精品解析：2022年浙江省台州市临海市兰田中学中考数学考前适应性练习 (2)

2022年兰田中学中考数学考前适应性练习 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各数中比－1小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. ÷ D. 4. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 5. 将一块含有45°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若，则的度数是（ ） A. 65° B. 55° C. 50° D. 45° 6. 如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. 只有① 7. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=120°，点E、F分别在边AD、BC上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是矩形，且FG∥AB，则EG的长是（ ） A. B. 1.5 C. 2 D. 2 8. 大于且小于的整数的个数有（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）． 11. 因式分解：_____． 12. 把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____． 13. 根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 14. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合）连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G．若AB＝2，G是CD的中点，AF的长为 ___． 15. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________． 16. 京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列四个结论，其中正确的是________（填序号）． ①图形G关于直线对称； ②线段的长为； ③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形G有两个公共点． 三、解答题（第17~20题，每题8分，第21题10分，第22~23题，每题12分，第24题14分，共80分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题： （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，连接． （1）求一次函数的表达式． （2）求的面积． 21. 为了做好近视防控工作，及时掌握学生视力健康状况，市教育局在某校开展了“爱眼护眼”视力检测活动，学校共有700人，开始时用一台仪器进行检测，未检测的人数记为，检测时间为小时，现记录有关数据如下： /时间（h） 1 2 3 … /人数 660 620 600 500 … （1）直接写出表中、的值：__________，__________； （2）根据表中数据，用你学过的函数解析式描述与的关系（不要求写出的范围）； （3）检测上午8：00点开始，至下午13：00点时，学校为了在下午17：00之前完成检测，增加了若干台相同的仪器同时进行检测（每台仪器的工作效率相同），问至少需要增加多少台仪器？ 22. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 23. 如图1，正五边形ABCDE与⊙O相切于点A，点C在⊙O上． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，求劣弧AC的长度； （3）如图2，连接AD交⊙O于点F．求证：四边形ABCF是菱形． 24. 如图，抛物线的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）求的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年兰田中学中考数学考前适应性练习 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各数中比－1小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数总大于负数，负数绝对值大的反而小 即可得． 【详解】解： A．，符合题意 B．，不符合题意 C．，不符合题意 D．，不符合题意 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较法则，熟记比较法则是解题关键． 2. 如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形即可得到答案. 【详解】从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1， 所以主视图为： ， 故选B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. ÷ D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一进行计算即可得出答案． 【详解】A. 不是同类项，不能合并，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ÷，故该选项错误； D. ，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，掌握这些运算法则是解题的关键． 4. 因式分解：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5. 将一块含有45°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若，则的度数是（ ） A. 65° B. 55° C. 50° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】如图，由题意知与是内错角，根据，求出，进而可求的值． 【详解】解：如图 由题意知，与是内错角 ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了三角板的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系． 6. 如图，已知，，有下列结论：①平分；②平分；③平分；④平分．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. 只有① 【答案】B 【解析】 【分析】先证明得到，，，即可判断①②③；根据现有条件无法证明④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴平分，平分，故①正确，②正确； ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分，故③正确； 根据现有条件无法证明，即无法证明平分，故④错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等几何知识，熟知全等三角形的性质与判定定理，线段的垂直平分线的判定定理是解题的关键． 7. 如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=120°，点E、F分别在边AD、BC上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是矩形，且FG∥AB，则EG的长是（ ） A. B. 1.5 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连结BD，交AC于O，则由已知可以求得OB与AO的值，再由已知和菱形的性质可以得到EG等于AO的一半，问题即可得到解决． 【详解】解：连结BD，交AC于O， 则由菱形的性质可知∠AOB=90°， ∵∠ABC=120°，∴∠BAO=30°， ∴OB=， 又由已知可得：∠GFH=90°，∠FGH=∠BAC=30°， ∴GH=2FH=2GE，即OG=GE， ∵∠GFC=∠ABC=120°，∠GFH=90°， ∴∠HFC=∠HCF=30°， ∴FH=HC， 同理GE=AG， ∴OA=AG+OG=2GE= ∴GE=， 故选A． 【点睛】本题考查菱形和矩形的综合应用，熟练掌握菱形和矩形的性质、含30°的直角三角形性质是解题关键． 8. 大于且小于的整数的个数有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过平方法比较平方数的大小，确定两个无理数的取值范围，再统计范围内的整数个数． 【详解】解：， 又， ， ， ，， 满足条件的整数有、、、0、1、2、3、4，共8个． 9. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（占时1斤等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得： 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10. 如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】第一次翻折可得，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折叠，可得，，由∠DCN=45°，可得，则，再求的周长即可． 【详解】如图， 第一次折叠，如图②， ， ， ， 由折叠的性质，， ， 第二次折叠，如图③，，， ， ， ， ， ， ， 的周长， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出∠EDM=45°是解题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 12. 把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是． 故答案为：． 考点：列表法与树状图法． 13. 根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 14. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合）连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G．若AB＝2，G是CD的中点，AF的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，可得，根据BF⊥AE可得，，进而可得，即可证明，勾股定理求得，根据，代入数值进行计算即可求得的长． 【详解】四边形是正方形 G是CD的中点， 在中， BF⊥AE 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________． 【答案】2-180° 【解析】 【分析】先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数． 【详解】解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC， ∴MB＝MA，NA＝NC， ∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC， 在△ABC中，， ∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−， 即∠MAB＋∠NAC＝180°−， 则∠MAN＝∠BAC−（∠MAB＋∠NAC）＝−（180°−）＝2-180°． 故答案是：2-180°． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 16. 京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心M的坐标为．关于图形G给出下列四个结论，其中正确的是________（填序号）． ①图形G关于直线对称； ②线段的长为； ③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形G有两个公共点． 【答案】①② 【解析】 【分析】由题意很明显可以得到图形的对称轴为，故①正确；构造直角三角形，利用勾股定理求得的长，进而求得的长，故②正确；从图中可以很直观的得到③错误；最后将，，代入图中，不能得出结论④，故④错误． 【详解】由圆可知，，， 且点，在抛物线上， 图形关于对称，故①正确； 连接， 在中， ， ， ， 又， ， ，故②正确； 根据题意得，由图形围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误； 由题意得，， 当时，与图形有一个公共点， 当时，与图形由两个公共点，故④错误； 故答案为①②． 【点睛】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标． 三、解答题（第17~20题，每题8分，第21题10分，第22~23题，每题12分，第24题14分，共80分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简绝对值，求解算术平方根与零次幂，再合并即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，实数的混合运算，掌握“零次幂的含义与实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分，把除法转化为乘法，将分子分母因式分解，再约分，最后将a值代入计算． 【详解】解： = = =， 将a=2020代入， 原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的运算法则． 19. 图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题： （1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图． （2）求5月份“党史”类书籍的营业额． （3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由． 【答案】（1）45万元， 补全条形统计图： （2）10.5万元； （3）5月份党史类书籍的营业额最高， 4月份“党史”类书籍的营业额为：（万元）． ∵，且1~3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5月份， ∴5月份“党史”类书籍的营业额最高． 【解析】 【分析】（1）用该书店1～5月的营业总额减去其它4个月的营业总额即可求出该书店4月份的营业总额，进而可补全统计图； （2）用5月份的营业总额乘以折线统计图中其所占百分比即可； （3）结合两个统计图可以发现：在5个月中4、5月份的营业总额最高，且1~3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5月份，故只需比较4、5月份“党史”类书籍的营业额即可． 【详解】解：（1）（万元）， 答：该书店4月份的营业总额为45万元． （2）（万元）． 答：5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元． （3）略 【点睛】本题考查了条形统计图和折线统计图，属于常考题型，读懂图象信息、熟练应用所学知识是解题的关键． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，连接． （1）求一次函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）15 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出点A和点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式； （2）设直线与轴交于点，分别过点作轴于点轴于点，的面积用的面积减去的面积． 