湖南湘东教学联盟2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2026年7月高一期末考试 数学试题 时量：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A=(x|-2≤x≤2)，集合B=(一1,0,1,2)，则A∩B= A.(-1,0,2) B.{-1,0,1)} 的 并 C.(0,1,2) D.(-1,0,1,2) 2.已知复数z= ® ,则复数之所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 铷 C.第三象限 D.第四象限 啷 3.现有样本数据：15,9,11,20,13,5,22,25，则这组数据的75%分位数为 戡 A.5 B.13.5 C.21 D.22 4.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，已知 1_3-c0sB 器 tan A sin B 输 则3的值为 龄 A.3 D.1 5.已知圆锥的体积为16y2工，且它的侧面展开图是一个圆心角为120的扇 3 形，则这个圆锥的母线长是 A.2 B.4 北 C.6 D.8 6已知sm(a+》25,则os(学-2a= A一 B- c 高一数学试题(X)第1页（共8页） 7.在棱长均为2的正三棱锥P-ABC中，点M是AC的中点，点N是侧面 PBC上的一个动点，当MN∥平面PAB时，动点N的轨迹的长度是 A号 B司 C.3 D.1 8.已知平面向量m,n满足|m=3,n=2,且m·n=3,向量p满足|p一 m=2,则lp+nl的最小值为 A.V15-2 B.√19-2 C.√9 D.√/15 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分) 9.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=“第一次的点数为3的倍 数”，事件B=“第二次为偶数点”，事件C=“两次掷出的点数之和大于 8”,事件D=“两次掷出的点数之和能被4整除”，则下列结论正确的是 A.A与B互斥但不对立 B.P(D)- CPKANB)=名 D.C与D相互独立 10.设e1,e2是平面内一组不共线向量，向量m=xe1十e2,下列说法正确 的是 A.若x=y=0,则m=0 B.若m=0,则必有x=y=0 C.若x十y=1,则向量m的终点在e1,e2终点的连线上 D.若x=2,y=一1，则m,e1,e2一定能构成三角形三边对应的向量 11.如图，在正方体ABCD-A1BC,D1中，M是BD的中点，N是线段 CD:上一动点，则下列说法正确的有 高一数学试题(X)第2页（共8页） A.三棱锥N-BAA,的体积随着点N的位置的改变而随之变化 B.无论点N在何处，始终有BD⊥平面ACN成立 C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[0，√2] D.平面BDN截得正方体ABCD-A,B,CD,的截面可能是三角形或 四边形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量a,b满足a=(1,1),b=2,且a…b=,则a与b的夹角 为 13.为了提升城市中心的网络覆盖率，工程师在广场的一角设计了一座特 殊的微型5G信号塔P-ABC,该信号塔支架结构满足以下几何特征： ①主桅杆PA垂直水平地面ABC;②地面上的两个加固拉索锚点连线 满足AC LBC.如下图所示，经测量主桅杆的高度PA=4米，地面上两 条直角边AC=3米，BC=2米.若将该信号塔的四个顶点P,A,B,C 视为一个儿何体的顶点，该几何体在古代《九章算术》中记载称之为“整 臑”，则该“鳖臑”外接球的表面积为 14,若函数f)=at+己b是奇函数，则g()=et“在[0,1门止 的最大值等于 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分13分) 某市的教师招聘考试中，50名考生的笔试成绩的频率分布直方图如图 所示，成绩分组区间为：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)， [120,130),[130,140),[140,150]. 