精品解析：广东汕头市澄海区2025-2026学年高一第二学期期末质量监测数学试卷

2025～2026学年度第二学期质量监测高一级试卷 数学科 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再求复数的模即可求解. 【详解】由题意得：，所以. 3. 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 40 B. 39 C. 36 D. 35 【答案】D 【解析】 【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16， 因为，所以第60百分位数为19， 所以众数与第60百分位数之和为. 4. 已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】. 5. 若实数满足，则与的值最接近的是（ ）（参考数据： A. 0.26 B. 0.41 C. 0.51 D. 1.10 【答案】C 【解析】 【详解】由，两边取对数得，则. 6. 若，是方程的一个根，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程，结合的范围可得，应用同角三角函数的基本关系对目标式进行化简求值即可. 【详解】由可得：，解得：. 已知，该区间内，故. 所以. 7. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 8. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，由题设结合可判断选项正误；对于CD，由题设结合基本不等式可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，从而，又为正实数，可得，故A正确 类似上述方法可得，从而，故B正确； 对于CD，由基本不等式，，当且仅当时取等号，故C正确； 由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故D错误. 10. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据、结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性可判断BC；根据函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D. 【详解】对于A，由得，由得， 由得，故， 化简得， 由图可知该函数的周期，故，解得， 所以，故A正确； 对于B，由，得不是函数的对称中心，故B错误； 对于C，由，可得， 由，得函数在上单调递增，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，此时为偶函数，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是2，则（ ） A. 平面 B. 二面角的余弦值为 C. 若点P在棱上，则的最小值为 D. 若该棱台内有一个正方体，且该正方体在棱台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将正三棱台补形为正四面体.对于A：分析可知与不垂直，即可判断线面不垂直；对于B：可知二面角的平面角为，结合余弦定理运算求解；对于C：可得，，进而分析求解即可；对于D：根据正四面体的性质分析可知正三棱台的内切球即为正四面体的内切球，且棱长最大的正方体即为正三棱台内切球的内接正方体，进而分析求解. 【详解】根据题意可将正三棱台补形为正四面体， 且正四面体的棱长为4，分别为的中点. A：由题意可知：，，即，可知与不垂直， 所以与平面不垂直，故A错误； B：取的中点，连接， 则，，可知二面角的平面角为， 在中，，， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值为，故B正确； C：因为为的中点，则，， 则，，可得， 当且仅当点与点重合时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； D：设正的中心为，正四面体的中心为， 则底面，由底面可得， 则，， 又因为，即，解得， 可知正四面体的内切球半径， 且正三棱台的高，即， 可知正三棱台的内切球即为正四面体的内切球， 所求棱长最大的正方体即为正三棱台内切球的内接正方体， 此时棱长最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据向量垂直得出方程即可求解. 【详解】，，, ，，解得. 故答案为：. 13. 澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算各自未猜中灯谜的概率，根据对立事件的概率即可求出至少猜中1道灯谜的概率. 【详解】设：甲猜中灯谜为事件，乙猜中灯谜为事件， 则至少猜中1道灯谜的概率. 14. 在棱长为2的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得轨迹为以为顶点，正方体面对角线为母线的圆锥侧面的，据此可得答案. 【详解】因为，则的轨迹为如图以为顶点，为高，正方体面对角线为母线的圆锥侧面的， 又因为正方体面对角线长度为，圆锥底面圆半径为，则轨迹形成的图形面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦的倍角公式，求得，即可求解； （2）根据题意，利用三角形的面积公式，列出方程求得，由余弦定理，求得，进而得到的周长. 【小问1详解】 解：因为，可得， 又因为，则，所以，所以． 【小问2详解】 解：因为的面积为， 可得，解得， 由余弦定理可得，所以， 所以的周长为． 16. 某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）； （3）若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线. 【答案】（1） （2） （3）108 【解析】 【分析】(1)根据频率直方图的特征可知所有的频率之和为1，列出方程，解方程即可； (2)根据频率直方图，利用每组的组中值乘以对应的频率，再求和即可； (3)根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可. 【小问1详解】 由题意得 ，解得. 【小问2详解】 平均分为：. 【小问3详解】 由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为， 因为 设复赛最低分数线为，则位于区间内， 故. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若直线是函数图象的对称轴（其中m是正实数），求m的最小值； （3）若锐角满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先用二倍角公式及辅助角公式化简解析式为，然后利用整体代换思想即可求出递增区间； （2）首先利用整体代换思想令，可求出对称轴，对进行赋值，即可求出m的最小值； （3）由可求出，利用锐角三角形条件求出，最后求三角函数值域即可. 【小问1详解】 由题意有． ， 令，， 解得， 所以函数的单调递增区间是． 【小问2详解】 令，， 所以，， 当时，， 所以m的最小值为； 【小问3详解】 由，有，即， 由有：，所以，即， 又，所以， 又因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 18. 如图，在棱长为4的正方体中，O为侧面的中心． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求三棱锥的外接球的体积． 【答案】（1）证明：连接，与交于点E，连接， 因为O为侧面的中心，所以O为的中点， 连接OE，因为，，且，， 所以，且， 则四边形为平行四边形， 因为E为的中点，易知， 又平面，平面， 故平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定证明； （2）由正方体性质易证平面，则为直线与平面所成的角，结合边长关系求解. （3）先证明三棱锥的外接球的球心M在线段上，再结合勾股定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，则，则， 易知四边形为平行四边形， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 因为， 故平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，易求，， 所以， 则． 故直线与平面所成角的大小为． 【小问3详解】 设三棱锥的外接球的球心为M，半径为R， 因为的外接圆的圆心为E，所以平面， 由（1）可知，，平面，所以平面， 因此球心M在线段上， 易求，，由，解得， 故三棱锥的外接球的体积为． 19. 已知函数，（其中是自然对数的底数） （1）判断函数在上的单调性（不必证明）； （2）求证：函数在内存在零点，且； （3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值. （参考数据：） 【答案】（1）单调递增 （2）因为， . 所以，由函数零点存在定理可知，函数在内存在零点， 即， 因为 . （3）3 【解析】 【分析】（1）取对数，利用复合函数单调性判断即可； （2）利用零点存在性定理和对数的运算性质证明即可； （3）根据单调性可知，即，代入化简不等式，再利用对勾函数单调性求的取值范围即可. 【小问1详解】 因为，令，则在上单调递增， 又是增函数， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，所以，， 又因为，且在上单调递增， 所以，即，， 所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 所以，即， 所以要使，则整数的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期质量监测高一级试卷 数学科 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A. 40 B. 39 C. 36 D. 35 4. 已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若实数满足，则与的值最接近的是（ ）（参考数据： A. 0.26 B. 0.41 C. 0.51 D. 1.10 6. 若，是方程的一个根，则（） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 8. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后为奇函数 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是2，则（ ） A. 平面 B. 二面角的余弦值为 C. 若点P在棱上，则的最小值为 D. 若该棱台内有一个正方体，且该正方体在棱台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则___________. 13. 澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________． 14. 在棱长为2的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）； （3）若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线. 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若直线是函数图象的对称轴（其中m是正实数），求m的最小值； （3）若锐角满足，求的取值范围． 18. 如图，在棱长为4的正方体中，O为侧面的中心． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求三棱锥的外接球的体积． 19. 已知函数，（其中是自然对数的底数） （1）判断函数在上的单调性（不必证明）； （2）求证：函数在内存在零点，且； （3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数的最大值. （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $