的每一个值，y 都有唯一的值与它对应： 2认识一次函数 第1课时认识生活中“均匀”变化的现象 1.C 2.A【解析】由题意可知，蓄水池中水量每分钟减少 2m3.设池中水量为ym3,放水时间为tmin,所以y 50-2t,所以当t=14时，y=22,即当放水14min时， 池中水量为22m3. 3.y=2x+2 4.解：(1)6 (2)气温1与海拔h的关系式为t=20一6h 当h=7时，t=20一6×7=一22， 所以气温t与海拔h的关系式为t=20一6h,当海拔是 7km时，气温是-22℃. (3)当1=-38.2时，20-6h=-38.2,解得h=9.7, 所以该飞机发生险情时的海拔为9.7km. 第2课时一次函数的认识及简单应用 1.D 2.解：(1)因为y=(m-5)x-24+m十1是一次函数， 所以m2-24=1,m-5≠0， 解得m=士5，m≠5，所以m=-5. (2)不存在.理由：当y=(m-5)x-4十m十1是正比 例函数时，m2一24=1，m一5≠0，m十1=0， 解得m=士5，m≠5，m=一1，无公共解，所以这样的 m不存在. 3.解：(1)由题意得y=2.5x,y是x的一次函数，且是正 比例函数. (2)由题意得y=120一40x,y是x的一次函数，y不 是x的正比例函数。 4.1 5.一【解析】因为“特征数”是[4，一m]的一次函数是正 比例函数，所以一m=0,所以m=0,所以点(2一，2 +m)为点(2,2)，在第一象限. 6.解：(1)100 (2)依题意，得y2=10×0.9x=9x. (3)选乙商店比较合算.理由如下： 当x=40时，y1=7x+100=7×40+100=380, y2=9.x=9×40=360. 因为380>360， 所以选乙商店比较合算. 第3课时一次函数的分段应用 1.B 2.解：(1)y=3.15x-720 (2)5580 (3)设该户用了xm3的燃气.当用气量为1500m3时， 费用为1500×2.67=4005（元）<5895元.当用气量 为2500m3时，费用为3.15×2500-720=7155（元） >5895元， 所以该用户燃气用量属于第二阶梯， 所以3.15x-720=5895,解得x=2100, 所以该户用了2100m3的燃气. 3.16【解析】当点P在BC段时，对应图②中x≤3的部 分，故BC=3: 当点P在CD段时，对应图②中3<x≤8的部分， 故CD=5.故长方形ABCD的周长等于2(BC+CD) =2×(3+5)=16. 4.解：(1)当动点P在BC上运动时，对应的时间为0到 4s,所以BC=1×4=4(cm).故BC的长是4cm. (2)由(1)可知，BC=4cm.当1=4时，Sam=2BC· AB=8cm2,所以a的值是8. (3)CD=(6-4)×1=2(cm),DE=(9-6)×1=3 (cm),EF=(11-9)×1=2(cm),则AF=BC+DE= 7cm.因为AB=4cm,所以该图形的面积为AB·AF -CD·DE=4×7-2×3=22(cm). 上册详解详析 15个