09几何法、空间向量法解决空间线面角问题 讲义——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间线面角核心考点，系统整合几何法（定义法、公式法）与空间向量法，按“知识梳理-回归教材-考点突破-跟踪练习”逻辑架构知识体系，通过教材例题深度解析、高考真题分类精讲及分层训练，帮助学生构建解题框架，突破空间角求解难点。 资料以“数学思维”与“空间观念”为导向，创新设计“定义理解-向量转化-综合应用”三阶训练，如正方体线面角问题同步采用几何作图与向量坐标法对比教学，培养学生逻辑推理与直观想象能力。设置基础巩固、能力提升、高考冲刺分层练习，配合即时反馈机制，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——09 几何法、空间向量法解决空间线面角问题 知识梳理 1、求解直线与平面所成角的方法 (1)定义法 ①作：在斜线上选取恰当的点，过该点向平面引垂线，作出所求角，其中确定垂足的位置是关键； ②证：证明所作的角为直线与平面所成的角； ③求：构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角． (2)公式法：sin θ＝(其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面α的距离，l为该点到斜足的距离，θ为斜线与平面α所成的角)． (3)向量法：sin θ＝|cos〈，n〉|＝(其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线与平面α所成的角)． 2、利用空间向量求线面角的解题步骤 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.2节例4】如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 【答案】 【分析】根据正方体性质作出直线和平面所成角的平面角，即可求得结果. 【详解】设正方体的棱长为a.易知，，，平面， 所以平面，又平面，所以.又易知，，平面，可得平面.因此为斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角，在中，，，，可得.所以.即直线和平面所成的角为30°. 【人教A版必修二习题8.6第13题】求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等. 【答案】证明见解析 【分析】写出命题，作出图形，找出线面角，通过全等三角形关系证明线面角相等. 【详解】已知：分别是a，b与所成的角.求证：. 证明：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面的同侧，且，连接AB和， 因为，所以四边形是平行四边形.所以，又，所以.设分别是平面的垂线的垂足，连接，则，在和中，因为.所以，所以. 【点睛】此题考查线面角的辨析，根据定义作出直线与平面所成角，结合全等三角形的性质证明角相等. 【人教A版必修二复习参考题8第13题】如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【详解】（1）证明：因为，所以，又底面ABC，所以，又，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC； （2）如图所示： 作，连接OM，因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，所以平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角，设，则，所以，又，所以，所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 【人教A版选择性必修一第1.4.2节38页练习第2题】PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过PC上一点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．能证明点O在∠APB的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值． 【详解】解：在PC上任取一点D并作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角． 过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB．△DEP≌△DFP，∴EP＝FP，∴△OEP≌△OFP，因为∠APC＝∠BPC＝60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE＝30°． 设PE＝1，∵∠OPE＝30°∴OP在直角△PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，则PD＝2． 在直角△DOP中，OP，PD＝2．则cos∠DPO． 即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是． 故选：C 【人教A版选择性必修一第1.4.2节41页练习第3题】如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，，．求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】 【解析】 【分析】构建以为原点，为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，写出、、的坐标，进而求面ABC的法向量，根据直线方向向量与平面法向量夹角与线面角的关系，结合空间向量夹角的坐标表示即可求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． 【详解】构建以为原点，为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示， ∴，，，则，，， 若是平面ABC的一个法向量，则，令，则， ∴，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为. 【人教A版选择性必修一习题1.4第10题】如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点． （1）求证：平面EFGHKL； （2）求与平面EFGHKL所成角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）建立空间直角坐标系，可由证得； （2）利用空间向量计算直线和法向量的夹角，进而得解. 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系， （1）， 则，所以，为平面EFGHKL的两条相交直线，所以平面EFGHKL； （2）由（1）知平面EFGHKL的法向量为， 因为， 则与平面EFGHKL所成角的余弦值为. 【人教A版选择性必修一复习参考题1第4题】如图，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为. （1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，，的坐标； （2）求与侧面所成的角. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】 【分析】取BC的中点为O,的中点为,连结,连结OA，以O为原点，为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】（1） 因为三棱柱为正三棱柱，取BC的中点为O, 取的中点为,连结,则⊥面ABC.连结OA，则OA⊥BC.以O为原点，为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由底面边长为a，侧棱长为，则所以点A，B，，的坐标为：； （2）由（1）知：. 设为面的一个法向量，则，即， 不妨设x=1,则.设与侧面所成的角为，则 ， 所以，即与侧面所成的角为. 【人教A版选择性必修一复习参考题1第14题】在正四棱锥中，O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且.求直线BC与平面PAC所成的角. 