湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以复数、向量、立体几何等为载体，通过世界杯裁判分配等真实情境和新定义向量运算设计，考查数学抽象、空间观念与数据意识，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|复数共轭、向量垂直、立体几何命题|第3题以线面关系逆命题判断，强化逻辑推理| |多选题|3题18分|统计方差、向量模长、抽象函数|第9题结合方差变换，考查数据分析能力| |填空题|3题15分|解三角形、集合运算、函数最值|第14题通过双变量存在性问题，培养数学思维| |解答题|5题77分|解三角形、频率分布直方图、立体几何面面垂直、三角函数图像|第16题分析面包质量数据，体现数据观念；第18题证明三棱锥面面垂直，发展空间观念|

绝密★启用前 衡阳市八中2026年高一下学期期末考试试题 数 学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若与的夹角为钝角，则且 3．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是(　　) A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α D．a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，若α⊥β，则c⊂β 4．下列说法正确的是（    ） A．一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 B．两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等 C．若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强 D．残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 5．若平面向量满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 7．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（   ） A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件 C． D． 8．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．有一组样本数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．设，则样本数据，，，的平均数为 B．设a，，则样本数据，，，的方差为 C．样本数据，，，的平均数为 D． 10．已知向量，则下列结论正确的是（　　 ） A．若，则 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．的最大值为 11．已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A． B． C．为奇函数 D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．顶点在单位圆上的中，角所对的边分别为．若，，则____． 13．已知集合，且，则_____． 14．已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在中，所对的边分别为，且满足． (1)求; (2)点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积． 16．某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 17．对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 18．如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的大小. 19．已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若是偶函数，求的值； (3)求关于的方程在上所有的实数根之和． 学科网（北京）股份有限公司 $衡阳市八中2026年高一下学期期末考试 数学答案 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C C D B AB BD 题号 11 答案 ABC 1a行 13.0 14.2 15.(1)因为asin B=bsin2A,所以由正弦定理得sin4sinB=-sinBsin2A, B∈(0，π)，sinB≠ 因为 0,所以sinA=sin2A,则sinA=2 sin Acos A, 因为imA≠0，所以0sA= , 又因为0<1所以4 3 (2)在AHBD中，∠BMD-=行∠ABD 2,可得∠ADB=π 6 又0=25，可得B=2又4=24=号. =3,可得。ABC为正三角形， s-5×2-5 故面积为°4 D A B 0×(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a)=1 16.(1)解：由频率分布直方图的性质，可得 解得a=0.030 各组的组中值依次为45,55,65,75,85,95，对应频率依次为0.05,0.1,0.2,0.3,0.25,0.1， 所以数据的平均数=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1 =2.25+5.5+13+22.5+21.25+9.5=74. 所以估计这100个样本数据的平均数为74。 (2)解：由于样本数据在60,70)与70,80 内的频率之比为2：3， 所以阿组的危平均数为=65号+75×号川， 所6方差-[6+6-90r]号++(85-7]g-282 17.(1)y=f(f(x》=(x2-x+1-(x2-x+1)+1 则不动点满足y=f(f(》=x,即(x-x+刊旷-(2-x+)+1=x 整理得(x-x+1=2, 当x>0时，x-x+1=x,解得x=1,满足； 当x<0时，x2-x+1=-x,无解， 所以’=f刃的不动点为x=1, (2①8(=2r2-(2+a)x+a+1 当0<x<2时，8因有唯一的不动点，则方程2-(2+a)r+a+1=只有一个解， 即函数)=2-B+ax+a+l在0,2)上只有一个零点， 当A=(B+o-8a+-(a-1旷=0时，a=13生=-1满E要求 4 当4>0，即a≠1时，h0)h2)=(a+13-)s0,解得0≤-1或0≥3， a=-1时，=2x(x-）,在0,2)上只有-个零点1， a=3时，)=2(-1x-2）,在02)上只有一个零点1， 所以“的取值范围为←，-小UB,+o） i)令()-2r-(2+ar+a-1=x,整理得2 2x2-(3+a)x+a-1=0 5+5=3+a>0 2 则4=号0 ，解得， △=(3+a)-8(a-1)>0 a>1 点+2x+点+25+三+25+5)-6+5-25+20+5) XX2 6+a-2+3+a, _s+x-2+2(s+x)-20 x x2 令a-1=t>0, +2x+点+26-亿+4-2+3+1+1-8+6≥4W5+6 则名 2t 2t 31_8,-4v3 t= 当且仅当2t,即3时等号成立， 点+2x++2x 所以x x2 的最小值为4W3+6. 18.(1) ·PA⊥平面ABC,AB、BCC平面ABC, .PA⊥BC, 在△ABC中，AB=2AC,∠ABC=30°， AC。AB 由正弦定理sin∠ABC sin∠ACB,则sin∠ACB=1: :.BCLAC PANAC=A PA,ACE PAC ,又 平面 8cL平面PMC,又DE分 。分别为棱PC,PB的中点， .DE/IBC,则DE⊥平面PAC,又DEc平面ADE, 所以平面PAC⊥平面ADE, (2) E D B 如图，取AB、AC中点F、G,连接EF、EG、FG, 又E为PB的中点，∴.EF/IPA,GF/IBC, 由PA⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC, 又AC、GFc平面ABC,.EF⊥AC,EF⊥GF, 由(1)知BC⊥AC,.GF⊥AC, :EF、GFc平面EFG,EFGF=F, ∴AC⊥平面EFG,又EGC平面EFG,EG⊥AC, 则∠EGF即为二面角E-AC-B的平面角， 设1B=21C=2,则8C=5,PA=AC=1 2 2, 所以在直角三角形EFG中， 1 tan∠EGF= EF2-5 GF3 3 2 ∴.∠EGF=30° 即二面角E-AC-B的大小为30°. 19山由离到得1绿指为4，则4：4.又7-（引- 解得0=2+后，文受，改-青，间如2x+引 e+w到是数 (2)因为 则2w+肾+a,keZ:所以v=石+2，keZ π，kπ 32 又受v分所以当=0时，y-没：当g-1时，y设 12 π 所以"=12或12 w=2+,则2红+引子 (3)令 x[-,42x+e0,3闲 当L63时，1 3 14.到引有*不0 设这四个根从小到天分别为，，，龙，由y=s加x有对称轴x)与x 2 则24+肾2+骨-2×，26+骨2+号=2x经-m, 3 3 2 即名+6名，名 13π 7π 6,故实数根之和为+，++x= 3 另外：利用换元法（整体思想），令m=2x+ 3, e[-天，2x+骨e3河，即me0,3河. 当63时， 所以m+%2= 受x2=天，%+风 _5元x2=5元， 2 则24+好+2+肾2x元，2+肾+2+号=2x7-5， 3 2 3 2 即有+5= 13π 6,6+x= 6, 7元 故实数根之和为+x2+x3+x4= 3