第二章 一元二次函数、方程和不等式（举一反三讲义·基础篇）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以十二大基础题型为框架，系统构建一元二次函数、方程和不等式的知识体系，通过题型归类呈现知识内在逻辑，覆盖不等关系表示、比较大小、不等式性质等重点，明确各知识点间的关联与应用场景。 讲义亮点在于“举一反三”的分层练习设计，如题型1用投资方案问题引导学生用数学眼光观察现实，题型5通过加油方案比较培养数学思维与表达能力。基础题巩固知识，综合题提升应用，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供系统素材。

第二章 一元二次函数、方程和不等式全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 用不等式表示不等关系 1．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【解答过程】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B. 2．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】安全区距离爆破点要大于等于150米，结合题意可构建不等式. 【解答过程】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒， 人在此时间内跑的路程为米，由题意可得. 故选：B. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【解答过程】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 4．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是__________． 【答案】 【解题思路】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【解答过程】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【解题思路】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得． 【解答过程】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件， 因为在规定的时间内超额完成任务， 则． 故不等关系表示为． 题型2 利用作差法、作商法比较大小 1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【答案】A 【解题思路】利用作差法判断即可. 【解答过程】因为，， 所以， 所以. 故选：A. 2．（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 3．（25-26高一上·北京·开学考试）已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用作差法比大小. 【解答过程】由于实数，则， ，所以， ，所以， 所以. 故选：C. 4．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【解题思路】利用作差法比较大小即可. 【解答过程】因为 ， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【解题思路】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【解答过程】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 题型3 由不等式的性质比较数（式）大小 1．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD. 【解答过程】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A. 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】对于A选项，当时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【解答过程】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质可判断AB的正误，利用作差法可判断C的正误，根据反例可判断D的正误. 【解答过程】对于A，因此，故，故，故，故A正确； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，， 而，故，故， 故，故C正确； 对于D，取，则， 此时不成立，故D错误. 故选：D. 4．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解题思路】对于ACD，举例判断，对于B，根据不等式的性质以及作差法分析判断. 【解答过程】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：B. 5．（25-26高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】A 【解题思路】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【解答过程】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 题型4 利用不等式的性质求取值范围 1．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质求解计算即可. 【解答过程】，， ，， . 故选：C. 2．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【解答过程】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C. 3．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由题求得，再结合不等式性质即可得解. 【解答过程】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，所以， 所以. 故选：A. 4．（25-26高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】利用不等式的性质计算即可. 【解答过程】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【解答过程】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 题型5 由基本不等式比较大小 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可. 【解答过程】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 2．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 3．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【解题思路】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【解答过程】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 4．（25-26高一上·上海·课后作业）若、、、、、是正实数，且，，则有___________．（比较大小） 【答案】≤ 【解题思路】根据基本不等式即可求解. 【解答过程】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为：. 5．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 【答案】(1)大于，理由见解析； (2)，理由见解析. 【解题思路】（1）设出天平左右两臂长，及两次放的黄金克数，利用杠杆平衡原理及基本不等式计算即得. （2）设出第三次放的黄金克数，利用（1）的信息结合基本不等式计算得解. 【解答过程】（1）设天平左臂长为，右臂长为，第一次放的黄金为，第二次为， 则，，两式相除可得，，化简得， 于是顾客所得黄金为，当且仅当时取等号， 又，若，则；若，则，即，有， 所以顾客购得的黄金大于. （2）设第三次放的黄金为，则，而，则有， 因此三次黄金质量总和为， 当且仅当，，时取到等号， 所以当时，三次黄金质量总和最小. 题型6 利用基本不等式求最值（无条件） 1．（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】，根据基本不等式即可求解. 【解答过程】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】A 【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可． 【解答过程】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A. 3．（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可. 【解答过程】， 则由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故取得最大值时x的值为 故选： 4．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）当时，的最小值是__________． 【答案】3 【解题思路】利用基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值等于3． 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 题型7 基本不等式“1”的妙用求最值 1．（25-26高一上·福建福州·期末）若且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解题思路】应用基本不等式中“1”的妙用求最小值. 【解答过程】因为且， 所以； 当且仅当 ，即，时取等号. 所以的最小值为. 故选：C. 2．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】利用“1”的代换即可解出． 【解答过程】， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为． 故选：B． 3．（25-26高一上·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【解答过程】由正数，且，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 故选：B. 4．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解题思路】根据给定条件可得，根据“1”的妙用结合基本不等式求解作答. 【解答过程】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立， 所以取得最小值. 故答案为：. 5．（25-26高一上·河南·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）直接利用基本不等式求解最值； （2）利用基本不等式“1”的代换技巧求解最值即可. 【解答过程】（1），，且， 所以，所以， 即，，当且仅当，时取等号，的最大值为； （2），所以，且， ， 当且仅当时等号成立，即， 又因为，可求得，. 所以的最小值为5. 题型8 一元二次不等式的解法 1．（25-26高一上·西藏昌都·期末）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】利用一元二次不等式的运算法则计算求解． 【解答过程】，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【解答过程】为开口方向向下的抛物线，且与轴交于，两点， 的解集为或. 故选：C. 3．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解，故B可能； 当时，的解集为. 故选：C. 4．（25-26高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为____________． 【答案】 【解题思路】将不等式分解因式可得答案. 【解答过程】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·河北·阶段检测）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解； （3）化简不等式为，分，和，三种情况讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为. （2）解：由不等式，可得， 即，解得，所以不等式的解集为. （3）解：由不等式，可得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 当时，解得，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型9 解分式、高次、绝对值不等式 1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分式不等式的求解方法求解. 