【答案】 【分析】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，求得平面PAC的一个法向量和直线BC的方向向量，结合线面夹角公式即可求解． 【详解】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，． 则，，．设平面PAC的法向量为，则 即，得，令，则,， 则．∴． ∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°． 考点梳理： 例．（2026·广东清远·二模）在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 【答案】 【分析】首先分别计算正三棱台上下底面的面积，再根据侧棱与底面所成角为求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算最终结果. 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积.设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高，侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径.过作于点，则， 可得四边形为矩形，故.∵ 在中，， ∴ .代入棱台体积公式， 得，∴ . 例．（2026·重庆·二模）如图，某几何体由半个圆锥(轴截面为SAB)和三棱锥组成．已知圆锥的底面半径为1，高，为直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，M为SC的中点． (1)若，证明：平面平面SAB； (2)在点C运动的过程中，记直线BM与底面ABC所成角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，然后利用线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由线面夹角的向量公式得，然后根据余弦函数性质求解即可． 【详解】（1）因为为直径，所以，又，所以，则，又为中点，所以，因为平面，平面，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面SAB． （2）以为原点，以所在直线为轴，过点O且垂直平面SAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则，， 所以，平面的一个法向量为， 则， 因为，所以，所以． 例．（2026·福建龙岩·一模）如图，在正四棱台中，，是的中点，其外接球的表面积为. (1)求证：平面； (2)若平面与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形得到线线平行，再结合线面平行的判定定理证得线面平行或建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用方向向量与法向量垂直证明线面平行； （2）先由外接球表面积求出半径，结合正四棱台性质列方程求出棱台的高，再通过建立空间直角坐标系求出相关点坐标、直线方向向量和平面法向量，最后利用线面角与向量夹角的关系计算出正弦值（或先确定平面与棱的交点位置，再结合空间向量求解线面角）. 【详解】（1）法一：（1）在正四棱台中，，是的中点，则，且，所以四边形是平行四边形.，又平面，平面，平面. 法二：（1）连接交于，连接交于，以为原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系. ，，，由正四棱台外接球的表面积为得其半径为2. 即为正四棱台外接球的球心.，在中，， 则，，，，，，， ，，，设平面的法向量， 则，取.，又平面，平面. （2）法一：延长交于，连接交于.由正四棱台性质，可知直线即为直线，连接交于，连接交于，因为，所以，.由外接球的表面积为，得其半径.设棱台的高为，球心在直线上.记球心到点的距离为，则球心到点的距离为.根据下底面顶点和上底面顶点到球心的距离均为，得到方程组：代入，，，得：解得，. 因此球心与点重合，棱台高.在中，.由棱台相似关系可得. 以为原点，分别以为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则， 取.设直线与平面所成角为.则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二：建系如（1）法二，设，则，， 又，，设平面的法向量，则， 取，则由得，即，， 设直线与平面所成角为，由（1）得平面的法向量， 则，所以直线与平面所成角的正弦值为. 法三：建系如（1）法二，延长交于点，连接交于，，而平面，平面，平面，平面，则点即为平面与的交点. ，是的中点.，，设直线与平面所成角为，由（1）得平面的法向量，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 跟踪练习： 1．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角，设正方体的棱长为，则，,所以，所以，则与平面所成的角的余弦值为. 2．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间坐标系，计算坐标，计算平面的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可． 【详解】取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系， 可得，，故，而，设平面的法向量为，根据，解得，. 故与平面所成角的大小为，故选A． 3、若正方体的棱长为1，是的中点，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】B [解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则令，得，故点到平面的距离.选. 4．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：如图，把PA，PB，PC放在正方体中，PA，PB，PC两两之间的夹角均为60°.建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则P(1，0，0)，C(0，0，1)，A(1，1，1)，B(0，1，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(－1，1，0)，设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则 令x＝1，则y＝1，z＝－1，所以n＝(1，1，－1)，所以cos〈，n〉＝＝＝－.设直线PC与平面PAB所成的角为θ，所以sinθ＝|cos〈，n〉|＝，所以cosθ＝＝.故选C. 5．（2026·湖北武汉·二模）在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面角的定义，转化为求的最大值，利用正弦定理求的最大值. 【详解】因为平面，所以为直线与平面所成的角， 中，，，外接圆的半径为，所以，不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动，所以的最大值为直径，，当时，的最小值为. 6．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，则底面，过点作于点，则底面，则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以，故， 所以，故该正四棱台的体积为. 7．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出． 【详解】如图所示： 不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得． 对于A，，，，A错误； 对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；对于C，，，，C错误；对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选：D． 8．（2026·安徽滁州·一模）已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用内切圆台的性质求出圆台高，建立空间直角坐标系后，结合线面角的定义，用点到平面距离除以线段长得到所求正弦值. 【详解】已知圆台上下底面半径分别为，，且圆台存在内切球，根据圆台内切球性质，母线长. 由勾股定理，圆台的高满足： 代入得，即.以为原点，以所在直线为轴，以过与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，平面即为（平面），点到平面的距离；，设直线与平面所成角为，由线面角定义可知 . 9. 设，分别是正方体的棱和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 [解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，， 则，，.设平面的一个法向量为， 故令，则，，所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．若正方形的边长为2，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 【答案】 【详解】在正方形中，．又∵侧面底面，平面平面， 平面，∴平面．∵，∴平面，平面故． 又平面，∴．∵侧面是正三角形且是的中点，∴． 平面，平面，，∴平面．∴是直线与平面所成的角．在正中，，∴，， 在中，，∴．∴． 11、 [2022·全国甲卷]如图，在四棱锥中， 底面，,, ,. （1）求证：. （2）求与平面所成的角的正弦值. [解析]（1）如图1，在四边形中，作于点，于点， 因为,,，所以四边形为等腰梯形， 所以，故，，所以，所以， 因为 平面， 平面，所以，又， 平面, 平面,所以 平面，又 平面，所以. （2） 如图2，以点为原点建立空间直角坐标系，，则,,， 则,,，设平面的一个法向量为， 则令,则,，所以， 则,所以与平面所成角的正弦值为. 12．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面. (1)证明：. (2)点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：取的中点，连接.因为为等边三角形，所以. 因为为等腰直角三角形，且，所以. 因为平面平面，所以平面，所以. （2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则. 设平面的法向量为，则即 令，则，所以.设直线与平面所成的角为， 则， 当且仅当时，等号成立.故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 13．（2026·湖南湘潭·二模）如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形． (1)证明：平面平面． (2)若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，由已知线面角求出线段长，进而求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）由是以为斜边的等腰直角三角形，得，由平面， 平面，得，而平面， 则平面，又平面，所以平面平面. （2）由（1）得，而平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由平面，得直线与平面所成的角为，且，则， 而，则，， ，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 14．（2026·河北衡水·一模）如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点. (1)证明：平面. (2)若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析; (2). 【分析】第一小问 分别连接EB1、FB1，利用平面EFB1与平面ACD面面平行推出线面平行，第二小问利用空间向量将线面角转化成求直线方向向量与平面法向量所成的角. 【小题1】证明：连接，. 因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱 所以，，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面.同理可得平面. 因为，所以平面平面.又平面，所以平面. 【小题2】解：取的中点，连接，，则，在正三棱柱中，则，，.以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，， 令，得.由，所以与平面所成角的正弦值.得与平面所成角的正弦值为. 15．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）法1，取中点，可得二面角的平面角为，进而求得，得解；法2，利用向量法求得平面和平面的法向量，进而求得点的坐标，计算得解. 【详解】（1）方法－：因为为直径，所以，由，得，，所以，所以， 在中，，，所以， 设点到平面的距离为，由，得. 方法二：取弧的中点，连接，则，以为坐标原点，方向为轴方向如图建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，，令，得，则点到平面的距离为. （3） 方法一：取中点，连接、，则，又平面，则，，故面，故，所以二面角的平面角为，即， 在等边中，，为等腰直角三角形得，在中，， 故所求线面角，. 方法二：设，设平面的法向量， ，令，得，底面的法向量，则，得，即，， 设直线与底面所成角为，则. 16．（2026·福建泉州·二模）如图，已知在四棱锥中，，，，． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若直线与平面所成角为，点在平面内的正投影是点，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，由线面平行的判断定理证明； （2）取中点，连接，设，可得，，由线面垂直的判定定理和性质可证； （3）方法一：过作，可证点与重合，即平面，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，根据平面，设，根据，可得，进而得解； 方法二：以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，其他同方法三；同方法一可证平面，取中点，连接，可证点在平面内的正投影必在直线上，过点作，垂足为，则点到平面的距离，利用等体积法求点到平面的距离，从而得解. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面. （2） 取中点，连接，设，因为， 所以四边形是正方形，所以. 连接，因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面，又平面，所以. （3）方法一： 由（2）可知平面，平面，所以平面平面. 过作，垂足为，又因为平面平面平面， 所以平面，所以在底面的射影在直线上， 所以直线与平面所成角是，所以， 因为正方形中，所以，又因为，所以， 所以，所以．所以点与重合，即平面. 以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，因为点在平面内的正投影是，所以平面． 设， 因为，所以，所以，所以，所以， 所以点到平面距离为， 方法二： 以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点在平面内的正投影是，所以平面． 因为，所以，所以， 所以，所以，所以点到平面距离为， 方法三：由（2）可知平面，平面，所以平面平面. 过作，垂足为，因为平面平面，且平面， 所以平面，所以在底面的射影在直线上， 所以直线与平面所成角是，所以， 因为正方形中，所以，又因为，所以， 所以，所以．所以点与重合，即平面. 取中点，连接，由题意知，则；同理题意知， 又，所以平面，因为平面，所以平面平面． 注意到平面平面，故点在平面内的正投影必在直线上， 过点作，垂足为，则点到平面的距离， 因为，所以，即， 所以.，设点到平面的距离， 因为，所以，即，解得. 17、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点． (1)求证：MN∥平面BCC1B1； (2)若AB⊥MN，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图，取BC的中点D，连接B1D，DN. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，AB＝A1B1.因为M，N分别为A1B1，AC的中点， 所以B1M∥AB，B1M＝AB，DN∥AB，DN＝AB，则B1M∥DN且B1M＝DN， 所以四边形B1MND为平行四边形，所以B1D∥MN. 又MN⊄平面BCC1B1，B1D⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1. (2)因为侧面BCC1B1为正方形，所以CB⊥BB1， 又因为平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，且平面BCC1B1∩平面ABB1A1＝BB1， 所以CB⊥平面ABB1A1，而AB⊂平面ABB1A1，所以CB⊥AB.由(1)得B1D∥MN， 因为AB⊥MN，所以AB⊥B1D，又B1D∩CB＝D，所以AB⊥平面BCC1B1， 又BB1⊂平面BCC1B1，所以AB⊥BB1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直， 故以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz， 因为AB＝BC＝BB1＝2，所以B(0，0，0)，N(1，1，0)，M(0，1，2)，A(0，2，0)， 所以＝(1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(0，－2，0)． 设平面BMN的法向量为n＝(x，y，z)，由得 令x＝2，得n＝(2，－2，1)．设直线AB与平面BMN所成的角为θ， 则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，所以直线AB与平面BMN所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——09 几何法、空间向量法解决空间线面角问题 知识梳理 1、求解直线与平面所成角的方法 (1)定义法 ①作：在斜线上选取恰当的点，过该点向平面引垂线，作出所求角，其中确定垂足的位置是关键； ②证：证明所作的角为直线与平面所成的角； ③求：构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角． (2)公式法：sin θ＝(其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面α的距离，l为该点到斜足的距离，θ为斜线与平面α所成的角)． (3)向量法：sin θ＝|cos〈，n〉|＝(其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线与平面α所成的角)． 2、利用空间向量求线面角的解题步骤 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.2节例4】如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 【人教A版必修二习题8.6第13题】求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等. 【人教A版必修二复习参考题8第13题】如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【人教A版选择性必修一第1.4.2节38页练习第2题】PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）． A. B. C. D. 【人教A版选择性必修一第1.4.2节41页练习第3题】如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，，．求直线OB与平面ABC所成角的正弦值． 【人教A版选择性必修一习题1.4第10题】如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点． （1）求证：平面EFGHKL； （2）求与平面EFGHKL所成角的余弦值． 【人教A版选择性必修一复习参考题1第4题】如图，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为. （1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，，的坐标； （2）求与侧面所成的角. 【人教A版选择性必修一复习参考题1第14题】在正四棱锥中，O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且.求直线BC与平面PAC所成的角. 考点梳理： 例．（2026·广东清远·二模）在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 例．（2026·重庆·二模）如图，某几何体由半个圆锥(轴截面为SAB)和三棱锥组成．已知圆锥的底面半径为1，高，为直径，C为底面圆周上异于A，B的动点，M为SC的中点． (1)若，证明：平面平面SAB； (2)在点C运动的过程中，记直线BM与底面ABC所成角为，求的取值范围． 例．（2026·福建龙岩·一模）如图，在正四棱台中，，是的中点，其外接球的表面积为. (1)求证：平面； (2)若平面与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 跟踪练习： 1．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 3、若正方体的棱长为1，是的中点，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 4．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·二模）在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 7．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 8．（2026·安徽滁州·一模）已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 9. 设，分别是正方体的棱和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 . 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．若正方形的边长为2，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 11、 [2022·全国甲卷]如图，在四棱锥中， 底面，,, ,. （1）求证：. （2）求与平面所成的角的正弦值. 12．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面. (1)证明：. (2)点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 13．（2026·湖南湘潭·二模）如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形． (1)证明：平面平面． (2)若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 14．（2026·河北衡水·一模）如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点. (1)证明：平面. (2)若为线段的中点，且，，求与平面所成角的正弦值. 15．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 16．（2026·福建泉州·二模）如图，已知在四棱锥中，，，，． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若直线与平面所成角为，点在平面内的正投影是点，求四棱锥的体积． 17、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为A1B1，AC的中点． (1)求证：MN∥平面BCC1B1； (2)若AB⊥MN，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $