07空间向量解决空间线面的平行与垂直讲义——2027届高考一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量解决空间直线、平面平行与垂直问题，以直线方向向量、平面法向量为基础，构建空间位置关系的向量表示体系，通过知识梳理、教材回归、考点分类（垂直、平行证明）、方法小结及跟踪练习的教学流程，帮助学生突破空间几何证明难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于回归教材例题（如三垂线定理证明）夯实基础，考点梳理聚焦高考高频题型，小结提炼向量法通法（如线面平行的向量证法）。通过引导学生用向量语言表达空间关系，培养数学思维与数学语言能力，配合分层跟踪练习，确保有限时间内提升空间想象与逻辑推理能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——02 空间几何体的表面积与体积 知识梳理 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或重合，则称此向量为直线的方向向量. （2）平面的法向量：直线 平面 ，取直线的方向向量，则向量叫作平面 的法向量. 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线，的方向向量分别为， 直线的方向向量为，平面的法向量为 平面，的法向量分别为， 回归教材： 【人教A版选择性必修一第1.1.2节例3】如图，m，n是平面内的两条相交直线．如果，，求证：． 分析：要证明，就是要证明l垂直于内的任意一条直线g（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题． 证明：在平面内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量，，，． 因为直线m与n相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使．将上式两边分别与向量作数量积运算，得． 因为，（为什么？），所以．所以． 这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线，所以． 【人教A版选择性必修一习题1.1第8题】用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线） 【答案】证明见解析； 【分析】根据向量运算法则，数量积为0即可证得垂直. 【详解】如图所示，在平面内，是在面内的投影向量，则， 由题知，，则，故，所以，即证得结论. 【人教A版选择性必修一习题1.1第10题】如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 【答案】证明见解析； 【分析】取的中点D，联结OD，CD，证得平面，，从而有；又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．从而有，结合，证得四边形EFGH是矩形． 【详解】取的中点D，联结OD，CD， 由，知，，，又， 故平面，又平面，因此，又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．则，，故，四边形EFGH是平行四边形同理，且，又，所以，四边形EFGH是矩形。 【人教A版选择性必修一第1.2节例2】如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证． 分析：要证，只需证明．由已知，{，，}可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可． 证明：设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间一个基底，我们用它们表示，，则，， 所以 所以． 【人教A版选择性必修一第1.2节练习第1题】已知四面体OABC，，．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用向量的运算，计算出，从而证明 【详解】 因为,所以, 因为，， 所以，所以，即. 【人教A版选择性必修一第1.2节练习第3题】如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证． 【答案】证明见解析. 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量即可得证. 【详解】在正方体，可建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则,所以， ，所以，即. 【人教A版选择性必修一习题1.2第6题】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积计算得出，可得出，同理可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】设，，，由于四边形为菱形，则，即， 所以，，同理可得，由题意可得，， 所以，，所以，， 同理可证，因为，因此，平面. 【人教A版选择性必修一习题1.2第8题】已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据题目写出已知和求证，设，，， 由可得，从而，即. 所以，即，同理可证，. 【详解】 已知：四面体中，、、、、、分别是对应各棱的中点，且. 求证：，，. 证明：设，，，则， ，由可得， 则，所以， 由此可得，所以，即.所以，即，同理可证，. 故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直. 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例1】如图，在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面当的法向量； （2）求平面的法向量． 分析：（1）平面与y轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量． 解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此，．设是平面的法向量，则，．所以，所以，取，则，．于是是平面的一个法向量． 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例2】证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 已知：如图，，，，，．求证：． 分析：设平面的法向量为，直线a，b的方向向量分别为，，则由已知条件可得，由此可以证明与平面内的任意一个向量垂直，即也是的法向量． 证明：如图，取平面的法向量，直线a，b的方向向量，．因为，，所以，．因为，，，所以对任意点，存在x，，使得． 从而．所以，向量也是平面的法向量．故． 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例3】 如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？ 分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示，如果点P存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果． 解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以，． 设是平面的法向量，则，，即,所以, 取，则，．所以，是平面的一个法向量．由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以．令，得，解得，这样的点P存在．所以，当，即P为的中点时，平面． 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例4】如图，在平行六面体中，，，求证：直线平面． 分析：根据条件，可以{，，}为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可． 证明：设，，，则{，，}为空间的一个基底，且 ，，．因为，，所以，．在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对，使得． 所以，． 所以是平面的法向量．所以平面． 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例5】证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 已知：如图，，，求证：． 证明：取直线l的方向向量，平面的法向量．因为，所以是平面的法向量． 因为，而是平面的法向量，所以．所以． 考点梳理： 考点一、线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明 例. 【人教A版选择性必修一习题1.4第5题】 如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且． 求证：（1）；（2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，表示出点的坐标，利用空间向量法证明线线垂直； 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以 （2）由（1）可知，所以，所以 例、如图，在三棱柱中， ，，，在底面的射影为的中点，是的中点.求证： 平面. [解析]（法一：建系法）如图，取的中点为，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则,， 则,,,，， ,， 则， 所以,， 又, 平面, 平面,所以 平面. （法二：基底法）设在底面上的射影为点，则为的中点， 因为,所以, 因为,所以, 又,所以 平面. 例、【人教A版选择性必修一第1.4.1.3节练习第3题】 如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证明即可； 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面的法向量为，则，即，令，则，所以；设面的法向量为， 则，即，令，则，所以； 因为，所以，所以平面平面． 考点二、线线平行、线面平行、面面平行的证明 例、如图，在正四棱柱中，,.点,,,分别在棱,,,上，,,.求证：. [解析]（法一：建系法）以为坐标原点，,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系，如图， 则,,,,， ,，， 又，不在同一条直线上，. （法二：基底法）由， 而,,， 所以, 即，又，不在同一条直线上，所以. 例、【人教A版选择性必修一习题1.4第12题】如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上， ．求证：平面平面PQR． 【答案】证明见解析 【分析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，令写出、、、，进而求面、面的法向量、，根据所得法向量的关系即可证结论. 【详解】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示， 设，又,， ∴，，，，，， ∴，，，， 设是面的一个法向量，则，令，， 设是面的一个法向量，则，令，， ∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证. 例、如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°.求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 证明：以C为坐标原点，CB，CD，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2， PB＝4，∴C(0，0，0)，D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M. (1)＝(0，－1，2)，＝(2，3，0)，＝. 设n＝(x，y，z)为平面PAD的法向量，由得 令y＝2，得n＝(－，2，1)．∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥. 又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD. (2)＝(2，4，－2)，＝(0，－4，0)．设m＝(a，b，c)为平面PAB的法向量， 由得令c＝，得m＝(1，0，)． 由(1)知，平面PAD的一个法向量为n＝(－，2，1)，∵m·n＝0，∴平面PAB⊥平面PAD. 小结： 1．向量法证平行问题的类型及常用方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示 面面平行 ①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题 2.向量法证垂直问题的类型及常用方法 线线垂直 证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直 面面垂直 两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 跟踪练习： 1、已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中正确的是(　　) A．v∥n1⇔l∥α B．n1⊥n2⇔α⊥β C．n1∥n2⇔α⊥β D．v⊥n1⇔l⊥α 答案：B 解析：由题意v∥n1⇔l⊥α，n1⊥n2⇔α⊥β，n1∥n2⇔α∥β，v⊥n1⇔l∥α或l⊂α.故选B. 2、已知直线l的一个方向向量为m＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n＝，若l∥α，则x＝(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：A 解析：若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即－x＋2＋＝0，解得x＝.故选A. 3．已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判断得解. 【详解】因为，，所以，则， 又是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，所以或.故选：D. 4．下列利用直线的方向向量、平面的法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．平面外的直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】BC 【详解】对于选项A,由已知，则不存在，使，即与不平行，故A选项错误；对于B选项,由已知，则，即，则，故B选项正确；对于C选项,由，则，即，则，故C选项正确；对于D选项,由，则，即，则，故D选项错误.故选：BC 5. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 【答案】C 解析：设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标为. 6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可. 【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以，因为侧棱垂直于底面，所以面， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，    因为分别是所在棱的中点，所以，所以，，故，即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时，所以，，故，所以，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，    此时，故，，即，所以不垂直，则3个直观图中满足的有个，故C正确.故选：C 7．（多选）已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为，，则（    ） A． B．平面平面 C． D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】根据面面平行的判定定理判断B，建立空间直角坐标系，利用向量法判断线线关系判断AC，根据点面距离的向量公式求解距离判断D. 【详解】因为∥，且，则为平行四边形，可得∥，且平面，平面，所以∥平面，因为∥，且，则为平行四边形， 可得∥，且平面，平面，所以∥平面，又，平面，所以平面∥平面，故B正确；如图， 分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，，，故不成立，成立，故A错误，C正确；设平面的法向量，， 则，令，则，即，又， 所以，故点到平面的距离为，故D正确.故选：BCD 8、已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么 【答案】 【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以，解得. 9．已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】由题意得，根据空间向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题可得，，平面ABC， ，，，. 10、在正三棱柱中，，点满足，其中，则使得的点有 个. 【答案】2 [解析]如图，因为，,取，的中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图，则，，，所以或.故点,均满足.故满足的点有2个. 11．在三棱柱ABC－A1B1C1中，＝2，＝m，且BN∥平面A1CM，则m的值为________． 答案： 解析：如图，不妨设＝a，＝b，＝c，依题意，＝a，＝＋＝－＋＝c－a，＝－＝b－a，因为＝m＝mb，所以＝＋＝c－a＋mb，又BN∥平面A1CM，故，，必共面，即存在λ，μ∈R，使＝λ＋μ，即c－a＋mb＝λ＋μ，从而有解得m＝. 12．在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 【答案】1 【分析】将点P和点Q满足的向量式转化，分析得出P,Q的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案. 【详解】，又，所以点P在射线上； ，又， 所以点Q在射线上；    因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线， 因为正方体有平面，而平面，所以 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以当点Q在上时，即时， 13．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________． 答案：平行 解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋c－b， 由题意知＝b－c，＝－＝a－b＋c. 因此＝＋，∴，，共面．又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN. 14．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________． 答案：15 解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．因为底面边长为1，侧棱长为2，所以A，B1， C，C1，M(0,0,0)，设N， 因为＝λ，所以N， 所以＝，＝. 又因为AB1⊥MN，所以·＝0.所以－＋＝0，所以λ＝15. 15、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点．求证： (1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD. 证明：(1)由题意知，BA，BC，BB1两两垂直，故以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)， 所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，·＝0，·＝0， 即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD. （2）由题意及(1)知，E(0，0，3)，G，F(0，1，4)，则＝，＝(0，1，1)， ·＝0，·＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF， 因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 16．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点． 证明：(1)当＝3时，D1P∥平面BDC1；(2)当＝5时，A1C⊥平面D1AP. 证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝AD＝AA1＝，所以AD＝AA1＝1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1)，B1(1，，1)，所以＝(－1，，－1)，＝(－1，0，0)，＝(1，0，－1)． (1)当＝3时，＝＝，＝(0，，1)，＝(1，，0)． 设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，则x＝z＝－， 所以n＝(－，1，－)，所以＝－＝， 所以·n＝×(－)＋×1－×(－)＝0，所以⊥n， 因为D1P⊄平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1. (2)当＝5时，＝＝，所以＝－＝， 所以·＝－1×＋×－1×＝0，·＝－1×1＋×0＋(－1)2＝0. 所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，D1P⊂平面D1AP，D1A⊂平面D1AP，所以A1C⊥平面D1AP. 17、如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 证明：(1)以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)． 于是＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以⊥，即AP⊥BC. (2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上， 所以＝＝，又＝(－4，－5,0)， 所以＝＋＝， 则·＝(0,3,4)·＝0，所以⊥，即AP⊥BM， 又根据(1)的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B， 所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC. 又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC. 18.在四棱锥P ­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由． 解：(1)证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直．如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a，0)，E，P(0,0，a)，F.＝，＝(0，a,0)． ∵·＝0，∴⊥，从而得EF⊥CD. (2)假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，则＝， 若使GF⊥平面PCB， 则由·＝x－，－，z－·(a,0,0)＝a＝0，得x＝； 由·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0. ∴G点坐标为，故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——07 空间向量解决空间直线、平面的平行与垂直问题 知识梳理 1、直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或重合，则称此向量为直线的方向向量. （2）平面的法向量：直线 平面 ，取直线的方向向量，则向量叫作平面 的法向量. 2、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线，的方向向量分别为， 直线的方向向量为，平面的法向量为 平面，的法向量分别为， 回归教材： 【人教A版选择性必修一第1.1.2节例3】如图，m，n是平面内的两条相交直线．如果，，求证：． 【人教A版选择性必修一习题1.1第8题】用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线） 【人教A版选择性必修一习题1.1第10题】如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 【人教A版选择性必修一第1.2节例2】如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证． 【人教A版选择性必修一第1.2节练习第1题】已知四面体OABC，，．求证：． 【人教A版选择性必修一第1.2节练习第3题】如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证． 【人教A版选择性必修一习题1.2第6题】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面． 【人教A版选择性必修一习题1.2第8题】已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直. 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例1】如图，在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面当的法向量； （2）求平面的法向量． 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例2】证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 已知：如图，，，，，．求证：． 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例3】 如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？ 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例4】如图，在平行六面体中，，，求证：直线平面． 【人教A版选择性必修一第1.4.1节例5】证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 考点梳理： 考点一、线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明 例. 【人教A版选择性必修一习题1.4第5题】 如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且． 求证：（1）；（2）． 例、如图，在三棱柱中， ，，，在底面的射影为的中点，是的中点.求证： 平面. 例、【人教A版选择性必修一第1.4.1.3节练习第3题】 如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面． 考点二、线线平行、线面平行、面面平行的证明 例、如图，在正四棱柱中，,.点,,,分别在棱,,,上，,,.求证：. 例、【人教A版选择性必修一习题1.4第12题】如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上， ．求证：平面平面PQR． 例、如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°.求证： (1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD. 小结： 1．向量法证平行问题的类型及常用方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示 面面平行 ①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题 2.向量法证垂直问题的类型及常用方法 线线垂直 证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直 面面垂直 两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 3.利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系； (4)根据运算结果解释相关问题． 跟踪练习： 1、已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中正确的是(　　) A．v∥n1⇔l∥α B．n1⊥n2⇔α⊥β C．n1∥n2⇔α⊥β D．v⊥n1⇔l⊥α 2、已知直线l的一个方向向量为m＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n＝，若l∥α，则x＝(　　) A． B．－ C．－ D． 3．已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 4．下列利用直线的方向向量、平面的法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．平面外的直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 5. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A．(1,1,1) B. C. D. 6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为，，则（    ） A． B．平面平面 C． D．点到平面的距离为 8、已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，那么 9．已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为 ． 10、在正三棱柱中，，点满足，其中，则使得的点有 个. 11．在三棱柱ABC－A1B1C1中，＝2，＝m，且BN∥平面A1CM，则m的值为________． 12．在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 13．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是________． 14．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________． 15、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点．求证： (1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD. 16．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点． 证明：(1)当＝3时，D1P∥平面BDC1；(2)当＝5时，A1C⊥平面D1AP. 17、如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 18.在四棱锥P ­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $