解题技巧专题 利用勾股定理解决折委问题&☆问题解决策略反思-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

解题技巧专题 利用勾股定理解决折叠问题 题型① 三角形中的折叠问题 1.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°， AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折 叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠 图① 图② 纸片，使点C与点D重合.若折痕与AC的 交点为E,则AE的长是 () A号 5 B.6 7 c.6 6 0.5 第1题图 第2題图 2.(2025一2026南京秦淮区期中)如图，将三角 形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD 边上的点E处.若BC=9,CD=4,则AB2 AC2的值为 题型②长方形中的折叠问题 题型③ 正方形中的折叠问题 3.（2025一2026宁德期中)如图， 5.如图，动点E,P分别是正方形ABCD的边 在长方形ABCD中，点E在 BC,CD上的动点，沿AE,AP折叠正方形， 边AB上，将该长方形沿直线 DE折叠，点A恰好落在边 第3题图 点B,D的对应点恰好都落在点O处.若 AB=3,当点P是CD边上的三等分点时， BC上的点F处.若AD=5,DC=3,则BF 的长是 ( ) BE的长为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025一2026九江都昌检测)【初步感知】(1)如 图①，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC =18,点D,E分别在边AB,AC上，将∠A 沿DE折叠，使点A与点B重合，EC=5.求 第5题图 第6题图 6.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F BC的长 是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D 【深入探究】(2)如图②，将长方形纸片AB 落在点G处，连接DG并延长交AB于点E. CD沿对角线BD折叠，使点C落在点C 处，BC交AD于点E.若AB=4,BC=8,求 若AE=5,则GE的长为 AE的长. 上册第一章 9 ☆问题解决策略：反思 已课内基础闯关 蜂蜜需爬行的最短路程为20cm,则这个圆 柱形玻璃容器的底面周长为 知识点①平面上的最短距离问题 cm. 1.如图所示，正方体的棱长为1，一只蜘蛛从正 已课外拓展提高 方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B,则 4.(2025一2026吉安检测)如图，一个圆柱底面 蜘蛛爬行的最短距离的平方是 ( 周长为l6cm,高为6cm,则蚂蚁从A点爬 A.2 B.3 C.4 D.5 到B点的最短距离为 第4题图 第1题图 变式题图 A.8cm B.10πcm 变式题如图所示的是一个底面为等边三 C.2√73cm D.10 cm 角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点 5.右图所示的是一个供滑 E A到顶点A'镶有一圈金属丝.已知此三棱 板爱好者使用的U型 镜的高为5cm,底面边长为4cm,则这圈 池.该U型池可以看作 金属丝的长度至少为 cm. 是一个长方体去掉一个半圆柱而形成的，中 间可供滑行部分的截面是半径为3m的半 知识点② 曲面上的最短距离问题 圆，其边缘AB=CD=45m,点E在CD上， 2.如图所示，地面上铺了一块长方形地毯AB CE=5m.一滑板爱好者从点A滑行到点 CD,因使用时间长而变形，中间形成了一个 E,则他滑行的最短距离约是多少米（边缘部 8 半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为二m.已 分的厚度可以忽略不计，π取整数3)？ 知AE+BF=20m,BC=10m,一只蚂蚁从 点A爬到点C,且必须翻过半圆柱凸起，则 它至少要走 m的路程， 第2题图 第3题图 3.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器的厚度 知识要点归纳 忽略不计)的高为16cm,在容器内壁离容器 有关立体图形两点间距离最短问题的基本思路： 下底面的距离为4cm的点B处有一滴蜂 先利用转化思想将立体图形的侧面展开成平面 蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离 图形，再利用两点之间线段最短，确定最短路线， 容器上底面4cm的点A处.若该蚂蚁吃到 然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 10 八年级数学BS版解题技巧专题利用勾股定理解决折叠问题 1.A【解析】由折叠的性质，得AD=AB=2,∠B= ∠ADB,CE=DE,∠C=∠CDE. 因为∠BAC=90°， 所以∠B+∠C=90°， 所以∠ADB+∠CDE=90°， 所以∠ADE=180°-（∠ADB+∠CDE)=90°， 所以AD2+DE=AE2. 设AE=x,则CE=DE=3-x, 所以2+(3一x)=x,解得x=3 6 所以AE=号 2.9 3.A【解析】由折叠的性质，得AD=DF=5. 因为四边形ABCD为长方形， 所以∠C=90°，BC=AD=5. 在Rt△DCF中，CD=3,DF=5, 所以CF2=DF2-CD2=5-32=16, 所以CF=4, 所以BF=BC-CF=5-4=1. 4.解：(1)因为EC=5,AC=18, 所以AE=AC-EC=13. 由折叠的性质，得BE=AE=13. 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC2=BE2一EC2= 132-52=144,所以BC=12. (2)因为四边形ABCD是长方形，AB=4,BC=8, 所以CD=AB=4,AD=BC=8,∠A=∠C=90°. 由折叠的性质，得C'D=CD=4,∠C'=∠C=90°， 所以C'D=AB=4,∠C'=∠A=90°. 又因为∠C'ED=∠AEB, 所以△C'DE≌△ABE(AAS), 所以C‘E=AE. 设AE=a,则C'E=AE=a,DE=AD-AE=8-a. 在Rt△C'DE中，由勾股定理，得C'E+C'D=DE2, 所以a2+42=(8-a)2, 解得a=3, 所以AE=3. 5.或号【解折】因为因边形ABCD是正方形，AB= 3,所以AD=BC=CD=3.因为点P是CD边上的三 等分点，所以分两种情况讨论： ①若DP=1,则PC=CD-DP=3-1=2.设BE=x, 则CE=3-x. 由折叠可知，OE=BE=x,DP=OP=1, 所以PE=OE+OP=x+1. 在Rt△PCE中，PE2=PC2十CE2, 3 即(x+1)2=22+(3-x),解得x=2, 所以BE=是 回若DP=2,同①可得BE=等 八年级数学BS版 综上所述，BE的长为或 【解析】如图，设CF与DE交于点O. 由折叠可知GO=DO,CF⊥DG,所以 ∠FOD=90°，所以∠CFD+∠ADE =90°. 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD=CD,∠A=∠ADC=90°， 所以∠CFD+∠FCD=90°， 所以∠ADE=∠DCF, 所以△ADE≌△DCF(ASA), 所以DF=AE=5,DE=CF. 在Rt△CDF中，由勾股定理可得CF=13, 所以DE=13. 1 1 因为Sam=2DF,CD=2CF,OD, 1 即×5×12三2×13·OD 所以G0=D0=60, 13 6049 所以GE=13-2× 1313 ☆问题解决策略：反思 1.D【解析】将正方体的前面、上面展开放在 同一平面上，连接AB,如图所示，则爬行的 最短路径为线段AB.由勾股定理，得AB2 (1+1)+12=5,即蜘蛛爬行的最短距离的 平方是5. 变式题13 2.26 3.24【解析】如图，将容器侧面的一半沿高展开，则EG 为上底面圆周长的一半. 作点A关于EG的对称点A',连接A'BAD 交EG于点F,连接AF,则易得AF= A'F. 所以该蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路程 AF+BF=A'F+BF=A'B=20 cm. 过点A'作A'D⊥BG,交BG的延长线于点D,则易得 EG=A'D,BD=16 cm. 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'D十BD2= A'B,所以A'D2=A'B2-BD2=202-162=144,所以 A'D=12 cm, 所以EG=A'D=12cm, 所以这个圆柱形玻璃容器的底面周长=2EG=2×12 =24(cm). 4.D【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，过点B作BC ⊥AC于点C,连接AB. 6 因为AC=2 =8,BC=6, 所以AB2=AC2+BC2=100,所以AB=10. 故蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为10cm. 5.解：可供滑行部分展开图如图所示. 由题意，得AD=3π≈9(m),DE=CD-CE 45-5=40(m). 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2=92+40 =41,即AE=41m. 故他滑行的最短距离约是41m. 模型构建专题利用勾股定理解决 最值问题 1.10 2.10【解析】如图，连接BN,BD D 因为正方形是轴对称图形，点B与点D 是以直线AC为对称轴的对称点， 所以BN=ND, 所以DN+MN=BN+MN 连接BM交AC于点P. 当点N运动到点P时，BN十MN=BP+PM=BM, 即BN+MN的最小值为BM的长. 因为四边形ABCD为正方形，且边长为8， 所以BC=CD=8,∠BCM=90°，所以CM=8-2=6, 所以BM=BC2+CM=82+62=102, 所以BM=10. 故DN+MN的最小值是10. 3.解：如图，过点C作CO⊥AB于点O,延 长CO至点C',使OC'=OC,连接DC', 交AB于点P',连接CP',则PC'= P'C,此时PC+PD取得最小值，为 DC'的长. 因为CD=1,BC=4,所以BD=3. 因为在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， 所以∠CBA=45°. 连接BC',则∠C'BA=∠CBA=45°，BC'=BC=4, 所以∠CBC'=90°. 在Rt△DBC'中，由勾股定理，得DC?=BD+BC2= 32+4=25,所以DC′=5. 故PC+PD的最小值是5. 4.解：(1)如图①，点P和最短路线AP→BP即为所求. B 图① (2)设AA'交直线l于点E,过点B作直线1的垂线 BM,交直线I于点F,过点A'作A'C⊥BM于点C,过 点A作AD⊥BM于点D,连接AB,如图②. .B M 图② 易知四边形AA'CD和四边形AEFD均为长方形， 所以AE=DF=5.5km, 所以BD=BF-DF=10.5-5.5=5(km). 因为AB=13km, 所以AD=A'C=AB2-BD2=122, 所以A'C=12km. 因为CF=A'E=AE=5.5km, 所以BC=BF+CF=16km. 所以A'B=A'C2+BC2=202, 所以A'B=AP+PB=20km. 故所铺设管道的最短长度为20km. 5.B【解析】将台阶展开，连接AB,如图. 因为AC=3×3+2×3=15,BC=8,所以 AB=AC2+BC2=289, 所以AB=17,所以这只蚂蚁沿着台阶面爬 行的最短路程为17. 6.50【解析】如图，把书架沿侧面展开，连C 接AB, 10 cm 30 cm 10 cm 30 cm 10 cm 则爬行的最短距离为AB的长，过点A作底边的平行 线AM,交BN于点O. 由图可知，OA=30+10=40(cm),OB=40-10 =30(cm). 在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=402+302=502, 所以AB=50cm. 即它爬行的最短距离为50cm. 7.13cm【解析】如图，将圆柱的侧面 沿过点A的一条高展开，连接AB, 则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最 短路程，C,H分别是AE,DF的 中点. 因为圆柱的底面周长是10cm,所以AC=5cm. 因为CH=14cm,BH=2cm, 所以BC=12cm, 所以AB2=AC2+BC2=5+122=132, 所以AB=13cm. 故蚂蚁爬行的最短路程为l3cm 8.13【解析】如图，将木块展开，得到如D 图所示的长方形，所以长方形的长为 11.5十0.5+0.5-0.5=12(m). 蚂蚁从点A处到点C处需要走的最 短路程是对角线AC的长.因为长方形的宽为5m, 所以由勾股定理得AC2=122+52=132,所以AC 13m. 故蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是13m. 9.解：(1)扇 (2)如图，AC即为蜗牛爬行的最短路线。 (3)由勾股定理，得AC2=AS+SC2=102+52=125. 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125. 上册详解详析 5