高一数学试题(X)第3页（共8页） 笔试成绩的频率分布直方图 频率 组距 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 08090100110120130140150成绩 (1)根据频率分布直方图，试估计该50名考生笔试成绩的中位数和平 均数（同一组数据用该区间的中点值代表）； (2)若笔试成绩为[130,140)视为“良好”，笔试成绩为[140,150]视为 “优秀”，现用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”中随机抽取6人， 再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“良好”的概率， 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2√5,4√5cosC= 2b一c. (1)求角A的大小； (2)若b十c=4,D是BC上的点，AD平分∠BAC,求AD的长. 17.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=2 sin xcos x十√3cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数f(x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得图象上所 有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g(x)的图 象.若关于x的方程g(x)=m在区间[0，否]上有两个不同的实数 解，求实数m的取值范围. 18.（本小题满分17分) 现有两块含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为10cm,如图， △PAB与△PCD为这两个三角板，其中PA=PC=10cm,∠PBA= ∠PDC=30°.初始时，将这两块三角板的直角顶点重合于点P,斜边 AB,CD共线，如图1所示，然后将这两块三角板绕点P反向平行移 开，得到四棱锥P-ABCD(图2). p A D B A 图1 图2 (1)求证：平面PAC⊥平面ABCD; (2)设平面PAB∩平面PCD=U. (ⅰ)求直线l与直线PA所成角的大小； (i)当二面角AL-C的大小为5时，求四棱锥P-ABCD的体积 的大小 19.(本小题满分17分) 对定义域为D二R的函数f(x),定义阶稳区间如下：若区间I二D,满 足：函数f(x)在I上单调，且对任意1，x2∈I,恒有|f(x1)一f(x2)|≤ 2|一2|，则称区间I为函数f(x)的一个阶稳区间. x2-2x,x∈[0，t], 现已知分段函数f(x)= (其中t>0为常数). 4x-t2-2,x∈(t,+∞) (1)当t=2时，判断区间[1,2]是否为f(x)的阶稳区间，并说明理由； (2)若t=1,求f(x)的所有有限长度的阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点x=t,求实数t的取值 范围. 2026年7月高一期末考试 数学参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案D B D C C D B 1.D【解析】因为A={x|一2≤x≤2}，集合B={一1,0,1,2}，所以A∩B={一1,0,1,2}.故选D. .2i2i2i(1+i) 2.B 【解析】因为之1十=1一1(1+)(1-i) =一1十i,所以复数之所对应的，点在第二象限.故选B. 3.C【解析】先把数据从小排到大：5,9,11,13,15,20,22,25，一共有8个数据 则8X75%=6,所以这组数据的75%分位数为20,2=21.故选C. 2 4D【解t析：A-3管B,sin Beos十sin AcosB-3 sin in C=3inA, 由正孩定理可知CA则c=3a,小弘-1，故选D, a c 3πrh=16V2x 3 5.C【解析】设圆锥的底面半径为，高为h,母线为1，依题意2r=2, 解得r=2,故母线长l=3r=6. 3’ h=2-, 6.C【解折】因为sin(e+晋）-25，所以cos(平-2a)=cos[x-(2a+7小=-cos(2a+）=2sir(a+晋) -1=2×(25)-1-号故选C 7.D【解析】分别取PC,BC的中点为D,E,连接MD,ME,IDE, 又点M是AC的中点，所以ME∥AB,MD∥PA, 因为ME∥AB,ME寸平面PAB,ABC平面PA3,所以ME∥平面PAB, 因为MD∥PA,MD中平面PAB,PA(平面PAB,所以MD∥平面PAB, 又ME∩MD=M,ME,MDC平面MDE,所以平面MDE∥平面PAB, 又点N是侧面PBC上的一个动，点，且MN∥平面PAB, 所以，点N在平面PBC上的轨迹为线段DE,在△MDE中，可知MD=ME=DE=1, 故动点N的轨迹的长度为1. 8.B【解析】设OM=m,ON=n,OP=p,由p一m=2得|OP-OM=2,其几何意义为：，点P在以定，点M为圆 心，2为半径的圆上.变形|p十n=|p一（一n)川，表示定点Q(OQ-一n)到圆上动点P的距离，点Q到圆心M 的距离：|OM-OQ=|m十=√19，根据圆外定点到圆上，点距离规律：圆心到定点距离一r≤|PQ≤圆心 到定点距离十r.所以|p十n的最小值为√I9一2，故选B. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BC AB BCD 9.BC【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子两次的基本事件个数为6×6=36. 显然事件A,B均包含样本，点(3,6)，所以A,B不互斥，故A错误；事件D包含的可能情况为：（1,3)(2,2)(3， 高一数学(X)参考答案一1 1D(2,6(3,5)4,4)(5,3)(6,2)6,6)共9种情况，所以P(D)=是，故B正确；事件A,B同时发生的可能情兄 有(3,2)(3,0(3,6)(6,2)(6,4)(6,6)共6种情况，所以P(AnB)=日，故C正确；事件C包含的可能情况有 (3,64,54,65,45,5)(5,6)(6,3(6,4)(6,5)(6,6),所以P(C=,P(D)=,P(CD)=6所以 P(CD)≠P(C)P(D),故D错误.故选BC. 10.AB【解析】A对，零向量线性组合；B对，基底不共线，线性表示零向量系数唯一且全为零；C错，前提是三个 向量共起，点，题目未说明共起点；若三个向量能够作为三角形三边对应的向量，则它们必须能够通过平移形成 首尾相接的闭合图形，即必存在e1,2∈{一1,1}，使得m=e1e1十e2e2,但条件中m=2e1一e2,故D错误.故选 AB. 11.BCD【解析】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面BAA1的距离为定值， A D 等于正方体ABCD-A,B,CD:的棱长，且△BAA1面积为定值， 所以三棱锥N-I}.AA,的体积为定值，不会随着，点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面A(N即为平面ACD1,而正方体中必有B,DL平面ACD1,B正确； C选项，取CD的中点T,连接MT,则MT⊥CD,过，点N作NW⊥CD于点W, A 8. M 则NW∥DD,故NW⊥平面ABCD, 所以∠NMW即为直线MN与平面ABCD所成角，设大小为O, 设正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为2，则MT=1, 设NW=m,0≤m≤2， C 若1≤m≤2，则CW=m,WT=m,-1, 由勾股定理得MW=√MTWT产=√1+(m-1)2=√m2-2m+2, 到m后层212(a+ 1 A √m2m 当m=2时，tan0取得最大值，最大值为√2， 当m=1时，tan0取得最小值，最小值为1，故tan0∈[1，/2]， 若m=0,此时MNC平面ABCD,此时夹角为0，tan0=0, 若0<m<1,则CW=m,WT=1-m, 由勾股定理得MW=√MT+WT7=√1+(1-m)2=√m2-2m+2, …器心层会 显然品名>V2(偏}+>1,0 1 <4,此时tan0∈(0,1)， 综上，tan0∈[0,2]， 即直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为[0，√2]，C正确； D选项，当N为CD1的中点时，平面BDN截得正方体ABCD-A1B,C1D1的截面为 正△BDC, 当CN<ND时，延长DN交CC1于点E,连接BE, 则△BDE即为平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面， 当CN>ND1时，延长DN交D1C于点F, 在平面A1B1CD1上，过点F作FP平行于BD,交BC于点P,连接BP, 高一数学(X)参考答案一2 则四边形BDFP即为平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面， 故平面BDN截得正方体ABCD-A1B1C1D1的截面可能是三角形或四边形，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.至【解析】设a与b的夹角为0，易知0e[0,],由a…b=知a×bcos0=号b2,得到acos0= 吉引b1,即cs0-号所以0=圣 13.29π【解析】取PB中，点O,连接OA,OC,由PA⊥底面ABC,AB,BCC平面ABC, 得PA⊥AB,PA⊥BC,而AC⊥BC,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 则BC⊥平面PAC,又PCC平面PAC,因此BC⊥PC,OC=OB=OP=OA, 该“鳖臑”外接球的球心为O,球半径 R=专PB=2VPA+AB=号PA+AC+BC=号V年+3+2- 2 所以该“鉴腐"外接球的表面积为S=4nR=4n(四)'=29m 14}【解析】因为fx)=na十已一0为寺画数，所以其定义城不包含-1和1， 由a+已0，可得(1-x)(a+1-ax)≠0，所以=-1，解得a=-是， 即画教的定义域为(-©，-1)U(-1.1U1,十o),再由f0)-0可得，6=21n司 所以g(x)=er+h立，显然函数g()在[0,1]上是减函数，所以g(x)mx=g(0)=em子=eh= 4 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)笔试成绩的平均分估计为： x=85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.24+135×0.16+145×0.08=117.8;…3分 设笔试成绩的中位数估计为m,则(m一110)×0.02=0.5-(0.04十0.12+0.16)=0.18，解得m=119, 所以笔试成绩的中位数估计为119.… ……6分 (2)成绩在[130,140)内的人数为50×0.16=8人， 成绩在[140,150]内的人数为50X008=4人，…7分 现从“良好”和“优秀”中用分层抽样的方法抽取6人，则抽取“良好”的人数为4人，抽取“优秀”的人数为2人 …8分 记“良好”的4人为a4,ag,a3,a4,“优秀”的2人为b,b2, 则样本空间为2={(a1a2),(a1a3),(a1a4),(ab1),(a1b2),(a2a3),(aga),(a2b1）,(a2b2),(a3a4),(a3b), (a3b2),(a4b1),(a4b2）,(b1b2)},n(2)=15,…10分 记A为选中的2人均为“良好”，则A={(a1a2),(a1a3),(1a4),(a2a3),(a2a4),(a3a4)}, n(A)=6,………… …………………11分 所以PW=-是-号， …12分 故选中的2人均为“良好”的概率是号。 …13分 16.【解析11)已知4V3cosC-2b-c,由余弦定理可得45X2+2-c =2b一C, … 2分 2ab 因为a=23,代入得2aXQ十b-C=2b-C,所以0十b-C2b-C,m.4分 2ab b 所以+c2-a2=bc,所以cosA=B+ca2=1, …6分 2bc 2… 高一数学(X)参考答案一3 因为A∈(0，x),所以A=号 …7分 (2)因为A=否，a=23,由余弦定理得a2=十2-2bcc0s晋，…9分 即12=b2+c2-bc=(b十c)2一3bc,又因为b十c=4,所以bc= 4 3 …11分 由面积公式Sac=Saam十SAD可得，bcsin A= c·AD·sin+2b·AD·sin 2 21 …13分 所以bcsin晋=AD·(叶c)·sin晋，可得AD=写 …15分 31 17.【解析】(1)f(x)=2 sin xcos+V3cos2x=sin2x十/3cos2x=2sin(2x+), …2分 所以f(x)的最小正周期T=2牙=不，…3分 2 令-吾+2≤2x十5≤受+2，EZ.所以一段+m≤≤是+x,∈Z,…5分 所以八x)的单调递增区间为[一经+m,受十n]∈Z.… (2)将函数f(x)的图象向右平移石个单位长度，得y=2sin2x, ………7分 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的号，得g(z)=2sin4x, …………8分 因为x∈[0，]，所以4x∈[0，] 所以g(x)在区间[0，]单调递增，在区间[答，晋]单调递减. 12分 所以g(x)mx=g(零}=2，g(x)m=g(0)=0,g()=3， …13分 因为关于x的方程g(x)=m在区间0，石上有两个不同的实数解， 所以√3≤m<2. 14分 所以实数m的取值范围为[√3,2). ……………15分 18.【解析】(1)由AB与CD平行且相等，得四边形ABCD为平行四边形， 所以O为AC,BD的中点. 又由于PA=PC,PB=PD,所以PO⊥AC,PO⊥BD,… …2分 又因为AC,BDC平面ABCD,AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD. ……3分 又POC平面PAC, 所以平面PAC⊥平面ABCD;… 0…5分 (2)(i)因为AB∥CD,ABt平面PCD,CDC平面PCD. 所以AB∥平面PCD,… …7分 又因为ABC平面PAB,平面PAB∩平面PCD=l,所以AB∥L. ………9分 直线l与PA所成的角等于直线AB与PA所成的角，即∠PAB(或其补角). 在Rt△PAB中，∠APB=90°，∠PBA=30°， '.∠PAB=60° 故直线L与直线PA所成角的大小为60° ……11分 (i)作PE⊥CD,PF⊥AB,垂足分别为E,F, 因为AB∥CD∥L,所以PE⊥L,PF⊥L,… 12分 所以∠EPF是二面角A-l-C的平面角.… 13分 易知PE=PF=5√3，O为EF的中点， 高一数学(X)参考答案一4 所以∠EPO∠OPF,故∠EPO-∠OPF=晋， D 则P0=5,5cos吾-号，0E=55sin吾-5 62 2,EF=20E=5√3..15分 A F 因为PE⊥AB,PF⊥AB,PE∩PF=P,PE,PFC平面PEF, B二 E 所以AB⊥平面PEF,所以AB⊥EF.…16分 所以Vm=号×20X55×9=250w5. 故四棱锥P-ABCD的体积为250√3Cm3.…17分 19.【解析1KI)当=2时，x)=一6，(2，十o, |x2-2x,x∈[0,2]， 任取1≤x1<x2≤2， f(x2)-f(x1)=(x-2x2)-(x1,2x1)=(x2一x)(x2十x-2). 由x2>x1得x2-x1>0,由x1,x2∈[1,2]得x1十x2-2>≥0， 故f(x2)一f(x1)≥0，即f(x)在[1,2]上单调递增.…2分 因为函数单调遂增，1f(x2)-f(x1)川=f(x2)一f(x1)=(x2一x1)(x1十x2一2)， 又|一xg一x2一x1>0,不等式f(x1)-f(x2)川≤2x1-x2|等价于： x1十x2-2≤2，即x1十x2≤4. 由x1,x2≤2，得x1十x2≤4恒成立，故不等式恒成立. 3分 综上，[1,2]是f(x)的阶稳区间.…4分 (2)当1=1时，f(x)=x-2,x∈[0,1， 4x-3,x∈(1，+∞)， ①当x∈[0,1]时，f(x)=x2-2.c, 任取0≤1<x2≤1，f(x)+f(1)=(x2一x1)(x1十x2一2)<0，函数单调递减.…5分 |f(x1)-f(x2)≤2|x1-x化简得：2-(x1十x2)≤2，即x1十x2≥0，在[0,1门上恒成立.…6分 因此[0,1]的所有非空子区间都是阶稳区间.… …7分 ②当x∈(1，+∞)时，一次函数f(x)=4x一3单调递增， 任取1<x1<x2,f(x2)-f(x1)|=4(x2-x1)=4x1·x, 阶稳条件要求4x1一x2≤2x1一x2|,即4≤2，显然不成立，…8分 因此（们，十∞）上无任何阶稳区间.… …9分 综上，f(x)所有有限长度的阶稳区间为[asb],[a,b),(a,b],(a,b),其中0≤a<b≤1，即[0,1]的任意非空子 ☒间.…10分 (3)当x∈(t,十∞)时，一次函数∫(x)=4x一t一2单调递增， 任取t<x1<x2,1f(x:)-∫(.x)1=4(x2-x1)=4|x1-x2|, 阶稳条件要求4|x1十x2≤2|x1一x2|,即4≤2，显然不成立， 因此函数f(x)在（t,十∞)上无任何阶稳区间.…12分 ①当0<t≤1时，显然函数f(x)在[0，t]上单调递减， 任取0≤x1<x2≤t,|f(x1)-f(x2)|=x号-2x1-x号十2x2=(x:-z2)(x1十x2一2)， 阶稳条件要求(x1一x2)(x1十x2一2)≤2|x1一x2|=-2(x1a2), 因为x1一x2<0,所以x1十x2一2≥-2，即x1十x2≥0， 因为0≤x1<x2≤≤1，所以x1十x2≥0恒成立. 故0<≤1满足题意.…14分 ②当t>1时，函数f(x)在[1，t]上单调递增， 任取1≤x<x2≤t,则|f(x1)-f(x2)|=x吃-2x2-x2十2x1=(x2一x1)(x2十x1一2)， 阶稳条件要求(x2一x1)(x2十x1一2)≤2|x1一x2|=2(x2-x1), 所以x1十x2-2≤2，即x1十x2≤4， 因为x<x2≤t,所以21≤4，即t≤2，所以1<t≤2.… 16分 综上所述，实数t的取值范围是(0,2].… 17分 高一数学(X)参考答案一5