【详解】解：（1）两点在反比例函数的图象上， ，即， 又两点在一次函数的图象上， ，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）如图，设直线与轴交于点，分别过点作轴于点轴于点， 令，得，即点， ， ， ． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解方法和反比例函数上点坐标的求解方法，以及三角形面积的求解方法． 21. 为了做好近视防控工作，及时掌握学生视力健康状况，市教育局在某校开展了“爱眼护眼”视力检测活动，学校共有700人，开始时用一台仪器进行检测，未检测的人数记为，检测时间为小时，现记录有关数据如下： /时间（h） 1 2 3 … /人数 660 620 600 500 … （1）直接写出表中、的值：__________，__________； （2）根据表中数据，用你学过的函数解析式描述与的关系（不要求写出的范围）； （3）检测上午8：00点开始，至下午13：00点时，学校为了在下午17：00之前完成检测，增加了若干台相同的仪器同时进行检测（每台仪器的工作效率相同），问至少需要增加多少台仪器？ 【答案】（1） （2） （3）至少需要增加3台仪器． 【解析】 【分析】（1）由表格信息可得：一台仪器每小时检测40人，从而可得检测3小时后未检测的人数，以及检测200人所花的时间； （2）由（1）可得与的关系为一次函数关系，设再利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）设增加台机器能完成任务，再列不等式 解不等式，再结合为正整数，从而可得答案． 【小问1详解】 解：由表格信息可得：一台仪器每小时检测40人， 所以， 故答案为： 【小问2详解】 解：由（1）可得：与的关系为一次函数关系，设 把代入可得： 解得： 所以 经检验符合题意． 【小问3详解】 解：设增加台机器能完成任务，则 解得： 又 为正整数， 的最小值为 答：至少需要增加3台仪器． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意确定本题中的一次函数关系，理解不等关系的建立都是解本题的关键． 22. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm 【解析】 【分析】（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可； （2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为cm，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)， ∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400， ∴当h=10时，s2有最大值400， ∴当h=10时，s有最大值20cm． ∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm； 故答案为：最大射程是20cm. (2) ∵s2=4h(20-h)， 设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20-a)=4b(20-b)， ∴20a-a2=20b-b2， ∴a2-b2=20a-20b， ∴(a+b)(a-b)=20(a-b)， ∴(a-b)(a+b-20)=0， ∴a-b=0或a+b-20=0， ∴a=b或a+b=20. 故答案为：a=b或a+b=20. (3)设垫高的高度为cm，则 ∴当时， ∴时，此时 ∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm． 故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm. 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 23. 如图1，正五边形ABCDE与⊙O相切于点A，点C在⊙O上． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，求劣弧AC的长度； （3）如图2，连接AD交⊙O于点F．求证：四边形ABCF是菱形． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明，进而求解即可； （2）由得到，代入弧长公式计算即可； （3）利用同旁内角互补，得到两组对边分别平行，证明四边形ABCF是平行四边形，而，便可证明结论． 【小问1详解】 如图，连接OA、OB、OC AE是⊙O的切线 在和中 CD是⊙O的切线； 【小问2详解】 劣弧AC的长度 【小问3详解】 五边形ABCDE是正五边形 ， 由（2）得 四边形ABCF是平行四边形 四边形ABCF是菱形 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了正多边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 24. 如图，抛物线的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）求的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），B(4，0) （2）2，(2，3) （3） 或或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法将点A，C的坐标代入求出抛物线解析式，再根据点B在x轴上，令y=0，即可求出点B的坐标； （2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EGy轴交BC于点G，根据平行线截线段成比例可得，由于CD=1，即可将求的最大值转化为求EG的最大值，应用两点间距离公式即可； （3）设M(n，n+1)，用含m的代数式表示出BD，DM，BM，再根据以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形分两种情况：以BD为边，BD=DM或BD=BM；以BD为对角线；分别进行讨论即可． 【小问1详解】 解：设B，将A(-1，0)，C(0，2)代入中， 得 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵点B在x轴上 ∴ 将代入得 ∴(不合题意，舍去) ∴B(4，0) 【小问2详解】 由题意得，点E在y轴右侧，作EGy轴交BC于点G，如图 ∴CDEG ∴ ∵直线y=kx+1与y轴交于点D ∴D(0，1) ∴CD=2-1=1 ∴ 设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0) 将B(4，0)，C(0，2)代入，得 解得 ∴设直线BC的解析式为 设点E(t，)，则G(t，)(0<t<4) ∴EG=()-()== ∴ ∵ ∴当t=2时，的值最大，最大值为2 ∴点E的坐标为(2，3) 【小问3详解】 设直线DE的解析式为y=kx+B，将D(0，1)，E(2，3)代入，得 解得 ∴直线DE的解析式为y=x+1 设M(n，n+1) ∴ ∵以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形 ∴分两种情况：BD为边和BD为对角线 ①BD为边 MN=DM=BD(如图1)或MN=BM=BD(如图2) ∴ 或 即 或 解得(舍去) ∴ 或或 ②BD为对角线，如图3 设BD的中点为Q，则Q(2，) ∵四边形BMDN是菱形 ∴MN⊥BD，QB=QD= ∴ 即 解得 ∴ 综上所求，点M的坐标为 或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，待定系数法，菱形性质，平行线截线段成比例，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想，方程思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $