3.1函数的概念及其表达讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念及其表达 词知识框图 题型1 函数关系的判断 题型2 集合与区间的转化 题型3 求具体函数的定义域 题型4 同一个函数 数的概念 题型5 求函数值 题型6 根据函数值求自变量或参数 题型7 抽象函数的定义域 题型8 次、二次、反比例函数的值域 题型9 根式型、分式型函数的值域 函数的表示：解析式法、图像法、表格法 求函数解析式：1、待定系数法2、换元法3、消去法 知识点常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 y=kx(k≠0) 个 R 反比例函数 y=(k≠0) {xx≠0 {x|y≠0 一次函数 y=kx+b(k≠0) R R a>0 yly≥4ac-b2 4a 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) R y|y≤ 4ac-b2 a<0 4a 1.(多选)下列图象中，表示函数关系y=f(x)的有() A B -10 12 2.若函数y=f(x的定义域为A={x0≤x≤2，值域为B={y1≤y≤2，则函数 y=f(x的图象可能是() 2 D 2 3.设M={1,2,3,N={eg,h,如下选项是从M到N的四种应对方式，其中是M到N 的函数是() M M 2 2 3 3 M D 3 4面数=己的图象为（） B. 题型二区间表示集合 1.不等式(x+2)(x-3)>0的解集用区间表达为 2.已知区间[一2a,3a+5],则a的取值范围为 题型三 求具体函数的定义域 x3-1 1.函数y= 定义域为() V9-x2 A.-3,3 B.（-3,3 C.（-o,-3小3，+∞ D.(-0,-3)U(3,+∞) 2.己知集合A={0,2,4,B={xy=3-x,则集合AnB中的元素的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.函数f(x)=+Vx+2的定义域为 4.求函数=4+3x+石的定义城 5已西数的定义城-1，小侧y=的定义城为 6.已知函数)=x-2的定义域为0,4利，则函数gx=四的定义域是（） x-1 A.[-1,U(1,3B.[0,2] C.【-2,u1,2D.[0,U(1,2] 题型四同一个函数 1.下列各组函数中，表示同一个函数的是() A.y=Ixh y=x B.y=xy= C.y=l,y=xo D.y=x,y=(x)2 2.(多选)下列各组函数中，表示同一个函数的是() A.f(x)=Vx2与g(x)=x B.f(x=x2-3x与gt=2-31 C.fx=因与8x= 1,x>0 -1,x<0 D.f(x=x°与gx=1 题型五根据函数值求自变量或参数 1.己知函数f(x)=x+2 x-1 (1)当x=2时，求f(x)的值； (2)若f(a)=2a,求实数a的值. 题型六 求函数值域 1.一元二次不等式的值域 例：求函数值域 (1)y=x2-2x+2,xeR (2)y=x2-2x+2,x∈[-2,3] 2.形如y=x+b+Vx+a(a≠0，c≠o) 例：函数y=2x-√x+1(x>3)的值域为 变式：求函数y=2x-1-3-4x的值域. 3.分式函数值域 例：函数y=(x>0) 的值域为 x+1 变式：函数y=3x+2 的值域为 x-1 题型七求函数解析式 1.待定系数法 例.已知函数fx)为一次函数，且f2)=-1,若fx=4x-3,则函数 fx的解析式为. 变式：已知二次函数2x+1)=4x2-6x十5，求x) 2.换元法 例若f(会)=点，则) 3.消去法 例.已知x)满足2)十f(是）=3x,则)= 变式：已知函数f(x的定义域为R,对任意x∈R均满足：2f(x-f(-x)=3x+1则 函数f(x)解析式为() A.f(x)=x+1 B.f(x)=x-1 C.f(x)=-x+1 D.f(x)=-x-1 题型八：分段函数 1已知函数f(x)={宗，x>1 2+1,x≤1，则f(f(-1))=（) A.2B.C.1D.-1 2B肉-20，)-5交数的） X<0 A.-2或2 B.2或 c.-2或 D.2函数的概念及其表达 词知识框图 题型1 函数关系的判断 题型2 集合与区间的转化 题型3 求具体函数的定义域 题型4 同一个函数 数的概念 题型5 求函数值 题型6 根据函数值求自变量或参数 题型7 抽象函数的定义域 题型8 次、二次、反比例函数的值域 题型9 根式型、分式型函数的值域 函数的表示：解析式法、图像法、表格法 求函数解析式：1、待定系数法2、换元法3、消去法 知识点常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 y=kx(k≠0) R R 反比例函数 y=(k≠0) {xx≠0 {x|y≠0 一次函数 y=kx+b(k≠0) R R a>0 yly≥4ac-b2 4a 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) R y|y≤ 4ac-b2 a<0 4a 题型训练 题型一函数关系的判断 1.(多选)下列图象中，表示函数关系y=f(x)的有() B 12主 故选：AD. 2.若函数y=f(x的定义域为A={x0≤x≤2，值域为B={y1≤y≤2，则函数 y=∫(x的图象可能是() B 【答案】D 3.设M={1,2,3,N={e,g,},如下选项是从M到N的四种应对方式，其中是M到N 的函数是() B 【答案】C 4函数y=的图象为（） B 题型二区间表示集合 1.不等式(x+2)x-3)>0的解集用区间表达为」 【答案】（-0，-2)U(3,+0) 【详解】由不等式(x+2)x-3)>0,解得x<-2或x>3,即不等式的解集为 (（-00,-2)U(3,+0) 故答案为：(-0，-2)U(3,+0) 2.已知区间[一2a,3a十5]，则a的取值范围为 【答案】(-1，十o) 【详解】由题意可知3a+5>-2a,解得a>-1. 故a的取值范围是（一1，十oo). 故答案为：（一1，十0） 题型三 求具体函数的定义域 1.函数y=r-1 )-产定义域为() A.[-3,3 B.（-3,3 C.（-o,-3U[3,+∞ D.（-0,-3)U(3,+∞ 【答案】B 【详解】由题知9-x2>0,解得-3<x<3, 所以函数的定义域为(-3,3). 故选：B 2.已知集合A={0,24,B={x少=3-x,则集合AnB中的元素的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】根据y=V3-x可得3-x20,解得x≤3， 即可得B={xx≤3}，又A={0,2,4, 所以AB={0,2,因此集合AnB中的元素的个数为2个. 故选：B 3.函数f(x=+x+2的定义域为 【答案】[-2,0)U(0,+o 【详解】fx=上+x+2的定义域满足 x≠0 x+2≥0'解得x2-2且x≠0， 故定义域为[-2,0)U(0,+0), 故答案为：[-2,0)U(0,+0 4.求函数y=V4+3x-x2+ 1 的定义域 vx-i 【答案】(1,4 【详解】由函数y=√4+3x-x2+ 有意义，则满足 4+3x-20,解得1<r≤4 x-1>0 所以函数y=V4+3x-x2+ 的定义域为1,4： 故答案为：(1,4] 5.已知函数f8)的定义域为-1，小则y=+的定义域为 s22x-3 答案-2，- 6.已知函数)=f八-2)的定义域为0,4利，则函数g=的定义域是（) x-1 A.【-1,U(1,3B.[0,2] C.「-2,11,2]D.[0,(1,2] 【答案】C 【详解】由函数y=fx-2)的定义域为[0,4，可得函数y=f(x)的定义域为[-2,2]， 则函数g=f的定义域是1-2，u,2, x-1 故选：C 题型四同一个函数 1.下列各组函数中，表示同一个函数的是() A.y=xh y=v B.y) C.y=1,y=x D.y=x,y=()2 故选A 2.(多选)下列各组函数中，表示同一个函数的是() A.f(x)=Vx2与gx)=x B.f(x=x2-3x与g(t=2-31 c.f-过与g= 1,x>0 -1,x<0 D.f(x=x°与gx=1 【答案】BC 【详解】A选项中：f(x=VR2=与gx)=x对应关系不同， 故不是同一函数，故A不正确： D选项中：函数f(x=x°的定义域为xx≠0，函数gx)=1的定义域为R,两个 函数定义域不同， 故不是同一函数，故D不正确 故选：BC. 题型五根据函数值求自变量或参数 1.已知函数f)=x+2 x-1 (I)当x=2时，求f(x)的值； (2)若f(a)=2a,求实数a的值， 【答案】(1)4： (2)a=-2或a=2 【详解】(1)“函数fx)=x+2 x-1> “当x=2时，2=2+2=4： 2-1 (2)函数f)=+2的定义域为xx≠1， x-1 因为fa)=2a,所以fa=a+2=2a, a-1 即a+2=2aa-,解得a=或a=2: 所以a=或a=2, 题型六求函数值域 1.一元二次不等式的值域 例：求函数值域 (1)y=x2-2x+2,xeR (2)y=x2-2x+2,x∈[-2,3] 【答案】(1)[l,+o) (2)1,10] 【详解】(1)因为y=x2-2x+2=(x-12+1≥1， 所以函数的值域为[1，+o). (2)因为y=x2-2x+2,其中对称轴为x=1,且x∈[-2,3]， 则x=1时，函数有最小值为ymn=1, 当x=-2时，函数有最大值为ymx=10, 所以函数值域为[1,10] 2.形如y=ax+b+vcx+d (a≠0，c≠0)》 例：函数y=2x-√x+1(x>3)的值域为」 【答案】(4，+o) 【详解】令1=√x+1,因为x>3,所以t>2,则x=2-1, 所以原函数可化为8)=2-刂小-1=2-4-2，其对称轴为1=日， 所以函数g(t)在(2，+o)上单调递增，所以g()>g(2)=4, 所以函数y=2x-√x+1(x>3)的值域为(4，+o) 故答案为：(4，+o). 变式：求函数y=2x-1-V13-4x的值域. 11 【答案】 -,2】 【详解】设13-4x=t≥0，则x=13- 4 函数可化为0=2x181-1=-+≥，对称轴为1-1 4 2 所以该函数在0，a上单调递减，所以当：=0时，0一号， 1 所以原函数的值域为 -0,2 3.分式函数值域 例：函数y= (x>0)的值域为 +1 变式：函数y=3x+2 的值域为」 x-1 【答案】(-0,3)U(3,+0) 【详解】因为y号“-又因为马0，所以3+3， x-1 x-1 所以函数y-子的值城-。3+a1. 故答案为：(-0,3)U(3,+0）. 题型七求函数解析式 1.待定系数法 例.已知函数fx)为一次函数，且f②)=-1，若f()=4x-3,则函数 fx)的解析式为 答案：fx=-2x+3 已知二次函数2x+1)=4x2-6x+5,求x) 答案：x)=x2-5x+9(x∈R), 2.换元法 例.若f)=点，则) 答案克（区≠0且x≠） 3.消去法 例.已知x)满足2x)+f(是)=3x,则)= 答案：2x-1xx≠0) 变式：已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R均满足：2f(x-f(-x)=3x+1则 函数(x解析式为() A.f(x)=x+1 B.f(x)=x-1 C.f(x)=-x+1D.f(x=-x-1 【详解】由2f(x)-f(-x)=3x+1,可得2f(-x)-f(x)=-3x+1①， 又4f(x)-2f(-x)=6x+2②，①+②得：3f(x=3x+3,解得fx)=x+1, 故选：A. f}2i=支， 用解方程组法求解析式. 得 2= 解得=音x*0 题型八：分段函数 1.已知函数f(x)=京，x>1 2+山，x≤1，则f(f(-1))=（) A.2 B. C.1 D.-1 答案B 解：因为函数 Tx2+1X≤1， 是，x>1 所以f(-1)=(-1)2+1=2所以f(f(-1)=f(2)=克 故选：B 2已-{ 2+1,x之0，若fa)=5则实数a为（） 2x, x<0 A.-2或2 B.2或 C.-2或 D.2 答案D 解：当a≥0时，fa)=a+1=5解得a=2满足条件： 当a<0时，fa)=2a=5解得a=多>0不满足条件. 故答案为：D.