13.3.1 三角形的内角（第1课时 三角形的内角和）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形内角和定理”，从小学剪拼直观认知切入，引导学生通过平行线知识严谨证明定理，构建从操作到逻辑推理的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过剪拼探究与多法证明发展推理意识，结合方位角、角平分线等综合题培养应用意识。采用“一转二计算”技巧总结，学生提升几何说理与运算能力，教师可高效开展分层教学。

【新教材】人教版·八年级上册 第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 1 2 3 经历剪拼、推理证明的过程，掌握三角形内角和定理：三角形内角和等于180°，理解借助平行线证明定理的思路； 熟练运用三角形内角和定理进行角度计算，能结合方位角、角平分线等知识解决综合几何应用题； 通过定理推导发展逻辑推理能力，体会转化、数形结合思想，提升几何说理与数学运算核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们借助平行线的相关知识推理证明这个结论，并学会运用三角形内角和定理解决各类角度计算实际问题． 同学们，小学时我们通过剪拼、测量，直观知道三角形三个内角相加是 180°，但测量总会存在误差，也无法验证所有三角形．仅靠操作得出的结论缺少严谨证明． 导入新课 你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 探究 新知探究 在图(1)中，将△ABC的∠B和∠C剪下，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点的直线，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上. 想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？ 你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180”的方法吗？ 由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l 平行于△ABC的边BC. 由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论. 新知探究 A B C 2 4 1 5 3 　l 证明：如图所示，过点A作直线l，使l//BC． ∵l//BC， ∴∠2=∠4, （两直线平行，内错角相等） 同理，∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角 ∴∠1+∠4+∠5=180°, （平角定义） ∴∠A+∠B+∠C=180°. （等量代换） ∴任意一个三角形的内角和都等于180° 已知：△ABC（如图所示）． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 新知探究 6 三角形内角和定理： 三角形的内角和等于180° 即：在△ABC 中， ∠A+∠B+∠C=180° 新知探究 7 由图（2），你能给出这个定理的其他证法吗？ 证明：如图，延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l//AB． ∵ l∥AB， ∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）． ∵∠3，∠4，∠5 组成平角， ∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）． ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）． A B C 1 2 3 l 5 4 新知探究 例1：如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B =75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数． 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线， 得 ∠DAB=∠BAC=20°， 在△ABD 中， ∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－20°－75°=85°． 典例分析 9 基础训练 基础训练 例2：如图，是A、B、C三岛的平面图. C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角. 如果能求出∠CAB ， ∠ABC，就能求出∠ACB. 典例分析 解：∠CAB=∠BAD−∠CAD=80°−50°=30°, 由AD//BE，得 ∠BAD+∠ABE=180°， ∴∠ABE=180°－∠BAD=180°−80°=100° ∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°−40°=60° 在△ABC 中， ∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=180°−60°−30°=90° 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 你还能想出其他解法吗？ 新知探究 13 求角有技巧，一转二计算 （1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置． （2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角． 典例分析 基础训练 基础训练 16 三角形的内角 ①三角形内角和定理 （1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置；（2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角. 三角形的内角和等于180°； 证明核心思路：作平行线，利用平行线性质把三个内角转化为平角完成推理. ③定理应用场景 可单独直接求三角形内角度数，也能结合角平分线、方位角、平行线等知识解决综合性角度应用题. ②求角有技巧，一转二计算 新知总结 巩固练习 2．如图，在中，，，是高，是角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． C 【解析】由三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 解：∵在中，，， ，∴， ∵是角平分线，∴， ∵是高，∴，即， ∴， ∴ ． 巩固练习 19 巩固练习 巩固练习 21 拓展提升 拓展提升 拓展提升 24 课堂总结 必做题： 教材第16页习题13.3第1题、第3题 选做题： 教材第17页习题13.3第7题、第9题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! 【解析】由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义求出的度数，最后根据折叠的性质可得答案． 解：∵，，∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得． 1．如图，在中，，，点，分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． B 【解析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求出，最后由三角形内角和定理即可求解． 解：∵，∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________． 【解析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理进行求解即可. 解：由题意，，， ， ， ， ∴， . 1．将一副三角板如图放置，点落在上，与相交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． C 【解析】本题主要考查了方向角和平行线的性质，先根据题意得到，则由方位角的定义和平行线的性质得到，再分别求出，，进而求出，据此根据三角形内角和定理可得答案． 解：，是正南和正北方向，， 处在处的南偏西方向，， 处在处的南偏东方向，， ， 又处在处的北偏东方向，， ，．故答案为：． 2．如图，B处在A处的南偏西43°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东方向，则的度数是______． 【解析】首先根据平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和性质列式，即可求出的度数． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． B 【解析】先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质得出，即可求解． 解：由条件可知 ， ，， 平分，∴ ， ∵， ∴， ． 3．如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 【解析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点．（1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论；（2）根据角平分线定义可得，结合可得． 解：（1）//，理由如下： ∵， ， ∴，∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．如图，中，分别是上的点， 满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 5．在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【解析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出；（2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 解：（1）∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴，即． $