【解答过程】，，， ，，， ，则不等式的解集为. 故选：B. 2．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】将不等式转化为，解分式不等式即可． 【解答过程】， 可得，解得， 故选：A． 3．（25-26高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可. 【解答过程】由，解得或， 即不等式的解对应集合， 由或，解得或， 即不等式的解对应集合， 显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【解题思路】将分式不等式转化为二次不等式，再结合分母不为零，即可得出正确解集. 【解答过程】, 所以且，解得或， 所以的不等式的解集为 故答案为：. 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次方程的解法即得； （2）去绝对值符号，求解不等式即可； （3）将分式不等式化为不等式组，求解即可. 【解答过程】（1）因为方程的， 所以该方程有两个不相等的实数根，解得，. 不等式的解集为或. （2）原不等式可化为，即，解得. 所以原不等式的解集为. （3）可化为，即， 可等价为①或②，解①得，解②得不等式组无解. 综上，. 所以原不等式的解集为. 题型10 一元二次方程根的分布问题 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【解答过程】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据根的分布情况，由对称轴和特殊点处函数值等得到不等式，求出答案. 【解答过程】设，开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 的两不等实根都在内， 则需满足，解得. 故选：A. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解答过程】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 4．（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是___________． 【答案】 【解题思路】利用判别式与韦达定理求解即可. 【解答过程】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. 5．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1) 根据给定条件，利用根的判别式求出范围，再利用韦达定理列式求解. (2) 利用一元二次方程实根分布求出的范围 【解答过程】（1）由，是方程的两个实根，得，， 且，解得或， 由，得，即， 解得或，又或，经检验，不满足应舍去， 所以. （2）由方程两根都大于1，得，解得， 所以的取值范围是. 题型11 二次函数的图象分析与判断 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的个数是：①；②；③；④.（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】①由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，故①错误； ②因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，故②错误； ③由，得，即，故③正确； ④因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，故④正确. 故选：B. 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、 函数值、零点个数逐项判断即可. 【解答过程】抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴为， ， ， 抛物线与轴相交于正半轴， ， ，故A错误； 抛物线的对称轴为， ， ，故B错误； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确； 抛物线与轴有两个交点， ， ，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高一上·山西·期中）已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【解答过程】因为抛物线的开口向下，所以. 由二次函数的图像可知，函数的图像开口向上，且该函数的图像与轴相切，对称轴为直线， 所以，，且，则，， 不等式即，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 4．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知二次函数． (1)画出函数图像，并比较，，的大小（不需要写画图过程）； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)图像见解析， (2) 【解题思路】（1）利用二次函数的画法画出图像即可 （2）结合图像解不等式. 【解答过程】（1）由二次函数，即的图像如图所示： 由图像，可知． 注意：图像应体现关键点，，，． （2）∵不等式， ∴当时，，由图像可知，； 当时，，由图像可，； ∴不等式的解集为． 题型12 一元二次不等式的实际应用 1．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【解答过程】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C. 2．（25-26高一上·陕西·阶段检测）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【解题思路】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以 ， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 3．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设这批削笔器的销售价格定为元/个，利用题意列不等式，结合定义域解不等式即可求解. 【解答过程】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B. 4．（25-26高一上·天津·期中）某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是___________元. 【答案】30 【解题思路】设每件售价为元，结合题意列出不等式，解一元二次不等式即可. 【解答过程】设每件售价为元， 则， 即，即， 解得， 又， 所以. 所以销售价格最高是30元. 故答案为：30. 5．（25-26高一上·上海·期中）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式. （2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解. 【解答过程】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 用不等式表示不等关系 1．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是__________． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 题型2 利用作差法、作商法比较大小 1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 2．（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·开学考试）已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为_________. 5．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 题型3 由不等式的性质比较数（式）大小 1．（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知实数，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 题型4 利用不等式的性质求取值范围 1．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是___________. 5．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 题型5 由基本不等式比较大小 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 4．（25-26高一上·上海·课后作业）若、、、、、是正实数，且，，则有___________．（比较大小） 5．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 题型6 利用基本不等式求最值（无条件） 1．（25-26高一上·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 2．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 3．（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）当时，的最小值是__________． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 题型7 基本不等式“1”的妙用求最值 1．（25-26高一上·福建福州·期末）若且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 2．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高一上·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 4．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 5．（25-26高一上·河南·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 题型8 一元二次不等式的解法 1．（25-26高一上·西藏昌都·期末）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 3．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为____________． 5．（25-26高一上·河北·阶段检测）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 题型9 解分式、高次、绝对值不等式 1．（25-26高一上·贵州毕节·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 3．（25-26高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）关于的不等式的解集为__________. 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 题型10 一元二次方程根的分布问题 1．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 4．（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是___________． 5．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知，是方程的两个实根. (1)若，求实数的值； (2)若两根都大于1，求的取值范围. 题型11 二次函数的图象分析与判断 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的个数是：①；②；③；④.（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山西·期中）已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知二次函数． (1)画出函数图像，并比较，，的大小（不需要写画图过程）； (2)求不等式的解集． 题型12 一元二次不等式的实际应用 1．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西·阶段检测）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 3．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津·期中）某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是___________元. 5．（25-26高一上·上海·期中）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $