单元复习讲义：专题05 用字母表示数和数量关系（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（人教版·新教材）

该小学数学讲义通过考点分级梳理构建“用字母表示数和数量关系”的完整知识体系，运用表格归纳数量关系模型、运算定律及计算公式，结合书写规范重点标注和易错区分示例，清晰呈现从基础概念到稍复杂关系的递进脉络。 讲义亮点在于“典例+变式训练”的分层设计，如用字母表示稍复杂数量关系时结合“学校买足球”等生活情境，数与形题型通过图形规律归纳培养推理意识，助力学生发展抽象能力与模型意识，同时提升练习覆盖不同难度，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题05 用字母表示数和数量关系 内容导航 考点梳理 1 考点一、用字母表示数 1 考点二、用字母表示数量关系 2 考点三、用字母表示运算定律及计算公式 2 考点四、用字母表示稍复杂的数量关系 3 考点五、利用等式的性质求未知数 3 考点六、含有字母式子的化简与求值 4 考点七、数与形（归纳递推） 4 例题讲解 5 题型一、用字母表示数 5 题型二、用字母表示数量关系 6 题型三、用字母表示运算定律及计算公式 7 题型四、用字母表示稍复杂的数量关系 8 题型五、利用等式的性质求未知数 9 题型六、含有字母式子的化简与求值 11 题型七、数与形（归纳递推） 13 提升练习 15 考点梳理 考点一、用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 考点二、用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 考点三、用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 考点四、用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 考点五、利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 考点六、含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 考点七、数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 例题讲解 题型一、用字母表示数 【典例例题】妈妈买了x个梨，吃了4个，还剩( )个。 【答案】x－4 【分析】用总数减去吃了的个数，可得剩下的个数，据此解答。 【详解】总数x个，吃了4个，还剩：（x－4）个 妈妈买了x个梨，吃了4个，还剩（x－4）个。 举一反三 【变式训练1】a×7和7×a常可以写成7·a或7a。( ) 【答案】 √ 【分析】根据用字母表示数的书写规则：数字与字母相乘，中间的乘号可以记作“”，也可以省略不写。在省略乘号时，一般把数字写在字母前面。 【详解】根据分析可知： a×7和7×a常可以写成7·a或7a。 故答案为：√ 【变式训练2】我们每76年才能见到一次的哈雷彗星，在公元x年出现后，再一次出现将是公元( )年。 【答案】x＋76 【分析】用x加76即可求出再一次出现的时间。 【详解】x＋76＝（x＋76）年 所以再一次出现将是公元（x＋76）年。 【变式训练3】省略乘号，写出下面各式。 7×b＝    c×18＝    m×n＝    10×a－6＝ x×y＝    a×a＝     x×5＝     8×d＋3＝ 【答案】7b；18c；mn；10a－6 xy；；5x；8d＋3 【详解】略 题型二、用字母表示数量关系 【典例例题】被誉为“江南第一古村”的会同高椅古村，村内梅园的古建筑数量比五通庙的古建筑3倍还多5栋，如果五通庙有a栋古建筑，那么梅园的古建筑是( )栋。 【答案】＋5 【分析】根据题目中给出的数量关系，用含字母a的式子表示出梅园的古建筑数量，求一个数的几倍是多少，用乘法，五通庙古建筑数量乘3加多的5栋，求出梅园的古建筑的数量。 【详解】因为梅园的古建筑数量比五通庙古建筑数量的3倍还多5栋，所以梅园的古建筑数量为（＋5）栋。 举一反三 【变式训练1】姐姐今年x岁，妹妹今年（x－4）岁，3年后妹妹比姐姐小（    ）岁。 A．4 B．7 C．1 D．3 【答案】A 【分析】首先根据今年姐姐和妹妹的年龄表达式得出今年的年龄差，然后根据年龄差不变的性质，确定年后的年龄差。 【详解】年龄差不变。今年姐姐x岁，妹妹（x－4）岁，今年妹妹就比姐姐小4岁。3年后姐姐和妹妹都会再多长3岁，两人相差岁数不会改变，所以3年后依旧相差4岁。 【变式训练2】李叔叔买了4包大碗面，每包a元，他付给售货员100元，那么100－4a表示( )。 【答案】应找回的钱数 【分析】先根据“总价＝单价×数量”，求出4包大碗面的总花费，再用付给售货员的100元减去总花费，得到的就是应找回的钱数。 【详解】4包的总价为4×a＝4a（元） 付给售货员100元，所以100－4a表示付出的钱减去买面的总花费，也就是应找回的钱数。 【变式训练3】小红看一本100页的书，她每天看5页，看了x天后，一共看了( )页，还剩( )页。 【答案】 5x 100－5x 【分析】用每天看的页数乘看的天数即可表示出一共看的页数，最后用总页数减去看了的页数即可表示出还剩的页数。 【详解】小红看一本100页的书，她每天看5页，看了x天后，一共看了5x页，还剩（100－5x）页。 题型三、用字母表示运算定律及计算公式 【典例例题】一个正方形的边长是a，如果它的边长乘3，那么这个正方形的面积是( )。 【答案】9a2 【分析】用边长×3算出新的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长计算。 【详解】a×3＝3a 3a×3a＝3×a×3×a＝（3×3）×（a×a）＝9×a2＝9a2 一个正方形的边长是a，如果它的边长乘3，那么这个正方形的面积是9a2。 举一反三 【变式训练1】正方形的边长为a厘米，当边长减少2厘米时，它的周长是( )厘米。 【答案】4a－8 【分析】先把新边长表示为（a－2）厘米，再根据正方形周长公式C＝4×边长，将新边长代入周长公式中，最后利用乘法分配律化简即可。 【详解】4×（a－2） ＝4a－4×2 ＝（4a－8）厘米 所以，它的周长是（4a－8）厘米。 【变式训练2】根据运算律，在横线上填适当的数或字母。 (1)（______＋______）＋______。 (2)______＝（______＋______）×16。 【答案】(1) 7.3 2.7 (2) 16 【分析】（1）利用加法交换律a＋b＝b＋a和加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行填空； （2）逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行填空。 【详解】（1）分析可知，。 （2）分析可知，＝。 【变式训练3】一种玩具降价x元后是9元，原价是( )。一个正方形的边长是a厘米，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 （x＋9） 元/（9＋x） 元 4a 【分析】原价＝降价的金额＋降价后的现价，因此原价是（x＋9） 元。正方形周长＝边长×4，边长是a厘米，所以周长是4×a＝4a厘米。正方形面积＝边长×边长，边长是a厘米，代入数据计算即可。 【详解】4×a＝4a（厘米） a×a＝（平方厘米） 一种玩具降价x元后是9元，原价是（x＋9） 元。一个正方形的边长是a厘米，它的周长是4a厘米，面积是平方厘米。 题型四、用字母表示稍复杂的数量关系 【典例例题】小英有铅笔支，小强比小英的3倍少6支，他们一共有( )支铅笔。 【答案】 【分析】小英有铅笔支，小强比小英的3倍少6支，即小强有支铅笔。用小英有的铅笔数量加上小强有的铅笔数量即可。 【详解】 支 即他们一共有支铅笔。 小英有铅笔a支，小强比小英的3倍少6支，他们一共有支铅笔。 举一反三 【变式训练1】李阿姨买了a千克萝卜，每千克3.2元，又买了b千克菠菜，每千克7.8元，那么7.8b－3.2a表示（    ）。 A．每千克菠菜比每千克萝卜贵多少元 B．菠菜比萝卜重多少千克 C．买萝卜和菠菜一共需要多少元 D．买菠菜比买萝卜多付多少元 【答案】D 【分析】单价×数量＝总价，3.2a是买萝卜的总价，7.8b是买菠菜的总价，7.8b－3.2a是用菠菜的总价减去萝卜的总价，代表买菠菜比买萝卜多付的钱数。 【详解】7.8b－3.2a表示菠菜总价减去萝卜总价，即买菠菜比买萝卜多付多少元。 【变式训练2】每千克苹果x元，每千克梨y元，买3千克苹果和1千克梨共( )元。 【答案】3x＋y 【分析】先用苹果单价乘苹果数量，求出苹果总价，再用苹果总价加梨的总价，即可求出购买的苹果和梨一共的钱数。字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写，书写时，把数字放在前面，字母放在后面。 【详解】3×x＋y＝3x＋y 每千克苹果x元，每千克梨y元，买3千克苹果和1千克梨共（3x＋y）元。 【变式训练3】小明原来有36张卡片，给了小强x张后，小强的卡片张数是小明的2倍，小强原来有( )张卡片。 【答案】72－3x 【分析】小明原来有 36 张卡片，给了小强x张后，小明剩下的卡片数是张，此时小强的卡片数是小明的2倍，所以小强现在有张； 小强原来的卡片数是他现在的数量减去小明给的x张，所以小强原来的数量是张。 【详解】小明原来有36张卡片，给了小强x张后，小强的卡片张数是小明的2倍，小强原来有张卡片。 题型五、利用等式的性质求未知数 【典例例题】当时，( )。 【答案】36 【分析】根据等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，算出等式3＋x＝12中x的值，再将得数代入4x中计算即可。 【详解】3＋x＝12 解：3＋x－3＝12－3 x＝9 将x＝9代入4x， 4x＝4×9＝36 举一反三 【变式训练1】如果x－10＝15，那么2x＋5＝( )。 【答案】55 【分析】根据等式的性质，方程两边同时加上10，求出x的值；然后将x的值代入式子2x＋5中，按照先乘除后加减的运算顺序计算出结果。 【详解】x－10＝15 解：x－10＋10＝15＋10 x＝25 把x＝25代入2x＋5中，可得： 2x＋5 ＝2×25＋5 ＝50＋5 ＝55 【变式训练2】如果a＝b＋6，那么a＋3＝( )，a－b＝( )。 【答案】 b＋9 6 【分析】根据等式的性质1，等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 【详解】第1空，a＝b＋6 a＋3＝b＋6＋3 a＋3＝b＋9 第2空，a－b＝b＋6－b a－b＝6 【变式训练3】如果2x÷3＝6，那么7x－5＋2x＝( )。 【答案】76 【分析】先根据2x÷3＝6，求出x的值，再把x的值代入7x－5＋2x计算出结果即可解答。 【详解】2x÷3＝6 解：2x÷3×3＝6×3 2x＝18 2x÷2＝18÷2 x＝9 7x－5＋2x ＝7×9－5＋2×9 ＝63－5＋18 ＝58＋18 ＝76 题型六、含有字母式子的化简与求值 【典例例题】云安区高村镇的茶油鸡，每只售价38元。如果买a只茶油鸡，需要( )元；当a＝8时，小明给了350元，还剩( )元。 【答案】 【分析】根据单价×数量＝总价，求出a只茶叶鸡的价格；再把a＝8时代入计算出实际应付金额。最后根据付的钱数－应付钱数＝剩下钱数。 【详解】如果买a只茶油鸡，需要（元）； 当a＝8时， （元） 举一反三 【变式训练1】水果店的苹果比梨的3倍还多16kg，如果梨有xkg，那么苹果有( )kg，当x＝35时，苹果有( )kg，苹果和梨一共有( )kg。 【答案】 【分析】苹果比梨的3倍还多16kg，苹果的数量＝梨的数量×3＋16，据此用含x的算式表示苹果的数量，然后再将x＝35代入算式，计算出苹果的重量，然后苹果加上梨的重量即为总重量。 【详解】x×3＋16＝3x＋16 当x＝35时： 3×35＋16 ＝105＋16 ＝121（kg） 121＋35＝156（kg） 【变式训练2】某校五年级的学生参加植树活动，男生有x人，女生人数是男生的1.2倍，女生有( )人，男女生一共有( )人。 【答案】 【分析】因为女生人数是男生人数的1.2倍，男生人数为x，所以求女生人数直接用男生人数乘以倍数即可。 因为总人数是男生人数和女生人数的和，所以将求得的女生人数与男生人数相加，再合并同类项就能得到总人数的表达式。 【详解】1.2×x＝1.2x，女生有1.2×x＝1.2x人； x＋1.2x＝2.2x，男女生一共有x＋1.2x＝2.2x人。 【变式训练3】苹果树和梨树各种了a行，苹果树每行13棵，梨树每行15棵，用含有字母的式子表示苹果树和梨树的总棵数为( )棵，当a＝9时，苹果树比梨树少了( )棵。 【答案】 28a 18 【分析】每行的棵数×行数＝总棵数，苹果树每行13棵，有a行，因此苹果树的总棵数为13a棵；梨树每行15棵，有a行，因此梨树的总棵数为15a棵。苹果树和梨树的总棵数是两者之和，即13a＋15a＝28a； 苹果树比梨树少的棵数为梨树总棵数减去苹果树总棵数，即15a－13a＝2a，将a＝9代入2a中计算出结果即可。 【详解】13a＋15a＝28a（棵） 15a－13a＝2a（棵） 当a＝9时，2a＝2×9＝18（棵） 因此，苹果树和梨树各种了a行，苹果树每行13棵，梨树每行15棵，用含有字母的式子表示苹果树和梨树的总棵数为28a棵，当a＝9时，苹果树比梨树少了18棵。 题型七、数与形（归纳递推） 【典例例题】亮亮用小棒按照如图所示的规律摆图形，图6需要( )根小棒，图n需要( )根小棒。 【答案】 21 3n＋3 【分析】先数出前三个图形的小棒数量，图1有6根，图2有9根，图3有12根；再算相邻两个图形的小棒数差，9－6＝3，12－9＝3，得出规律：后一个图形总是比前一个多3根小棒。根据这个规律推导第n个图形的小棒数，第1个图形是6根，第n个图形和第1个图形相比，中间多了（n－1）个间隔，每个间隔都要增加3根小棒，所以增加的小棒总数就是3×（n－1）根，那么第n个图形的小棒数就可以写成基础数量6根加上增加的数量，也就是6＋3×（n－1），化简得出第n个图形的小棒数可以用3n＋3来表示；最后计算图6的小棒数，把n＝6代入式子，得出结果。 【详解】图1小棒数：6根 图2小棒数：9根 图3小棒数：12根 相邻数量差：9－6＝3，12－9＝3，得出每增加1个图形，小棒数增加3根。 第n个图形比图1多了（n－1）个3根，因此： 小棒数＝6＋3（n－1） ＝6＋3n－3 ＝（3n＋3）根 将n＝6代入： 3×6＋3 ＝18＋3 ＝21（根） 所以图6需要21根小棒，图n需要（3n＋3）根小棒。 举一反三 【变式训练1】按下图方式拼搭，第10个图形需要( )个三角形；第n个图形需要( )个三角形。 【答案】 21 / 【分析】观察相邻序号的图形三角形数量的差值，发现图形规律，利用规律推导第个图形的三角形数量表达式，再将代入公式，计算第10个图形的三角形数量。 【详解】前三个图形中三角形个数分别为：个，个，个 相邻两个图形中三角形的数量相差2，从左向右，三角形个数可表示为：，，以此类推 第n个图形，三角形的数量为，化简得： 计算第10个图形中三角形的数量，把n10代入得： 由上可知，第10个图形需要个三角形，第n个图形需要个三角形。 【变式训练2】如图所示，用小木棒摆正方形。 按这样的规律，摆8个正方形需要小木棒( )根，摆n个正方形需要小木棒( )根。（用含字母“n”的式子表示） 【答案】 25 （3n＋1）/（1＋3n） 【分析】看图可知，1个正方形需要4根小木棒，4＝1×3＋1；2个正方形需要7根小木棒，7＝2×3＋1；3个正方形需要10根小木棒，10＝3×3＋1……由此可知，小木棒的根数＝正方形的个数×3＋1。 【详解】3×8＋1 ＝24＋1 ＝25（根）； n×3＋1＝（3n＋1）（根） 摆8个正方形需要小木棒25根，摆n个正方形需要小木棒（3n＋1）根。 【变式训练3】如图，用棋子摆图案，摆第1个图用6枚棋子，摆第2个图用9枚棋子，摆第3个图用12枚棋子，……，按这样的规律摆下去，摆第14个图用( )枚棋子，摆第n个图用( )枚棋子。（第2个空用含n的式子表示） 【答案】 45 3＋3n 【分析】由图可知，摆第1个图用6枚棋子，6＝3＋3×1； 摆第2个图用9枚棋子，9＝3＋3×2； 摆第3个图用12枚棋子，12＝3＋3×3； 由此发现规律，摆第n个图需要的棋子数量为：（3＋3n）枚。 将n＝14代入表达式中计算出结果即可。 【详解】分析可知，摆第n个图用（3＋3n）枚棋子。 当n＝14时， 3＋3n ＝3＋3×14 ＝3＋42 ＝45 摆第14个图用45枚棋子。 提升练习 1．聪聪今年a岁，他妈妈今年b岁，6年后，聪聪与妈妈相差（    ）岁。 A．6 B．a－b C．b－a D．b－a＋6 【答案】C 【分析】本题要理解“年龄差不变”这一性质，即两个人的年龄差不会随着时间的推移而改变。无论经过多少年，两人增加的岁数相同，因此相差的岁数始终等于当前的年龄差。根据题意，妈妈是长辈，年龄应大于聪聪，故年龄差应用妈妈的年龄减去聪聪的年龄。 【详解】两人今年的年龄差为：岁。 6年后，聪聪的年龄是 岁，妈妈的年龄是 岁。 6年后两人的年龄差为： （岁） 所以，6年后聪聪与妈妈相差 岁。 2．与结果相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘法的意义，求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 【详解】 3．合唱团女生有a人，比男生的3倍少5人，男生有（    ）人。 A．3a－5 B．a÷3＋5 C．（a＋5）÷3 D．a÷3－5 【答案】C 【分析】已知女生人数求男生人数，需运用逆运算进行推导。根据题意“女生比男生的倍少人”，可知女生人数等于男生人数乘再减，反之求男生人数需用女生人数先加再除以。 【详解】合唱团女生有人，比男生的3倍少5人， 男生人数的表达式为，与选项C相符。 4．当a＝3，b＝4时，a＋2b＝（    ）。 A．27 B．20 C．11 D．54 【答案】C 【分析】2b表示2×b。把a＝3，b＝4代入算式按运算顺序计算即可。 【详解】当a＝3，b＝4时 a＋2b ＝3＋2×4 ＝3＋8 ＝11 5．已知3x＝19，那么9x＝( )。 【答案】57 【分析】根据等式的性质2，将3x＝19左右两边同时乘3即可求出9x的结果。 【详解】3x＝19 解：3x×3＝19×3 9x＝57 所以已知3x＝19，那么9x＝57。 6．如果2.8＋x＝5.9，那么2x＋5.6＝( )。 【答案】11.8 【分析】把2.8＋x＝5.9的两边先减去2.8，求出x的值，再把x的值代入2x＋5.6计算即可解答。 【详解】2.8＋x＝5.9 解：2.8＋x－2.8＝5.9－2.8 x＝3.1 2x＋5.6 ＝3.1×2＋5.6 ＝6.2＋5.6 ＝11.8 7．如果8x＝72，那么0.81x－5＝( )。 【答案】2.29 【分析】已知等式8x ＝ 72，根据等式的基本性质2，方程两边同时除以8，求出x的值。把求出的x的值代入0.81x－5中，计算即可。 【详解】8x＝72 解：8x÷8＝72÷8 x＝9 把x＝9代入0.81x－5 0.81×9－5 ＝7.29－5 ＝2.29 所以0.81x－5＝2.29。 8．研究人员发现，在15℃～30℃之间某种蝉每分钟的鸣叫次数n与环境温度t（单位为：℃）的近似关系为：n＝8（t－15）。当环境温度是29℃时，这种蝉每分钟叫( )次。 【答案】112 【分析】当环境温度是29℃时，即t＝29，把t＝29代入关系式n＝8（t－15），计算即可求解。 【详解】把t＝29代入关系式n＝8（t－15），得： n＝8×（29－15） ＝8×14 ＝112（次） 9．高铁一等座票价m元，二等座票价比一等座便宜45元。 (1)二等座票价：( )元。 (2)买2张一等座和1张二等座一共( )元。 【答案】(1)m－45 (2)3m－45 【分析】（1）根据题意，用一等座票价减去45即可求出二等座票价。 （2）用1张一等座票价乘2求出2张一等座票价，再加上1张二等座票价即可求出总价。 【详解】（1）二等座票价：（m－45）元。 （2）2m＋m－45＝（3m－45）元 买2张一等座和1张二等座一共（3m－45）元。 10．孝义的特色美食丰富，有火烧、黄米油糕等。一个火烧的价格是a元，一盒黄米油糕的价格是b元。 (1)买3个火烧一共要花( )元。 (2)算式表示( )。 【答案】(1)3a (2)两个火烧和一盒黄米油糕一共多少元 【分析】（1）根据总价＝数量×单价，单价是a元，数量是3个，将数据代入即可解答。 （2）2a＋b中的“2a”表示两个火烧的价钱，b表示一盒黄米油糕的价格，二者相加求和表示一共多少元。 【详解】（1）a×3＝3a（元） 买3个火烧一共要花3a元。 （2）算式表示两个火烧和一盒黄米油糕一共多少元。 11．学校无人机社团有女生人，男生人数是女生的5倍，学校无人机社团的总人数是( )人。 【答案】6a 【分析】由“男生人数是女生的5倍”，得：女生人数×5＝男生人数，女生人数＋男生人数＝总人数。 【详解】a＋a×5 ＝a＋5a ＝6a 12．国画宣纸常用“刀”作计量单位，1刀＝100米，一款宣纸每刀售价为65元，买a刀需要( )元。 【答案】 【分析】根据“总价＝单价×数量”计算，本题中的单价是每刀65元，数量是a刀。 【详解】65×a＝65a（元） 13．实验小学去丹霞山研学，男生有m人，比女生少8人，女生有( )人；一共有( )人。 【答案】 m＋8 2m＋8 【分析】男生人数比女生少人，说明女生人数比男生多人；总人数＝男生人数＋女生人数 【详解】男生是人，女生人数是； 因此，女生有人；一共有人。 14．如图，一张方桌能坐4人，2张方桌拼在一起能坐6人，10张方桌拼在一起能坐( )人。n张桌子能坐( )人。 【答案】 22 2n＋2 【分析】根据题意： 一张桌子能坐4人， 2张方桌拼在一起就是在一张桌子的基础上上下增加2人，左右坐的人数不变，也就是能坐（2×2＋2）人； 3张方桌拼在一起就是在2张桌子的基础上下增加2人，也就是能坐（2×3＋2）人； 4张方桌拼在一起就是在3张桌子的基础上增加2人，也就是能坐（2×4＋2）人； …… 10张方桌拼在一起能坐（2×10＋2）人； n张方桌拼在一起能坐（2n＋2）人； 【详解】2×10＋2 ＝20＋2 ＝22（人） 则10张方桌拼在一起能坐22人。n张桌子能坐（2n＋2）人。 15．李师傅每天加工a个零件，张师傅每天加工的零件个数比李师傅的3倍多12个，张师傅每天加工( )个零件；如果a＝210，那么张师傅每天加工( )个零件。 【答案】 【分析】比一个数的几倍多几＝这个数×倍数＋多出来的数；把数值代入含有字母的式子，按照先算乘法再算加法的四则运算顺序计算。 【详解】李师傅每天加工个，它的倍就是，再多个，式子为： 把代入 （个） 16．当a＝( )时，：当a＝( )时，。（a不为0） 【答案】 2 9 【分析】表示两个a相乘，即a×a；2a表示两个a相加，即2×a。在这个等式里a表示的数相等，要使a×a＝2×a，那么只有当a等于2时左右两边相等，据此解答。要使a×a＝9×a，那么只有当a等于9时左右两边相等，据此解答。 【详解】当a＝2时， ＝a×a＝2×2＝4 2a＝2×a＝2×2＝4 当a＝9时， ＝a×a＝9×9＝81 9a＝9×a＝9×9＝81 17．一本书300页，每天读n页，7天后剩( )页；若n＝30，剩( )页。 【答案】 300－7n 90 【分析】首先计算7天一共读的页数：每天读n页，7天读了7×n＝7n页。总页数是300页，剩下的页数＝总页数－已读页数，所以剩下300−7n页；当n＝30时，把n＝30代入上式计算。 【详解】根据分析： 一本书300页，每天读n页，7天后剩（300−7n）页； 当n＝30时 300－7×30 ＝300－210 ＝90（页） 若n＝30，剩90页。 18．一个长方形的长是a厘米，宽比长短2厘米，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4a−4 a2－2a 【分析】宽比长短2厘米，用长－2。求出长方形的宽，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，据此解答。 【详解】宽：（a－2）厘米 周长：（a＋a－2）×2 ＝（2a－2）×2 ＝（4a－4）厘米 面积：a×（a－2）＝（a2－2a）平方厘米 19．省略乘号，写出下面各式。 5×a＝         b×1＝         a×x＝         d×d＝ s×7＝         c×6＝         9×c＝         a×0＝ 【答案】5a；b；ax；d2   7s；6c；9c；0 【解析】略 20．一辆汽车每小时行驶a千米。某天，这辆汽车上午行驶4.5小时，下午行驶5.5小时。 (1)用含有字母的式子表示这天行驶的路程。 (2)当a＝80时，这辆汽车今天行驶了多少千米？ 【答案】(1)10a千米 (2)800千米 【分析】（1）根据路程＝速度×时间分别算出上午和下午行驶的路程，再相加即可得到这天行驶的路程； （2）把a＝80代入（1）的式子中求值即可。 【详解】（1）4.5×a＋5.5×a ＝4.5a＋5.5a ＝10a（千米） 答：用含有字母的式子表示这天行驶的路程是10a千米。 （2）当a＝80时，10a＝10×80＝800（千米） 答：当a＝80时，这辆汽车今天行驶了800千米。 21．甲、乙两队合修一段5000米长的公路，已经修了10天，甲队每天修200米，乙队每天修x米。 (1)还剩下多少米没有修？（用含有字母的式子表示） (2)当x＝180时，还剩下多少米没有修？ 【答案】(1)（3000－10x）米 (2)1200米 【分析】（1）先求出两队每天合修的长度（甲队每天修的长度＋乙队每天修的长度），再乘合修的天数，得到已修的长度，最后用总长度减去已修的长度，即可求出还剩下多少米没有修。 （2）将x＝180代入（1）中求出的式子（3000−10x），计算即可解答。 【详解】（1）5000－（200×10＋10x） ＝5000－（2000＋10x） ＝5000－2000－10x ＝3000－10x 答：还剩下（3000－10x）米没有修。 （2）3000－10×180 ＝3000－1800 ＝1200（米） 答：还剩下1200米没有修。 22．下图是实验小学劳动基地种植西红柿和黄瓜的平面图，西红柿地是正方形。    （1）用含有字母的式子表示出西红柿地和黄瓜地的总周长和总面积。 （2）当m＝6时，求出西红柿地和黄瓜地的总面积是多少？ 【答案】（1）周长是（4m＋8）米；总面积是（m2＋4m）平方米 （2）60平方米 【分析】（1）西红柿地和黄瓜地是一块长方形，长是（m＋4）米，宽是m米，运用长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽进行解答即可； （2）把m＝6代入（1）式子中进行计算即可解答。 【详解】（1）总周长：（m＋4＋m）×2＝（2m＋4）×2＝（4m＋8）米 总面积：（m＋4）×m＝（m2＋4m）平方米 答：西红柿地和黄瓜地的总周长是（4m＋8）米；总面积是（m2＋4m）平方米。 （2）当m＝6时， m2＋4m ＝6×6＋4×6 ＝36＋24 ＝60（平方米） 答：西红柿地和黄瓜地的总面积是60平方米。 【点睛】此题需要学生熟练掌握用字母表示数和长方形的周长、面积计算公式。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 用字母表示数和数量关系 内容导航 考点梳理 1 考点一、用字母表示数 1 考点二、用字母表示数量关系 2 考点三、用字母表示运算定律及计算公式 2 考点四、用字母表示稍复杂的数量关系 3 考点五、利用等式的性质求未知数 3 考点六、含有字母式子的化简与求值 4 考点七、数与形（归纳递推） 4 例题讲解 5 题型一、用字母表示数 5 题型二、用字母表示数量关系 5 题型三、用字母表示运算定律及计算公式 5 题型四、用字母表示稍复杂的数量关系 6 题型五、利用等式的性质求未知数 6 题型六、含有字母式子的化简与求值 6 题型七、数与形（归纳递推） 7 提升练习 7 考点梳理 考点一、用字母表示数 1. 基本概念 在数学中，我们可以用字母（如 等）来表示数。字母可以表示任意数，也可以表示特定的数。 (1) 作用：使表达更简洁，具有普遍性。 (2) 取值范围：字母表示的数通常有一定的取值范围，需符合实际意义。例如，人的年龄 不能是负数，也不能超过合理寿命（如 ）。 2. 书写规范（重点） (1) 数字与字母相乘时，乘号可以记作“ ”或省略不写。 (2) 数字必须写在字母前面。 例： 写作 （不可写作 ）。 例： 写作 （1通常省略）。 (3) 字母与字母相乘，乘号可省略或记作“ ”。 例： 写作 或 。 (4) 注意：加号、减号、除号以及数字与数字之间的乘号不能省略。 3. 相同字母相乘 (1) 写作 ，读作“ 的平方”，表示2个 相乘。 (2) 易错区分： 1　 2　 3　 当 时， （相等）；当 时， （不相等）。 考点二、用字母表示数量关系 1. 常见数量关系模型 利用字母表示常见的加减关系，关键在于找准“标准量”和“比较量”。 关系类型 文字描述 字母表达式示例 加法关系 比 多 的数 减法关系 比 少 的数 倍数关系 的 倍 逆倍数 是某数的 倍，求某数 2. 实际应用示例 (1) 年龄问题：小明今年 岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年 岁。 (2) 购物问题：苹果每千克 元，买5千克应付 元。 (3) 剩余问题：一本故事书共 页，看了 天，每天看 页，还剩 页。 考点三、用字母表示运算定律及计算公式 1. 