13.3.1 三角形的内角 第2课时(直角三角形的性质与判定)同步课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“直角三角形的内角”，核心内容为直角三角形两锐角互余的性质及判定。课堂导入通过复习三角形内角和定理，结合三角板两锐角和为90°的实例，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以问题驱动探究，通过“猜想-证明-应用”培养数学思维（推理能力），典例“双垂八字型”等模型体现数学语言（模型意识）。学生能在推理中深化理解，教师可借助结构化资源提升教学效率。

第十三章 三角形 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的内角 复习导入 三角形的内角和为多少度呢? 如图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度? 30°+60°=90° 45°+45°=90° 利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系. 探究 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A和∠B之间有什么关系呢？ 合作探究 答：由三角形的内角和定理，得： ∠A+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+90°=180°， 所以∠A+∠B=90°. 也就是说，直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.比较∠CAE与∠DBE的大小. 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90°-∠AEC.( ) 在Rt△BDE中， ∠DBE=90°-∠BED. ∵∠AEC=∠BED, ∴∠CAE=∠DBE. 典例分析 直角三角形的两个锐角互余.. 解：∠ACD=∠B. 在Rt△ADC中， ∠ACD=90°-∠A.( ) 在Rt△ABC中， ∠B=90°-∠A. ∴∠ACD=∠B. 1.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 巩固练习 直角三角形的两个锐角互余.. 探究新知 (直角三角形的判定) 我们知道了如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ C A B 思 考 ？ 即△ABC 是直角三角形. A B C 猜想：有两个角互余的三角形是直角三角形. 已知：____________________________ 求证：____________________________ △ABC中，∠A +∠B = 90° ∠C＝90° ∠A +∠B +∠C = 180° 证明：由三角形的内角和等于180°，得 又∵ ∠A +∠B = 90° ∴∠C = 180° – 90° = 90° 文字语言 几何语言 直角三角形的判定 A B C 有两个角互余的三角形是直角三角形 如图，在△ABC中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC是直角三角形 归 纳 直角三角形的两个锐角______． A B C 有两个角互余的三角形是______三角形． 互余 直角 探索新知 判断△EFP为直角三角形有两种方法：有一角是直角或两锐角互余，即要说明∠EPF＝90°或∠EFP＋∠FEP＝90°. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F， ∠BEF的平分线与∠DFE的平分 线相交于点P.试说明△EFP为 直角三角形． 例2 导引： 11 探索新知 解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°. ∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线， ∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE. ∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE) ×180°＝90°. ∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°. ∴△EFP为直角三角形． 12 探索新知 “有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三角形的定义，据此可判定直角三角形；“有两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，由三角形内角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三角形的定义． 总 结 13 典题精讲 1.如图， ∠C=90 °， ∠1= ∠2， △ ADE是直角三角形吗？为什么？ 解：△ADE是直角三角形．理由如下： 因为∠C＝90°， 所以∠A＋∠2＝90°. 因为∠1＝∠2， 所以∠A＋∠1＝90°. 所以∠ADE＝180°－(∠A＋∠1)＝90°. 所以△ADE是直角三角形。 C A B E D 2 1 14 典题精讲 2.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 C 3.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝ ∠B＝ ∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C D 15 典题精讲 4.如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC ＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状． 解：在△DBC中，∠DBC＝180°－∠BDC－∠C ＝180°－80°－70°＝30°. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°. 在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°， ∴△ABD是直角三角形． 16 典例精析 DIAN LI JING XI 思考 从以上例题中我们能得到什么启发？ 证明：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E， ∴∠BEA =∠BDF = 90°. ∴∠ABE +∠A = 90°， ∠ABE +∠DFB = 90°. ∴∠A =∠DFB. ∵∠DFB +∠BFC = 180°， ∴∠A +∠BFC = 180°. 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F， ∠A 与∠BFC 有如下关系：∠A +∠BFC = 180°. 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ A B C D E 在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° - ∠AEC. 在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° -∠BED. ∵∠AEC = ∠BED， ∴∠CAE = ∠DBE. 解：∠CAE = ∠DBE. 理由如下： 典例精析 DIAN LI JING XI 双垂八字型 证明： ∵∠B = ∠D = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠C. 如图，∠B =∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，则∠A =∠C . 事实上，这是一个条件更多的“八字型”. 利用三角形的内角和求解 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么△ABC直角三角形吗？ 解：△ABC 是直角三角形，理由如下： 在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 而∠A +∠B = 90°， 所以∠C = 90°， 即△ABC 是直角三角形. 8.（1） 如图1，将一块直角三角板 放置在 上，使三角板 的两条直角边 , 分别经过点 .在 中，若 ，则 _______， ______. 21 （2） 如图2，在（1）的条件下，改变直角三角板 的位置，使三角板 的两条直角边 , 仍然分别经过点 ， ，其他条件不变，那么 的度数是否会发生变化？若会发生变化，请举例说明；若不会发生变化，请求出 的度数. 解:不会发生变化. ， . ， . . $