第八单元 可能性 （解决问题讲义）数学北师大版五年级上册（新教材）

该小学数学第八单元“可能性”复习讲义通过结构化知识框架梳理核心内容，涵盖事件的确定性与不确定性、可能性大小判断、数量反推、游戏公平性及综合应用五大要点，结合典型例题与变式训练，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与核心素养融合，A层夯实基础如“抽牌游戏公平性判断”，B层培优拔高如“转盘规则设计”，C层思维拓展如“标签错位推理”，培养学生推理意识与应用意识。典型例题5的“放球方案设计”引导学生用数学语言表达现实问题，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习与能力提升。

第八单元 可能性 1.事件的确定性与不确定性： ---- 生活中的事件分为确定事件和不确定事件。确定事件包括 “一定发生” 和 “不可能发生” 两种，结果唯一可预测；不确定事件（随机事件）结果无法提前确定，用 “可能” 描述，是可能性研究的核心对象。 2.可能性大小的判断： ---- 事件发生的可能性有大有小。在总数中，对应物体的数量越多，发生的可能性越大；数量越少，发生的可能性越小；数量相等时，发生的可能性大小相等。可能性大小与数量占比直接相关。 3.根据可能性反推数量： ---- 根据试验中事件发生的频率，或给定的可能性大小，可以反向推测物体数量的多少：出现次数多，对应数量可能多；出现次数少，对应数量可能少；出现次数相近，数量可能相近。 4.游戏公平性判断： ---- 判断游戏规则是否公平，核心是看参与游戏的各方获胜的可能性是否相等。可能性相等，游戏公平；可能性不相等，游戏不公平。可通过调整规则、数量使游戏变得公平。 5.可能性综合实际应用： ---- 结合摸球、转盘、抽签、抽奖等生活场景，能描述事件发生的可能性、比较可能性大小、判断规则公平性，还能按要求设计公平的游戏方案，提升逻辑推理与应用能力。 类型 1 事件的确定性与不确定性 典型例题 1：用 “一定”“可能”“不可能” 填空。 （1）太阳（ ）从东方升起。 （2）明天（ ）会下雨。 （3）抛一枚硬币，落地后（ ）正面朝上。 （4）正方体六个面写着 1~6，掷一次（ ）出现数字 7。 【分析】根据事件属性判断：确定会发生用 “一定”，确定不会发生用 “不可能”，无法确定结果用 “可能”。 【变式训练】判断对错。 （1）冬天一定会下雪。（ ） （2）两位数乘一位数，积不可能是四位数。（ ） 类型 2 可能性大小的判断 典型例题 2：盒子里有 5 个红球、3 个黄球、1 个白球，球除颜色外完全相同。任意摸出一个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？摸到哪种颜色球的可能性最小？ 【分析】球的总数固定，单一颜色球的数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，摸到的可能性越小。 【变式训练】转盘被平均分成 8 份，其中 3 份涂红色，5 份涂蓝色。转动转盘，指针停在（ ）色区域的可能性大。 类型 3 根据可能性推测数量多少 典型例题 3：小明在袋子里摸棋子，每次摸出一个后放回摇匀，摸了 20 次，摸到黑棋子 12 次，摸到白棋子 8 次。袋子里哪种颜色的棋子可能更多？ 【分析】重复试验次数足够多时，摸到次数多的棋子，对应的数量大概率更多。 【变式训练】不透明袋子里有红、黄两种玻璃球共 20 个，小红摸了 30 次，摸到红球 10 次，摸到黄球 20 次。推测袋子里红球和黄球大概各有多少个？ 类型 4 游戏公平性判断 典型例题 4：小明和小刚玩抽牌游戏，牌面是 1~9 九张数字牌，打乱后反扣在桌上，抽到奇数小明赢，抽到偶数小刚赢。这个游戏公平吗？为什么？ 【分析】先统计奇数和偶数的数量，判断双方获胜的可能性是否相等，相等则公平，否则不公平。 【变式训练】请你修改上面的游戏规则，使游戏变得公平。 类型 5 可能性方案设计 典型例题 5：要在盒子里放 8 个除颜色外完全相同的球，使得摸到红球的可能性比黄球大，可以怎么放？请写出两种方案。 【分析】只要红球的数量多于黄球的数量，就能满足红球可能性更大，总数量为 8 个即可。 A夯实基础 1．小军设计了一种游戏方案。从扑克牌6，3，4，5中任意抽出两张，若它们的和是单数，则小军胜；若它们的和是双数，则丽丽胜。这个方案公平吗？请说明理由。如果方案不公平，请你借助扑克牌设计一种公平的游戏方案。 2．桌上反扣着六张背面完全相同的卡片，卡片正面上分别写着1，2，3，4，5，6，甲随机拿出一张，让乙猜卡片上是哪个数。乙猜对了，乙胜；乙猜错了，甲胜。 (1)这个游戏规则公平吗？为什么？ (2)请你设计一个游戏规则，使它对双方都公平。 3．下表是小玲从盒子里摸21次球的结果。（每次从盒子里摸出1个球，摸后将球放回盒中并摇匀） 记录 次数 蓝球 正 5 红球 正正正一 16 盒子里哪种颜色的球多？下次摸球更可能摸出什么颜色的球？ 4．下表是五年级（1）班同学摸球实验的结果（共摸100次，每次摸后放回）。 颜色 红球 黄球 蓝球 次数 58 32 10 （1）推测盒子里哪种颜色的球最多？哪种最少？ （2）如果再摸一次，摸到哪种颜色球的可能性最大？ （3）盒子里可能有10个球，请你估计三种颜色球的数量。 5．小宁和小凯玩摸球游戏。每次从盒子中任意摸出一个球。记录球的颜色，然后放回并摇匀，一共摸20次。规定摸到黑球的次数多时小宁赢，摸到白球的次数多时小凯赢。从下面的哪些盒子中摸球是公平的？请说明理由。 6．某超市新开业，购物满300元即可参与抽奖。 （1）乐乐参与了抽奖，他中奖的可能性大还是小？为什么？ （2）如果中奖了，乐乐获得（    ）等奖的可能性最大，（    ）等奖的可能性最小。 7．如图，一块梯形木板被分割成黑白两块三角形形状的区域，淘气、笑笑分别向这块平放在水平地上的木板上掷一个骰子，如果这个骰子落在白色区域，淘气赢；如果这个骰子落在黑色区域，笑笑赢。这个游戏公平吗？请说明理由。 B培优拔高 8．下面是一个转盘，笑笑转动指针，乐乐猜指针会停在哪一个数上，如果乐乐猜错了，笑笑获胜。这个游戏规则对双方公平吗？若不公平，请你利用这个转盘再设计一个对双方都公平的游戏规则。 9．为了吸引游客，颐和园冰场正在进行抽奖活动，奖品如图所示。如果你是冰场的运营经理，请你选择下面的一种材料设计抽奖方案，并简要说明理由。 我选择的材料：（    ）（填序号）。 我设计的方案。 10．从4张数字卡片中任意抽取2张，组成一个两位数。 （1）这个两位数可能是多少？列举出来。 （2）如果任意抽取3张，组成一个三位数，这个三位数可能是多少？列举出来。 11．下表是小红在某超市统计的。30分钟之内人们买雪糕的情况表。 雪糕样式 火炬 小布丁 四个圈 数量（只） 24 48 11 根据上表所提供的数据说说哪种说法是正确的。（对的画“√”，错的画“×”） (1)下一个人一定会买“小布丁”。( ) (2)下一个人可能会买“四个圈”。( ) (3)一个中学生来这个超市买雪糕，三种不同样式的雪糕都有可能被选择。( ) (4)下一个人不可能会买“火炬”。( ) 12．小军和小亮做游戏，他们用“手心、手背”决定谁先开始：如果两人出的相同（同为手心或手背），那么小军先开始；如果两人出的不同（一人出手心，另一人出手背），那么小亮先开始。请问：这个规则公平吗？为什么？ 13．做一个骰子，在六个面上分别写上1，2，3，4，6，8。投掷10次，把结果记录下来，看看双数向上与单数向上哪种出现的次数多。为什么？ C思维拓展 14．盒子里装有15个球，分别写着1~15各数。只摸出一个球，如果摸到是双数，小刚赢，如果摸到的是单数，小强赢。 ①这样约定公平吗？为什么？ ②小强一定会赢吗？为什么？ ③你能设计一个公平的规则吗？ 15．在五年级“跳棋争霸赛”中，为了确定谁先走，裁判员设计了一个方式：比赛双方背对背伸出手指（1－5），算出两人伸出的手指数之和，根据和是单数还是双数来确定场地。你认为这样做公平吗？为什么？ 16．在6张卡片上分别写上数字1、2、3、4、5、6，王鹏和李军利用这些卡片玩求和游戏，规则是：将卡片反扣在桌面，第一位随机摸取两张，算出其和后放回，第二位同样随机摸两张，算出其和后再放回，当两张卡片和小于7时算王鹏赢，大于或等于7时算李军赢。你觉得这个游戏公平吗？说说你的理由。 17．爸爸在三个盒子上贴上标签，盒子里分别装着两个红球、两个白球和一红一白两个球，但是标签全贴错了，爸爸要求曲米只能从其中一个盒子里摸出一个球，然后就说出三个盒子里分别装的是什么颜色的球。曲米该怎样摸球？如何判断？ 18．选出下面的扑克牌，将它们反扣在桌面上。每次摸2张，然后放回，另一个人再摸。2张牌的点数和大于15，甲赢；小于15，乙赢。这个游戏规则公平吗？为什么？    19．三个纸箱，放大小、形状相同的小球。把三个纸箱里的球一起放进一个大纸箱里，摸到红球东东赢，摸到黄球莎莎赢，摸到绿球灵灵赢。这个游戏公平吗？为什么？    20．与同桌玩“石头、剪子、布”游戏，总共玩40次。 （1）记录并统计游戏结果。 结果 输 赢 平 次数/次 （2）这个游戏究竟公平不公平呢？我们可以这样想。 我如果出“石头”，结果会有（    ）种可能。因为： 如果同桌出“石头”，平； 如果同桌出“布”，输； 如果同桌出“剪子”，赢。 同样，我如果出“布”，结果有（    ）种可能；如果出“剪子”，结果有（    ）种可能。 因此，结果一共有（    ）种可能，每一种结果出现的可能性相等，因此，游戏是公平的。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 可能性 1.事件的确定性与不确定性： ---- 生活中的事件分为确定事件和不确定事件。确定事件包括 “一定发生” 和 “不可能发生” 两种，结果唯一可预测；不确定事件（随机事件）结果无法提前确定，用 “可能” 描述，是可能性研究的核心对象。 2.可能性大小的判断： ---- 事件发生的可能性有大有小。在总数中，对应物体的数量越多，发生的可能性越大；数量越少，发生的可能性越小；数量相等时，发生的可能性大小相等。可能性大小与数量占比直接相关。 3.根据可能性反推数量： ---- 根据试验中事件发生的频率，或给定的可能性大小，可以反向推测物体数量的多少：出现次数多，对应数量可能多；出现次数少，对应数量可能少；出现次数相近，数量可能相近。 4.游戏公平性判断： ---- 判断游戏规则是否公平，核心是看参与游戏的各方获胜的可能性是否相等。可能性相等，游戏公平；可能性不相等，游戏不公平。可通过调整规则、数量使游戏变得公平。 5.可能性综合实际应用： ---- 结合摸球、转盘、抽签、抽奖等生活场景，能描述事件发生的可能性、比较可能性大小、判断规则公平性，还能按要求设计公平的游戏方案，提升逻辑推理与应用能力。 类型 1 事件的确定性与不确定性 典型例题 1：用 “一定”“可能”“不可能” 填空。 （1）太阳（ ）从东方升起。 （2）明天（ ）会下雨。 （3）抛一枚硬币，落地后（ ）正面朝上。 （4）正方体六个面写着 1~6，掷一次（ ）出现数字 7。 【分析】根据事件属性判断：确定会发生用 “一定”，确定不会发生用 “不可能”，无法确定结果用 “可能”。 【答案】一定；可能；可能；不可能 【详解】 （1）太阳东升西落是客观自然规律，一定从东方升起，属于确定事件。 （2）明天的天气无法提前预判，可能下雨，属于不确定事件。 （3）抛硬币有正面、反面两种结果，落地后可能正面朝上，属于不确定事件。 （4）正方体只有 1~6 六个数字，不可能出现 7，属于确定事件中的不可能事件。 答：依次填一定、可能、可能、不可能。 【变式训练】判断对错。 （1）冬天一定会下雪。（ ） （2）两位数乘一位数，积不可能是四位数。（ ） 【答案】×；√ 【详解】 （1）不同地区冬天气候不同，不是所有地方冬天都会下雪，事件不具备必然性，说法错误。 （2）最大的两位数 99 乘最大的一位数 9，积为 891，仍是三位数，因此积不可能是四位数，说法正确。 类型 2 可能性大小的判断 典型例题 2：盒子里有 5 个红球、3 个黄球、1 个白球，球除颜色外完全相同。任意摸出一个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？摸到哪种颜色球的可能性最小？ 【分析】球的总数固定，单一颜色球的数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，摸到的可能性越小。 【答案】红球可能性最大，白球可能性最小 【详解】 三种球数量比较：，红球数量最多，白球数量最少 因此摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。 答：摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。 【变式训练】转盘被平均分成 8 份，其中 3 份涂红色，5 份涂蓝色。转动转盘，指针停在（ ）色区域的可能性大。 【答案】蓝 【详解】 蓝色区域有 5 份，红色区域有 3 份，，蓝色区域占比更大 所以指针停在蓝色区域的可能性大。 类型 3 根据可能性推测数量多少 典型例题 3：小明在袋子里摸棋子，每次摸出一个后放回摇匀，摸了 20 次，摸到黑棋子 12 次，摸到白棋子 8 次。袋子里哪种颜色的棋子可能更多？ 【分析】重复试验次数足够多时，摸到次数多的棋子，对应的数量大概率更多。 【答案】黑棋子可能更多 【详解】 摸到黑棋子 12 次，摸到白棋子 8 次， 黑棋子被摸到的频率更高，说明袋子里黑棋子的数量可能更多。 答：袋子里黑棋子可能更多。 【变式训练】不透明袋子里有红、黄两种玻璃球共 20 个，小红摸了 30 次，摸到红球 10 次，摸到黄球 20 次。推测袋子里红球和黄球大概各有多少个？ 【答案】红球约 7 个，黄球约 13 个（合理即可） 【详解】 摸到黄球次数更多，说明黄球数量更多。 摸到次数比 红球黄球 按比例估算总数 20 个： 红球约：（个） 黄球约：（个） 答：红球大概 7 个，黄球大概 13 个。 类型 4 游戏公平性判断 典型例题 4：小明和小刚玩抽牌游戏，牌面是 1~9 九张数字牌，打乱后反扣在桌上，抽到奇数小明赢，抽到偶数小刚赢。这个游戏公平吗？为什么？ 【分析】先统计奇数和偶数的数量，判断双方获胜的可能性是否相等，相等则公平，否则不公平。 【答案】不公平，因为奇数和偶数数量不相等，小明获胜的可能性更大 【详解】 1~9 中，奇数有：1、3、5、7、9，共 5 个 偶数有：2、4、6、8，共 4 个 ，抽到奇数的可能性更大，小明赢的概率更高 因此游戏规则不公平。 答：这个游戏不公平，因为奇数有 5 个、偶数有 4 个，双方获胜的可能性不相等。 【变式训练】请你修改上面的游戏规则，使游戏变得公平。 【答案】示例：抽到大于 5 的数小明赢，抽到小于 5 的数小刚赢，抽到 5 则重抽。（答案不唯一） 【详解】 大于 5 的数：6、7、8、9，共 4 个 小于 5 的数：1、2、3、4，共 4 个 双方获胜的可能性相等，游戏公平。 类型 5 可能性方案设计 典型例题 5：要在盒子里放 8 个除颜色外完全相同的球，使得摸到红球的可能性比黄球大，可以怎么放？请写出两种方案。 【分析】只要红球的数量多于黄球的数量，就能满足红球可能性更大，总数量为 8 个即可。 【答案】方案一：红球 5 个，黄球 3 个；方案二：红球 6 个，黄球 2 个（答案不唯一） 【详解】 只要红球个数大于黄球个数，且总数为 8 个即可： 红球 5 个，黄球 3 个：，红球摸到的可能性大 红球 7 个，黄球 1 个：，红球摸到的可能性大 答：可以放 5 红 3 黄，或 6 红 2 黄等。 A夯实基础 1．小军设计了一种游戏方案。从扑克牌6，3，4，5中任意抽出两张，若它们的和是单数，则小军胜；若它们的和是双数，则丽丽胜。这个方案公平吗？请说明理由。如果方案不公平，请你借助扑克牌设计一种公平的游戏方案。 【答案】不公平；理由见详解 【分析】判断游戏是否公平，依据是双方获胜的可能性是否相等。先利用列举法找出从4张牌中任意抽出两张的所有可能情况，计算它们的和，统计和为单数与双数的情况数。若情况数相等，则可能性相等，游戏公平；若情况数不等，则可能性不相等，游戏不公平。设计公平方案时，需调整规则或抽取方式，确保双方获胜的情况数相等。 【详解】答：这个方案不公平。 因为从6，3，4，5中任意抽出两张，可能的组合如下：3＋4＝7、3＋5＝8、3＋6＝9、4＋5＝9、4＋6＝10、5＋6＝11，共有6种不同的组合情况。 和为单数的情况有：7，9，9，11，共4种；和为双数的情况有：8，10，共2种。 因为4＞2，所以和为单数的可能性大，和为双数的可能性小。 即小军获胜的可能性大，丽丽获胜的可能性小。因此这个方案不公平。 公平游戏方案： 方案：从扑克牌 6，3，4，5 中任意抽出一张，若它是奇数，则小军胜；若它是偶数，则丽丽胜。 理由：在这4张牌中，奇数有3，5，共2张；偶数有4，6，共2张。 因为2＝2，所以双方获胜的可能性相等，方案公平。 2．桌上反扣着六张背面完全相同的卡片，卡片正面上分别写着1，2，3，4，5，6，甲随机拿出一张，让乙猜卡片上是哪个数。乙猜对了，乙胜；乙猜错了，甲胜。 (1)这个游戏规则公平吗？为什么？ (2)请你设计一个游戏规则，使它对双方都公平。 【答案】(1)不公平。因为当甲随机拿出一张后，乙猜对的可能性有1种，猜错的可能性有5种，所以这个游戏规则不公平（答案不唯一）。 (2)从中任意抽出一张卡片，是奇数的，甲胜；是偶数的，乙胜（答案不唯一）。 【分析】（1）判断游戏公平性需要比较乙猜对与猜错的可能性种数是否相等。 （2）设计公平规则需使双方获胜的可能性种数相等。 【详解】（1）当甲随机拿出一张后，乙猜对的可能性有1种，猜错的可能性有5种； 1≠5，所以不公平。 答：不公平。因为当甲随机拿出一张后，乙猜对的可能性有1种，猜错的可能性有5种，所以这个游戏规则不公平（答案不唯一）。 （2）因为1、3、5是奇数，2、4、6是偶数，奇数和偶数都是3个； 所以可以设计：从中任意抽出一张卡片，是奇数的，甲胜；是偶数的，乙胜（答案不唯一）。 3．下表是小玲从盒子里摸21次球的结果。（每次从盒子里摸出1个球，摸后将球放回盒中并摇匀） 记录 次数 蓝球 正 5 红球 正正正一 16 盒子里哪种颜色的球多？下次摸球更可能摸出什么颜色的球？ 【答案】红球；红球 【分析】可能性的大小与数量有关，在总数中所占数量越多，可能性越大；事件的可能性大小能反映出物体数量的多少，可能性越大，对应的物体数量相对多些，据此解答即可。 【详解】5＜16 答：盒子里红球多，下次更可能摸出红球。 4．下表是五年级（1）班同学摸球实验的结果（共摸100次，每次摸后放回）。 颜色 红球 黄球 蓝球 次数 58 32 10 （1）推测盒子里哪种颜色的球最多？哪种最少？ （2）如果再摸一次，摸到哪种颜色球的可能性最大？ （3）盒子里可能有10个球，请你估计三种颜色球的数量。 【答案】（1）红球最多；蓝球最少 （2）红球 （3）红球6个；黄球3个；蓝球1个 【分析】（1）摸球实验中，摸出次数越多，说明盒子里这种颜色的球可能越多；摸出次数越少，球可能越少。比较三种颜色的球摸出的次数，即可得解； （2）可能性大小与球的数量正相关，数量越多，摸到的可能性越大。因为红球数量最多，所以再摸一次，摸到红球的可能性最大。 （3）根据摸球次数的多少，按“摸出次数多的球数量多，摸出次数少的球数量少”的思路来分配10个球：红球摸了58次，次数最多，所以红球数量最多，估计有6个；黄球摸了32次，次数次之，估计有3个；蓝球摸了10次，次数最少，估计有1个。 【详解】（1）58＞32＞10 答：盒子里红球最多，蓝球最少。 （2）答：摸到红球的可能性最大。 （3）红球摸了58次，次数最多，所以红球数量最多，估计有6个； 黄球摸了32次，次数次之，估计有3个； 蓝球摸了10次，次数最少，估计有1个。 答：我估计红球6个，黄球3个，蓝球1个。 5．小宁和小凯玩摸球游戏。每次从盒子中任意摸出一个球。记录球的颜色，然后放回并摇匀，一共摸20次。规定摸到黑球的次数多时小宁赢，摸到白球的次数多时小凯赢。从下面的哪些盒子中摸球是公平的？请说明理由。 【答案】①号 【分析】要使这个游戏规则变得公平，不仅每人摸的次数相同，还要黑、白球的个数必须相同。据此解答。 【详解】①号盒中有5个白球和5个黑球，黑球和白球的个数相同，则摸出黑球和摸出白球的可能性相同，则这个游戏公平； ②号盒中有10个白球和5个黑球，黑球和白球的个数不相同，则摸出黑球和摸出白球的可能性不相同，则这个游戏不公平； ③号盒中有7个白球和8个黑球，黑球和白球的个数不相同，则摸出黑球和摸出白球的可能性不相同，则这个游戏不公平； 答：从①号盒子中摸球是公平的。 6．某超市新开业，购物满300元即可参与抽奖。 （1）乐乐参与了抽奖，他中奖的可能性大还是小？为什么？ （2）如果中奖了，乐乐获得（    ）等奖的可能性最大，（    ）等奖的可能性最小。 【答案】（1）中奖的可能性大。因为中奖的区域比“谢谢参与”的区域大。 （2）三；一 【分析】根据图中不同区域的大小即可判断可能性的大小，区域越大，可能性越大，区域越小，可能性越小，据此分析即可。 【详解】（1）中奖的可能性大。因为中奖的区域比“谢谢参与”的区域大。 （2）如果中奖了，乐乐获得三等奖的可能性最大，一等奖的可能性最小。 7．如图，一块梯形木板被分割成黑白两块三角形形状的区域，淘气、笑笑分别向这块平放在水平地上的木板上掷一个骰子，如果这个骰子落在白色区域，淘气赢；如果这个骰子落在黑色区域，笑笑赢。这个游戏公平吗？请说明理由。 【答案】不公平；三角形的面积小于黑三角形的面积，淘气赢的机会小，笑笑赢的机会大。（答案不唯一） 【分析】游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 据此根据梯形的特征和三角形面积公式，比较两个三角形的面积，面积相等，游戏公平；面积不相等，则游戏不公平，据此解答。 【详解】白三角形的底等于梯形的上底，高等于梯形的高； 黑三角形的底等于梯形的下底，高等于梯形的高； 白三角形的底＜黑三角形的底，则白三角形的面积小于黑三角形的面积，淘气赢的机会小，笑笑赢的机会大，游戏不公平。 B培优拔高 8．下面是一个转盘，笑笑转动指针，乐乐猜指针会停在哪一个数上，如果乐乐猜错了，笑笑获胜。这个游戏规则对双方公平吗？若不公平，请你利用这个转盘再设计一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】这个游戏规则不公平；要使游戏公平，则指针转到偶数，乐乐赢，指针转到奇数，笑笑赢 【分析】不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。根据题意可知，笑笑选中的数字占10个数字的，所以乐乐猜中的可能性是，猜错的可能性就是，可能性大小不一样，这个游戏对乐乐不公平；设计的游戏使双方赢的可能性一样即可，例如：1~10中，偶数有5个，奇数有5个，数量一样，所以指到偶数和指到奇数的可能性一样；指针转到偶数，乐乐赢，指针转到奇数，笑笑赢。 【详解】1÷10＝ 9÷10＝ ＜ 这个游戏规则不公平；偶数有5个，奇数有5个，数量一样，所以指到偶数和指到奇数的可能性一样。 答：这个游戏规则不公平；要使游戏公平，则指针转到偶数，乐乐赢，指针转到奇数，笑笑赢。（答案不唯一） 9．为了吸引游客，颐和园冰场正在进行抽奖活动，奖品如图所示。如果你是冰场的运营经理，请你选择下面的一种材料设计抽奖方案，并简要说明理由。 我选择的材料：（    ）（填序号）。 我设计的方案。 【答案】②；见详解 【分析】根据题意，根据不同材料设计抽奖方案，使得各个奖项的中奖概率符合一定的要求，同时要考虑方案的合理性和吸引力。据此解答。 【详解】答：我选择材料②（装有不同颜色球的盒子）：盒子里有2个红球、6个白球、12个黄球。 可以规定：从盒子中随机摸出一个球，摸到红球为一等奖，获得1张冰场门票；摸到白球为二等奖，获得1份冰场纪念品；摸到黄球为三等奖，获得1根文创雪糕。 理由：总球数为2＋6＋12＝ 20（个），一等奖的中奖概率为，二等奖的中奖概率为，三等奖的中奖概率为。这种设计使得一等奖概率较小，二等奖有一定机会，三等奖概率较大，既保证了一等奖的珍贵性，又能让较多游客获得三等奖，提高游客的积极性。    （答案不唯一） 10．从4张数字卡片中任意抽取2张，组成一个两位数。 （1）这个两位数可能是多少？列举出来。 （2）如果任意抽取3张，组成一个三位数，这个三位数可能是多少？列举出来。 【答案】（1）12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43。 （2）123、132、124、142、134、143、213、231、214、241、234、243、312、321、314、341、324、342、412、421、413、431、423、432。 【分析】（1）组成两位数，可先抽1放在十位上，再分别抽2、3、4放在个位上组成两位数；再抽2放在十位上，分别抽另外三个数字放在个位上组成两位数。依次类推，直到找出所有组成的两位数。 （2）组成三位数，先抽1放在百位上，再抽2和3分别放在十位和个位上，再把2和3交换位置，分别组成三位数，接着抽2和4分别放在十位和个位上，再把2和4交换位置，分别组成三位数，再接着抽3和4分别放在十位和个位上，再把3和4交换位置，分别组成三位数。然后抽2放在百位上，依照以上方式排列，直到找出所有组成的三位数。 【详解】（1）这个两位数可能是：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43。 （2）这个三位数可能是：123、132、124、142、134、143、213、231、214、241、234、243、312、321、314、341、324、342、412、421、413、431、423、432。 11．下表是小红在某超市统计的。30分钟之内人们买雪糕的情况表。 雪糕样式 火炬 小布丁 四个圈 数量（只） 24 48 11 根据上表所提供的数据说说哪种说法是正确的。（对的画“√”，错的画“×”） (1)下一个人一定会买“小布丁”。( ) (2)下一个人可能会买“四个圈”。( ) (3)一个中学生来这个超市买雪糕，三种不同样式的雪糕都有可能被选择。( ) (4)下一个人不可能会买“火炬”。( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)× 【分析】（1）从表格中看出“小布丁”卖的最多，“四个圈”卖的最少。“小布丁”虽然卖的多，但下一个人是否会买“小布丁”是不确定的。 （2）“四个圈”虽然卖的少，但下一个人还是有可能买“四个圈”。 （3）一个中学生买哪一种雪糕都是有可能的。 （4）哪一种雪糕卖的多，只能说明人们更偏向于这种雪糕，但是下一个人会买哪种雪糕这种情况是不确定的。 【详解】（1）从统计情况表来看，虽然“小布丁”卖的最多，但是下一个人不一定会买“小布丁”，买“火炬”或“四个圈”也是有可能的，因此原题干的说法是错误的。 答：该说法是错误的。 （2）下一个人会买哪一种雪糕都是有可能的，因此可能会买“四个圈”，原题干的说法是正确的。 答：该说法是正确的。 （3）一个中学生买哪一种雪糕都是有可能的，因此三种不同样式的雪糕都有可能被选择，原题干的说法是正确的。 答：该说法是正确的。 （4）下一个人可能会买“火炬”，也可能会买“小布丁”，还有可能会买“四个圈”，三种样式的雪糕都有可能被选择，因此原题干的说法是错误的。 答：该说法是错误的。 12．小军和小亮做游戏，他们用“手心、手背”决定谁先开始：如果两人出的相同（同为手心或手背），那么小军先开始；如果两人出的不同（一人出手心，另一人出手背），那么小亮先开始。请问：这个规则公平吗？为什么？ 【答案】公平。因为小军先开始的情况有两种，小亮先开始的情况也是两种，二人先开始的可能性相等。 【分析】共有4种情况：①两人同出手心；②两人同出手背；③小军出手心，小亮出手背；④小军出手背，小亮出手心。因为出的相同时有两种情况，不同时也有两种情况，所以，两人无论谁先开始，可能性相等。因此，这个规则是公平的。 【详解】小军先开始的情况有两人同出手心、两人同出手背，两种情况；小亮先开始的情况有小军出手心，小亮出手背，小军出手背，小亮出手心，两种情况；两人先开始都是两种情况，可能性相等，所以，这个游戏是公平的。 13．做一个骰子，在六个面上分别写上1，2，3，4，6，8。投掷10次，把结果记录下来，看看双数向上与单数向上哪种出现的次数多。为什么？ 【答案】双数；理由见详解 【分析】要想知道双数向上与单数向上哪种出现的次数多。就需要看双数和单数哪个多，如果单数多，就出现单数的次数多，如果单数和双数同样多，出现双数向上与单数向上的次数一样。 【详解】1，2，3，4，6，8其中双数是：2，4，6，8，共4个；单数是：1，3，共2个；4＞2， 答：双数向上出现的次数多，因为双数比单数的数量多。 C思维拓展 14．盒子里装有15个球，分别写着1~15各数。只摸出一个球，如果摸到是双数，小刚赢，如果摸到的是单数，小强赢。 ①这样约定公平吗？为什么？ ②小强一定会赢吗？为什么？ ③你能设计一个公平的规则吗？ 【答案】①不公平；双数小于单数，小强获胜的可能性大 ②见详解 ③见详解 【分析】①判断游戏是否公平，主要是看两人获胜的可能性是不是一样大，分别写出1~15中的双数和单数，如果单数和双数一样多，说明这样的约定公平，如果单数和双数不一样多，则游戏不公平； ②个数多的赢的可能性大，但不一定会赢，个数少的也可能会赢； ③只要获胜的可能性一样大，游戏就公平，据此解答即可。（答案不唯一） 【详解】①1~15中的双数有：2、4、6、8、10、12、14共7个；单数有：1、3、5、7、9、11、13、15共8个，7＜8，双数小于单数，小强获胜的可能性大写，所以游戏约定不公平； ②双数小于单数，只能说明小强获胜的可能性大些，但不能保证小强会赢； ③设计公平游戏如下：抓到1，2，3小刚赢，抓到4，5，6小强赢。 15．在五年级“跳棋争霸赛”中，为了确定谁先走，裁判员设计了一个方式：比赛双方背对背伸出手指（1－5），算出两人伸出的手指数之和，根据和是单数还是双数来确定场地。你认为这样做公平吗？为什么？ 【答案】不公平，理由见解析 【分析】确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 【详解】假设比赛双方分别为甲、乙两人，根据题意，先列举可能出现的所有结果： 其中和是单数的有12种情况，双数有13种情况，因为13≠12，所以游戏规则不公平。 16．在6张卡片上分别写上数字1、2、3、4、5、6，王鹏和李军利用这些卡片玩求和游戏，规则是：将卡片反扣在桌面，第一位随机摸取两张，算出其和后放回，第二位同样随机摸两张，算出其和后再放回，当两张卡片和小于7时算王鹏赢，大于或等于7时算李军赢。你觉得这个游戏公平吗？说说你的理由。 【答案】不公平；理由见详解 【分析】分别计算出所有搭配的可能后计算和的大小后即可判断。 【详解】不公平，理由如下： 6张卡片摸取2张，共有15 种搭配，分别是： ，，，，，，，，，，，，，，。 其中和小于7的有6种搭配，和大于或等于7的有9种搭配，李军赢的可能性大，所以这个游戏不公平。 17．爸爸在三个盒子上贴上标签，盒子里分别装着两个红球、两个白球和一红一白两个球，但是标签全贴错了，爸爸要求曲米只能从其中一个盒子里摸出一个球，然后就说出三个盒子里分别装的是什么颜色的球。曲米该怎样摸球？如何判断？ 【答案】见详解 【分析】三个盒子上的标签全贴错了，从标有一红一白两个球的盒子里摸出一个球，摸出的球可能是红球，也可能是白球，如果摸出的球是红球，那么这个盒子里装的是两个红球；如果摸出的球是白球，那么这个盒子里装的是两个白球，最后根据“标签全贴错了”确定剩下两个盒子里的球即可。 【详解】分析可知，曲米从贴有“一红一白”标签的盒子里摸出一个球，如果摸出的球是红球，那么这个盒子里装的是两个红球，贴有“两个白球”标签的盒子里装的是一红一白，贴有“两个红球”标签的盒子里装的是两个白球；如果摸出的球是白球，那么这个盒子里装的是两个白球，贴有“两个红球”标签的盒子里装的是一红一白，贴有“两个白球”标签的盒子里装的是两个红球。（答案不唯一） 【点睛】根据从“一红一白”标签的盒子里摸出的球确定该盒子里装的球的颜色，并结合“标签全贴错了”推断出其它两个盒子里的球是解答题目的关键。 18．选出下面的扑克牌，将它们反扣在桌面上。每次摸2张，然后放回，另一个人再摸。2张牌的点数和大于15，甲赢；小于15，乙赢。这个游戏规则公平吗？为什么？    【答案】公平；见详解 【分析】任意摸出两张，计算出点数之和。再来分析一下点数之和大于15与点数之和小于15的情况分别有几种，如果点数之和大于15与点数之和小于15的情况种数相同，那么可能性就是一样大的，游戏就公平，反之则不公平。 【详解】任意摸出两张，点数的和有： 9＋9＝18 9＋6＝15 6＋6＝12 答：这个游戏规则公平。因为点数之和大于15的有一种，点数之和小于15的也有一种。 【点睛】要想游戏规则公平，可能出现的每种情况个数必须相同。 19．三个纸箱，放大小、形状相同的小球。把三个纸箱里的球一起放进一个大纸箱里，摸到红球东东赢，摸到黄球莎莎赢，摸到绿球灵灵赢。这个游戏公平吗？为什么？    【答案】公平；理由见详解 【分析】根据题意，把三个纸箱里的球一起放进一个大纸箱里，则红球有：1＋3＋2＝6（个），黄球有：2＋1＋3＝6（个），绿球有：3＋2＋1＝6（个），因为各种球的个数相等，所以摸到各种球的可能性相等，游戏规则公平。 【详解】红球有： 1＋3＋2 ＝4＋2 ＝6（个） 黄球有： 2＋1＋3 ＝3＋3 ＝6（个） 绿球有： 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 6＝6＝6 答：几种球个数相等，游戏规则公平。 【点睛】解决本题的关键是得到相应的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平。 20．与同桌玩“石头、剪子、布”游戏，总共玩40次。 （1）记录并统计游戏结果。 结果 输 赢 平 次数/次 （2）这个游戏究竟公平不公平呢？我们可以这样想。 我如果出“石头”，结果会有（    ）种可能。因为： 如果同桌出“石头”，平； 如果同桌出“布”，输； 如果同桌出“剪子”，赢。 同样，我如果出“布”，结果有（    ）种可能；如果出“剪子”，结果有（    ）种可能。 因此，结果一共有（    ）种可能，每一种结果出现的可能性相等，因此，游戏是公平的。 【答案】（1）见详解；（2）3；3；3；3 【分析】（1）和同桌玩40次“石头、剪子、布”游戏，如实记录并填表即可。 （2）不论我出什么，同桌只有3种出法，对应3种输赢结果，那么每种结果的可能性是一样的，那么游戏是公平的。 【详解】（1）如表： 记录并统计游戏结果。 结果 输 赢 平 次数/次 13 14 13 （答案不唯一） （2）我如果出“石头”，结果会有3种可能。因为： 如果同桌出“石头”，平； 如果同桌出“布”，输； 如果同桌出“剪子”，赢。 同样，我如果出“布”，结果有3种可能；如果出“剪子”，结果有3种可能。 因此，结果一共有3种可能，每一种结果出现的可能性相等，因此，游戏是公平的。 【点睛】本题考查了可能性，掌握可能性大小的判断方法是解题的关键。 第 1 页 共 28 页 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