运算定律 使用字母表示运算定律，体现数学的通用性。 (1) 加法交换律： (2) 加法结合律： (3) 乘法交换律： (4) 乘法结合律： (5) 乘法分配律： 2. 平面图形计算公式 设正方形的边长为 ，长方形的长为 、宽为 。 图形 周长公式 ( ) 面积公式 ( ) 正方形 长方形 考点四、用字母表示稍复杂的数量关系 1. 两步及以上运算的关系 涉及混合运算时，需注意运算顺序，必要时使用括号。 (1) 示例1：学校买来 个足球，篮球的个数比足球的3倍少5个。 篮球个数： (2) 示例2：甲数是 ，乙数比甲数的2倍多 。 乙数： (3) 示例3：修路队第一天修了 米，第二天修的是第一天的2倍，两天共修多少米？ 总长度： 2. 含有两个未知量的简单关联 虽然本阶段主要侧重一个主变量，但需理解总量与分量的关系。 (1) 总路程 = 速度 时间：若速度为 ，时间为 ，则路程 。 (2) 工作总量 = 工作效率 工作时间：若效率为 ，时间为 ，则总量 。 考点五、利用等式的性质求未知数 1. 等式的性质 (1) 性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ， 。 (2) 性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 若 ，则 ；若 ，则 。 2. 简易求解思路（算术法过渡到代数法） (1) 对于 ，利用减法关系： 。 (2) 对于 ，利用除法关系： 。 (3) 对于 ，利用加法关系： 。 (4) 对于 ，利用乘法关系： 。 考点六、含有字母式子的化简与求值 1. 式子的化简 利用乘法分配律合并同类项。 (1) (2) (3) 示例： 1　 2　 3　 （注意： 等同于 ） 2. 式子求值步骤 (1) 写出原式：抄写含有字母的式子。 (2) 代入数值：将字母替换为具体的数字（注意添加乘号或括号）。 (3) 计算结果：按照运算顺序计算出最终数值，并带上单位（如果有）。 (4) 示例：当 时，求 的值。 解：当 时， 考点七、数与形（归纳递推） 1. 找规律方法 通过观察图形数量或数字序列的变化，找出第 个图形/数字与序号 之间的关系。 2. 常见模型 (1) 线性增长模型： 1　 摆三角形：1个三角形用3根小棒，2个连摆用5根，3个连摆用7根…… 2　 规律：每增加1个三角形，增加2根小棒。 3　 第 个图形所需小棒数： 。 (2) 正方形点阵： 1　 第1个图1个点，第2个图4个点，第3个图9个点…… 2　 规律：点数是序号的平方。 3　 第 个图的点数： 。 3. 解题策略 (1) 列表整理前几个数据。 (2) 观察相邻两项的差或倍数关系。 (3) 尝试用含 的式子表示，并验证前几项是否成立。 例题讲解 题型一、用字母表示数 【典例例题】妈妈买了x个梨，吃了4个，还剩( )个。 举一反三 【变式训练1】a×7和7×a常可以写成7·a或7a。( ) 【变式训练2】我们每76年才能见到一次的哈雷彗星，在公元x年出现后，再一次出现将是公元( )年。 【变式训练3】省略乘号，写出下面各式。 7×b＝    c×18＝    m×n＝    10×a－6＝ x×y＝    a×a＝     x×5＝     8×d＋3＝ 题型二、用字母表示数量关系 【典例例题】被誉为“江南第一古村”的会同高椅古村，村内梅园的古建筑数量比五通庙的古建筑3倍还多5栋，如果五通庙有a栋古建筑，那么梅园的古建筑是( )栋。 举一反三 【变式训练1】姐姐今年x岁，妹妹今年（x－4）岁，3年后妹妹比姐姐小（    ）岁。 A．4 B．7 C．1 D．3 【变式训练2】李叔叔买了4包大碗面，每包a元，他付给售货员100元，那么100－4a表示( )。 【变式训练3】小红看一本100页的书，她每天看5页，看了x天后，一共看了( )页，还剩( )页。 题型三、用字母表示运算定律及计算公式 【典例例题】一个正方形的边长是a，如果它的边长乘3，那么这个正方形的面积是( )。 举一反三 【变式训练1】正方形的边长为a厘米，当边长减少2厘米时，它的周长是( )厘米。 【变式训练2】根据运算律，在横线上填适当的数或字母。 (1)（______＋______）＋______。 (2)______＝（______＋______）×16。 【变式训练3】一种玩具降价x元后是9元，原价是( )。一个正方形的边长是a厘米，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 题型四、用字母表示稍复杂的数量关系 【典例例题】小英有铅笔支，小强比小英的3倍少6支，他们一共有( )支铅笔。 举一反三 【变式训练1】李阿姨买了a千克萝卜，每千克3.2元，又买了b千克菠菜，每千克7.8元，那么7.8b－3.2a表示（    ）。 A．每千克菠菜比每千克萝卜贵多少元 B．菠菜比萝卜重多少千克 C．买萝卜和菠菜一共需要多少元 D．买菠菜比买萝卜多付多少元 【变式训练2】每千克苹果x元，每千克梨y元，买3千克苹果和1千克梨共( )元。 【变式训练3】小明原来有36张卡片，给了小强x张后，小强的卡片张数是小明的2倍，小强原来有( )张卡片。 题型五、利用等式的性质求未知数 【典例例题】当时，( )。 举一反三 【变式训练1】如果x－10＝15，那么2x＋5＝( )。 【变式训练2】如果a＝b＋6，那么a＋3＝( )，a－b＝( )。 【变式训练3】如果2x÷3＝6，那么7x－5＋2x＝( )。 题型六、含有字母式子的化简与求值 【典例例题】云安区高村镇的茶油鸡，每只售价38元。如果买a只茶油鸡，需要( )元；当a＝8时，小明给了350元，还剩( )元。 举一反三 【变式训练1】水果店的苹果比梨的3倍还多16kg，如果梨有xkg，那么苹果有( )kg，当x＝35时，苹果有( )kg，苹果和梨一共有( )kg。 【变式训练2】某校五年级的学生参加植树活动，男生有x人，女生人数是男生的1.2倍，女生有( )人，男女生一共有( )人。 【变式训练3】苹果树和梨树各种了a行，苹果树每行13棵，梨树每行15棵，用含有字母的式子表示苹果树和梨树的总棵数为( )棵，当a＝9时，苹果树比梨树少了( )棵。 题型七、数与形（归纳递推） 【典例例题】亮亮用小棒按照如图所示的规律摆图形，图6需要( )根小棒，图n需要( )根小棒。 举一反三 【变式训练1】按下图方式拼搭，第10个图形需要( )个三角形；第n个图形需要( )个三角形。 【变式训练2】如图所示，用小木棒摆正方形。 按这样的规律，摆8个正方形需要小木棒( )根，摆n个正方形需要小木棒( )根。（用含字母“n”的式子表示） 【变式训练3】如图，用棋子摆图案，摆第1个图用6枚棋子，摆第2个图用9枚棋子，摆第3个图用12枚棋子，……，按这样的规律摆下去，摆第14个图用( )枚棋子，摆第n个图用( )枚棋子。（第2个空用含n的式子表示） 提升练习 1．聪聪今年a岁，他妈妈今年b岁，6年后，聪聪与妈妈相差（    ）岁。 A．6 B．a－b C．b－a D．b－a＋6 2．与结果相等的是（    ）。 A． B． C． D． 3．合唱团女生有a人，比男生的3倍少5人，男生有（    ）人。 A．3a－5 B．a÷3＋5 C．（a＋5）÷3 D．a÷3－5 4．当a＝3，b＝4时，a＋2b＝（    ）。 A．27 B．20 C．11 D．54 5．已知3x＝19，那么9x＝( )。 6．如果2.8＋x＝5.9，那么2x＋5.6＝( )。 7．如果8x＝72，那么0.81x－5＝( )。 8．研究人员发现，在15℃～30℃之间某种蝉每分钟的鸣叫次数n与环境温度t（单位为：℃）的近似关系为：n＝8（t－15）。当环境温度是29℃时，这种蝉每分钟叫( )次。 9．高铁一等座票价m元，二等座票价比一等座便宜45元。 (1)二等座票价：( )元。 (2)买2张一等座和1张二等座一共( )元。 10．孝义的特色美食丰富，有火烧、黄米油糕等。一个火烧的价格是a元，一盒黄米油糕的价格是b元。 (1)买3个火烧一共要花( )元。 (2)算式表示( )。 11．学校无人机社团有女生人，男生人数是女生的5倍，学校无人机社团的总人数是( )人。 12．国画宣纸常用“刀”作计量单位，1刀＝100米，一款宣纸每刀售价为65元，买a刀需要( )元。 13．实验小学去丹霞山研学，男生有m人，比女生少8人，女生有( )人；一共有( )人。 14．如图，一张方桌能坐4人，2张方桌拼在一起能坐6人，10张方桌拼在一起能坐( )人。n张桌子能坐( )人。 15．李师傅每天加工a个零件，张师傅每天加工的零件个数比李师傅的3倍多12个，张师傅每天加工( )个零件；如果a＝210，那么张师傅每天加工( )个零件。 16．当a＝( )时，：当a＝( )时，。（a不为0） 17．一本书300页，每天读n页，7天后剩( )页；若n＝30，剩( )页。 18．一个长方形的长是a厘米，宽比长短2厘米，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 19．省略乘号，写出下面各式。 5×a＝         b×1＝         a×x＝         d×d＝ s×7＝         c×6＝         9×c＝         a×0＝ 20．一辆汽车每小时行驶a千米。某天，这辆汽车上午行驶4.5小时，下午行驶5.5小时。 (1)用含有字母的式子表示这天行驶的路程。 (2)当a＝80时，这辆汽车今天行驶了多少千米？ 21．甲、乙两队合修一段5000米长的公路，已经修了10天，甲队每天修200米，乙队每天修x米。 (1)还剩下多少米没有修？（用含有字母的式子表示） (2)当x＝180时，还剩下多少米没有修？ 22．下图是实验小学劳动基地种植西红柿和黄瓜的平面图，西红柿地是正方形。    （1）用含有字母的式子表示出西红柿地和黄瓜地的总周长和总面积。 （2）当m＝6时，求出西红柿地和黄瓜地的总面积是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $