专题02 矩形的性质与判定（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，以10类常考题型为核心，通过各地期末真题构建从基础计算到综合应用的递进训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|10类题型，含30道期末真题|覆盖性质应用（角度/线段计算、斜边中线）、判定（条件添加、综合证明）、折叠/作图/多结论等综合题型|以矩形性质（对角线、直角、中线）为基础，判定为性质逆用，从单一计算到复杂折叠/多结论，形成“概念-性质-判定-综合应用”逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|4选择+4填空+10解答|包含动态几何、跨图形综合（与菱形/梯形结合）、操作探究等拔高题型|深化性质与判定的综合迁移，结合空间观念解决折叠、动点等复杂问题，对接中考命题趋势|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02矩形的性质与判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用炬形的性质求角度（重） 题型2利用矩形的性质求线段长（重） 题型3斜边的中线等于斜边的一半（高频） 题型4利用矩形的性质证明求解综合（重） 题型5矩形与折叠问题（难） 题型6添一条件使四边形是矩形（重） 题型7根据矩形的性质与判定求解（高频） 题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题（难） 题型9与矩形的性质与判定有关的作图（高频） 题型10矩形的性质与判定的综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用矩形的性质求角度 1.60 2.110°1110度 3.30 ◆题型2利用矩形的性质求线段长 4.2 5.5 6.5 1/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3斜边的中线等于斜边的一半 7.2.5 8.3 9.45 √2-1 ◆题型4利用矩形的性质证明求解综合 10. 【答案】(I)证明：，矩形ABCD .AD∥BC,AD=BC,∠DCB=90°， .DC⊥BC. 又：DE=BD, ∴BC=CE, .AD=CE, ,点E在BC边延长线上， .AD CE ∴.四边形ACED是平行四边形： (2)解：如图，过点D作DH⊥AC于点H,连接AE, D A H B E..DE=5 DE=DB .DB=5, 矩形ABCD,AB=4, .AC=DB=5,AD=BC,∠ABC=90°，CD=AB=4, BC=VAC2-AB2=V52-42=3, .AD BC =3, .S.oc=AD.DC=AC.DH, 2 2 DH=AD-DC_3x4_12 AC55 2/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知BC=CE, .BE=2BC=2×3=6」 .AE=VAB2+BE2=V42+6=2V13, 四边形ACED是平行四边形， AC∥DE :点P在线段AC上，点Q在线段DE上， ←DH≤PgsE,即是≤P0≤2国 PQ长为正整数， .P0的长可以为3,4,5,6,7 11. 【答案】(I)证明：四边形ABCD为矩形， .ADl BC ∴.∠ODM=∠OBN, ,MN垂直平分BD, :.OB=OD,BM=DM,BN=DN, 在△ODM和△OBN中， ∠ODM=∠OBN OD=OB ∠DOM=∠BON .aODM≌aOBN(ASA). ∴BN=DM, .'BM DM BN DN ∴四边形BMDN是菱形： (2)解：：四边形ABCD为矩形， .∠A=90°， 设DM=BM=x,则AM=AD-DM=8-x, 在Rt△ABM中，由勾股定理可得AM2+AB2=BMP, .(8-x)2+42=x2, .x=5 .DM=5, 3/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.菱形BMDN的面积为DM·AB=5×4=20」 12. 【答案】(I)(1)解：①，四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°， :<08p+1BC=9gr. .∠QBP+45°=90° .∠QBP=45o」 ②AB=V2BQ+BC,理由如下： 如图，连接OA,QC, D ,矩形ABCD, ∴OA=OB=OC,∠ABC=90°， .Q0⊥AC .QA=QC,∠A0Q=90° 过O作E0⊥BO交CB的延长线于E, .∠ABE=90°=LEQB .∠QBP=45° .∠QBE=45°=∠QEB ∴QE=QB,BE=V2BQ 设∠BAC=a,而OA=OB=OC, ∴.∠ABO=LBAC=a, ∴.∠A0B=180°-2a,∠B0Q=90°-2a .∠00B=180°-(45°+a)-(90°-2a)=45°+a=∠0B0, ..00=OB=OC=0A .∠0AQ=∠AQ0=45°=∠00C=∠0C0, 4/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠A00=90°=∠BQE. .∠AQB=∠CQE. .△AQB≌ACQE(SAS), .AB=CE, .AB=CE=BE+BC=2BQ+BC (2)解：如图，连接AQ,CO,过P作QG1AB于G,作QH⊥CB交CB的延长线于H,则 ∠AGQ=∠CHQ=90°. D H B .ABCD, ..OA=OC, .Q0⊥AC, .QA=OC, “∠ABC=60, ∠0BP+5∠ABC=90°， 2 ∠QBP=60° .∠QBH=60°=∠AB0, .QG⊥AB,QH⊥CB ..OH=0G .RtAAOG≌Rt△COH(HL). .AG=CH,∠QAG=∠QCH, 记AB,CQ的交点为R, ,∠ARQ=∠CRB .∠AQC=∠ABC=60° ∴.△QAC为等边三角形， :.∠AQ0=∠CQ0=30° 设OC=x,则0A=QC=2x,O0=VCQ-C02=V5x, 5/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 00= √21 2 3x= 2, 9 .Cg=7, B0=1,∠0BH=60°， .∠BQH=30°， BH-.OH- 2 ·CH=VCQ2-QH= 2, cB=2,4G=cm- 2 同理可得：BG= 2, .AB= 5,1 2+2=3, .ABCD的周长为2×(2+3)=10 ◆题型5矩形与折叠问题 13. 【答案】(I)解：~四边形ABCD是矩形， ÷AB∥CD,AB=CD,∠ADC=90°. ∴∠BAC=∠ACE」 ,△ABC沿矩形对角线AC折叠， ∠BAC=∠EAC, .∠EAC=∠ACE. AE=CE」 设CE的长为x,则AE=x,DE=8-x, 在Rt△ADE中，∠ADE=90°，由勾股定理得 6127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE2+AD2=AE? (8-x2+62=x2, 解得 25 25 答：CE的长为4· (2)解：设∠DAE=a, ~△ADE沿AE翻折，使点D落在△ADC内部点D'处， ∴∠DAE=∠D'AE=a 由(I)可知∠EAC=∠ACE=∠BAC, ∠DAC=30°， .∠EAC=∠ACE=30°+a. 四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°， .∠DAE+∠EAC+∠BAC=90°」 即30°+a+30°+a+a=90° 解得，a=l0° .∠BAC=30°+a=30°+10°=40° 答：∠BAC的度数为40° 14. 【答案】(1)解：如图 E D B C :四边形ABCD为矩形， .∠BAD=90°， 由折叠的性质得：AE=AB,∠B=∠AEF=90°， ∴.四边形ABFE为矩形， ..AE=AB, ∴.四边形ABFE为正方形， 7/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BF AB=3; (2)解：如图， D E B ,四边形ABCD为矩形，AD=4, .∠B=90°，BC=AD=4, AB=3」 .'AC=AB2+BC2=5, 由折叠的性质得：AE=AB=3,∠B=∠AEF=90°，BF=EF, ∴.CE=AC-AE=2,∠CEF=180°-∠AEF=90°， 在RtACEF中，EF2+CE2=CF2, BF2+22=(4-BF), 箭9：- (3)解：由折叠的性质得：AE=AB=3,∠B=∠AEF=90°，BF=EF, 设BF=EF=x, 当点F在BC边上时，则CF=4-x, E ∠AED为直角， .∠AED+∠AEF=180°， ∴点D,E,F三点共线， 在Rt△ADE中，DE=√AD2-AE2=√万， :.DF=EF+DE=x+7, 8/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtACDF中，CD2+CF2=DF2,CD=AB=3, 32+(4-x}=(x+万， 解得：x=4-V万， 即BF=4-√7： 当点F在BC边的延长线上时，则CF=x-4, 刀 B ,∠AED为直角， .∠AED=∠AEF, 点D,E,F三点共线， 在Rt△ADE中，DE=√AD2-AE2=V万， :.DF=EF-DE=x-7, 在RtaCDF中，CD2+CF2=DF2,CD=AB=3. 32+(x-4=(x-万， 解得：x=4+V万， 即BF=4+V7； 综上所述，线段BF长为4-√7或4+万】 15, 【答案】(I)解：四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=3,CD=AB=5,∠D=90°， :将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， :AE=AB=5, 在Rt△ADE中，DE=V√AE2-AD2=V52-32=4, .CE=CD-DE=5-4=1; 9127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=90°」 由翻折的性质知，∠E=∠B、BP=EP, .∠E=LC, 在△EFG和△CFP中， ∠E=∠C EF=CF ∠EFG=∠CFP ∴△EFG≌aCFP(A,S,A). .GF=PF ②解：'△EFG≌△CFP, ..GE=CP, 设BP=EP=x,则GE=PC=3-x, ..GC=GF+FC=PF+EF=EP=x, ..DG=CD-GC=5-x AG=AE-GE=5-(3-x)=x+2. 在RtAADG中，AG2=AD2+DG2, 32+(5-x)}2=(x+22, 解得：一只 a5 (3)B0的长为1或9 解：分两种情况讨论： 情况1：当点Q在线段AB上时，如图所示： D 0 -B 由翻折的性质知，∠CQB=∠CQB'、BC=BC=3、BQ=B'Q、∠CB'Q=∠B=90°， ∠CB'D=90°， ~四边形ABCD是矩形， 10/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD∥AB, .∠DCQ=∠CQB ∴.∠DCQ=∠CQD. ∴.QD=CD=5 DB=VCD2-B'C2=52-32=4, .BQ=B'Q=QD-DB=5-4=1: 情况2：当点Q在线段BA的延长线上时，如图所示： ⊙ 由翻折的性质知，B'C=BC=3、BO=BQ、∠B=∠B=90°， .DB'=VCD2-B'C2=V52-32=4, 设B0=B'0=x,则D0=x-4、A0=QB-AB=x-5, ∠BAD=90° ∴∠DAQ=90° 在Rt△ADQ中，QD2=AD2+AQ2, 32+(x-5)2=(x-4,解得：x=9,即B0=9, 综上，B0的长为1或9 ◆题型6添一条件使四边形是矩形 16.AC=BD(答案不唯一) 17.AC=BD或∠BAD=90°（合理即可） 18. 【答案】()证明：连接CE,AF 11/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ABCD. ∴AB=CD,ABIICD :点E,F分别在边AB,CD上，BE=DF, :.AE//CF,AB-BE=CD-DF, .AE=CF, ∴四边形AECF为平行四边形， ,EF与对角线AC相交于点O, :.OE=OF; (2)∠ABC=90°（答案不唯一） ◆题型7根据矩形的性质与判定求解 4 19.5 20.11V5 21.3 ◆题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题 22.①②④ 23. ①③④ 24.①②③ ◆题型9与矩形的性质与判定有关的作图 25 【答案】(I)如图，点E就是所要求作的点 12/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD为矩形， .OC=-AC.OD-BD AC=BD 2 ∴.0C=OD 由作图可得OC=CE,OD=DE, ..OC=OD=CE=DE. 四边形OCED是菱形： (2)解：，四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°， OD-BD ,矩形ABCD的周长为14，面积为12， ∴.AB+AD=7,AB×AD=12, ∴AB2+AD2=(AB+AD)-2AB×AD=25, .BD=AB2+AD2=5, .OD=二BD= 2 2’ ,四边形OCED是菱形， :DE=0D=2: 5 26. 【答案】(I)解：如图，矩形ABDE为所求； A 图1 (2)解：如图，菱形BCDG为所求. 13/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、G B E 图2 27. 【答案】(I)如图所示，点F及线段CF,OF即为所求. (2)证明：在△BDE中，CE=BC,点F为DE的中点， CF=1BD .CF∥BD' 2 四边形ABCD是菱形， 1 .OD=BD ∠C0D=90°· ∴CF=OD, 又：CF∥OD, ∴四边形OCFD为平行四边形. :∠C0D=90°， .OCFD是矩形 (3)解：四边形OCFD是矩形， ∴CD=OF=4. :四边形ABCD是菱形， ..BC=CD=4 ∠BCD=120°， ∴.∠DCE=180°-∠BCD=60° 如图，作DG⊥BE于点G. 14/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 在 中， G RtADCG ∠CDG=90°-∠DCG=30° 1 ∴.CG=5CD=2 .DG=VCD2-CG=V42-22=23 ∴S菱形McD=BC·DG=4×2V5=8V3 ◆题型10矩形的性质与判定的综合问题 28. 【答案】(I)证明：AC平分∠BAD,平行四边形ABCD中，AD∥BC, ∴LBAC=∠CAD,且∠BCA=∠CAD, ∠BAC=∠BCA, :.AB=BC, ∴平行四边形ABCD为菱形. 又：DP∥AC,CP∥BD, ∴四边形OCPD为平行四边形. 在菱形ABCD中，AC⊥BD, .∠C0D=90°， 平行四边形OCPD为矩形. (2)解：在矩形OCPD中，OP=CD,在菱形ABCD中，CD=BC,且AC=6,BD=8, ∴菱形边长BC =V32+42=5, ..OP=CD=BC=5 29, 【答案】I)证明：~AB=AC,点D是线段BC的中点， .BC⊥AD EA⊥AD, .EA‖BC 15/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又CEIl AD ∴四边形ADCE是平行四边形. EA⊥AD, ∴.∠DAE=90°， ∴.平行四边形ADCE是矩形. (2)解：AD=8,BC=12, :.DC=1BC=6, ∠ADC=90°， .在RtAADC中，AC=VAD2+DC2=V62+82=10, ,四边形ADCE是矩形， ∴.AE=DC=6,EC=AD=8, .AE-EC-LAC.EF 21 2 即时x6x8=10x即。 ∴.EF=4.8 30. 【答案】(1)解：四边形ABCD为矩形，AB=5,BC=4, AD=BC=4,AB=CD=5,∠A=LABC=∠C=∠D=90°， 由折叠可知，BE=AB=5,AP=EP ,在RtABCE中，CE=VBE2-BC2=V5-42=3, DE=CD-CE=5-3=2, 设AP=EP=x,则PD=AD-AP=4-x, 在Rt△PDE中，可得PD+DE2=PE2, ∴(4-x+2=x2,解得x=2 (2)(2)证明：如下图，连接AE, 16/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H 由折叠可知，AP=EP,BA=BE .BP垂直平分AE,即BP⊥AE, :G、H分别是边AB、BE的中点， .GH为△ABE的中位线， AGH=)AE,GH∥AE, 2 同理可得D=号4，U∥AE, .GH=J,GH∥W .四边形GHW为平行四边形， G、J分别是边AB、PA的中点， .GJ为△ABP的中位线， GJ∥PB GH∥AE,BP⊥AE, .GJ⊥GH, .∠JGH=90°， 四边形GHW是一个矩形： (3)解：分两种情况讨论： 情况1，当点F在AD下方时，如下图，连接PF, 由折叠可知，AP=PE,∠E=∠A=90°=∠D」 AP=DF, ∴PE=DF, 17/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，PF=FP, .RtAPDFS≌RtaFEP(HL), ∴，PD=FE, 设AP=x,则DF=AP=x, ∴FE=PD=4-x,CF=5-x, BF=BE-FE=5-(4-x)=x+1, 在Rt△BCF中，可得BC2+CF2=BF2, 六4+6-=x+,解得=10 3 10 ∴线段4P的长度为3： 情况2，当点F在AD上方时，如下图，连接PF, D B 由折叠可知，AP=PE,∠PEB=∠A=90°， ∴.∠PEF=180°-∠PEB=90°，∠ADF=180°-∠ADC=180°-90°=90° ,∠PEF=∠ADF, AP=DF, ∴PE=DF, 又，PF=FP, .RtAPEFRtAFDP(HL), .PD=FE. 设AP=y,则DF=AP=y, :.FE=PD=4-y,CF=CD+DF=5+y, .BF=BE+FE=5+(4-y)=9-y, 在Rt△BCF中，可得BC2+CF2=BF2, 4+5+列=9-明，解得y9. 18/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 ∴线段4p的长度为7， .1010 综上所述，线段A的长度为3或7： 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.D 3.A 4.B 二、填空题 2或11或3 6.43 7.1或4或6-10 8.3 0 三、解答题 9. 【答案】()解：四边形AFCE是菱形.理由如下： 四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, ∴.LAEO=LCFO,∠EAO=∠FCO :O是AC的中点， :.OA=OC, ∴△AOE≌aCOF(AAS). .AE=CF, .四边形AFCE是平行四边形 19/27 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EF⊥AC, ∴.平行四边形AFCE是菱形. (2)解：，四边形AFCE是菱形， .EF =20E,AC=20A 又AC⊥EF,∠EAC=30, .OE=5AE=2, 2 .EF=4, 在Rt△AOE中，由勾股定理得OA=VAE2-OE2=2√5， .AC=4V5, 1 .S四边形AECF= C-EF=x45x4=8N5 21 10. 【答案】(1)证明：，DE∥OC,DE=OC, ∴四边形CODE是平行四边形， ,在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ∴AC⊥BD,即∠COD=90°， ∴.平行四边形CODE是矩形： (2)解：：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, AC1BD即∠CoD=9,CD=AB=50C=4C=3. ∴.0D=VCD2-0C2=4, ,四边形CODE是矩形， .四边形CODE的周长=2(OC+OD)=14 11. 【答案】(I)证明：：D,E分别为AB,AC的中点， DE∥BC, ..DG=FC, ∴.四边形DFCG是平行四边形， DF⊥BC, ∴，四边形DFCG是矩形. 20/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：D为AB的中点，AB=10, :0-58=5, ,四边形DFCG是矩形，CG=3, DF=CG=3. .BF=VBD2-DF2=V52-32=4, DE是△ABC的中位线，DE=5.5, .BC=2DE =11. .CF=BC-BF=11-4=7, ,四边形DFCG的面积为CF.CG=7×3=21 12. 【答案】(I)解：四边形ABCD是矩形， AC=BD,∠ABC=90°， AB=2,BC=3, .BD=AC=VBC2+AB2=V32+22=3: (2)证明：BH⊥DH,理由如下： 延长DA与BH的延长线交于点O,如图， D GB ,四边形ABCD是矩形， .∠ABG=90°，AQ∥BG,AD=BC, .∠OAH=∠BGH ,点H为线段AG的中点， ·4H=GH=BH=2AG, .·∠AHQ=∠GHB ∴.△AHQ≌aGHB(ASA), .AQ=GB,HQ=HB、 .AD+AO=GB+BC 21/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'DO=GC .CG=AC,AC=BD .DO=BD 则BH⊥DH; (3)解：连接AF、AE,如图， E M F ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABD=LCDB,AB=CD .∠ABF=∠CDE」 .DE BF, :.△ABF≌aCDE(SAS). ∴.∠AFB=∠CED,AF=CE, 则AF I CE ∴.四边形AFCE为平行四边形， .AE∥FC, 过点A作AS⊥FM交FM于点S,过点A作AT⊥NE交NE于点T,连接AP,AN,AM,如图， 30° 30 AE∥FC, 1 S.ANE=S.4CE= 5, ..AF II CE 1 S.AFM =S.AFC= oAFCE 22/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sw=Se'即FMAS=)ENAT, ..EN=FM, .AS=AT, .∠ASP=∠ATP=90°，AP=AP, .△ASP≌aATP(HL), .SP=TP,AS=AT, .AE∥FC,∠CNE=30°， .∠AEN=∠CNE=30°. .CF=6,AE=FC, .AS=AT=3,ET=3V3, .CE=5,AF=EC, .FS=4. PE PT+TE,PF=PS+FS. .PE-PF =PT+TE-(PS+FS) =PT+TE-PS-FS =TE-FS =3V5-4」 13. 【答案】(I)证明：：DEI‖AC、CE∥BD, ∴，四边形OCED是平行四边形， ·矩形ABCD, .OC三)AC=BD=OD 2 ∴.平行四边形OCED是菱形， ,CD、OE是菱形OCED的两条对角线， .CD与OE互相垂直且平分： (2)证明：设CD与OE交于点P, 23/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 可知PE=OE,OE⊥CD,OP=EP 矩形ABCD, AD⊥CD, .AD∥PE, .∠DMN=∠PEN, M是AD中点， MD-7AD, P是CD中点，O是CA中点， :.OP-1AD 2 即P-方40 ∴.MD=EP .∠MDN=∠EPN=90°， .aMDN≌aEPN(ASA), .MN =NE. (3)解：如图，设DF=m, E C ·矩形ABCD」 .AG∥DF, ∴，直线AG到直线CD的距离等于矩形的水平边长AD, 'OE⊥CD, EP=1AD 2 24127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .S.DEF= AD_m:AD=2, -…m 2 4 即m·AD=8」 .S.DFG= AD= 1 1 ×8=4 2 14. 【答案】(I)四边形BEMF是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知：∠AEB=∠AEM,EB=EM. ,MF∥BE ∴.∠MFE=∠AEB=∠AEM, ∴.MF=ME=BE, ∴.四边形BEMF是平行四边形 ..EB=EM ∴.四边形BEMF是菱形： e4G-号DG,理如下 ,点E为BC的三等分点， -c ,取EC的中点N, :EN-CN-IEC-BE, 2 由折叠的性质可知：∠AEB=∠AEM,EB=EM, .EM=EN, ∴.∠EMN=∠ENM, .·∠BEM=∠AEB+∠AEM=∠ENM+∠EMN, .∠AEM=∠EMN, AE∥GN, ,四边形ABCD是矩形， :AD=BC,AD∥BC, ∴.四边形AENG是平行四边形， ∴.AG=EN, 25/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EN=BC=AD 3 3 1 ·1G=34D, .4G-DG (3)解：由题意可分：当点M落在矩形内部，如图所示： M :四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=10, .AD=BC=10,AD∥BC,∠B=90°， ∴.∠AEB=∠DAE, 由折叠的性质可知：∠AEB=∠AEM,EB=EM,，∠B=∠AME=90°，AM=AB=6, .∠DAE=∠AEM,∠AMD=90° .DE=AD=10,DM=AD2-AM2=8, ∴.ME=ED-DM=2=BE: 当点M落在矩形外部，如图所示： M O B E ,四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=10 .AB=CD=6,AD=BC=10,AD∥BC,LB=∠BCD=90°， ,∠AEB=∠DAE,∠DCE=90° 由折叠的性质可知：∠AEB=∠AEM, ,∠DAE=∠AEM, .DE=AD=10. ∴.CE=VDE2-DC2=8, 26/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BE=BC+CE=18 27127的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02矩形的性质与判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用炬形的性质求角度（重） 题型2利用矩形的性质求线段长（重） 题型3斜边的中线等于斜边的一半（高频） 题型4利用矩形的性质证明求解综合（重） 题型5矩形与折叠问题（难） 题型6添一条件使四边形是矩形（重） 题型7根据矩形的性质与判定求解（高频） 题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题（难） 题型9与矩形的性质与判定有关的作图（高频） 题型10矩形的性质与判定的综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用矩形的性质求角度 1.(25-26八年级下福建泉州期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.延长BC至点 E,AD=CE,∠E=30°，则∠AOB的大小是度 2.(25-26八年级下河南鹤壁期末)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,点E, F分别在边AB,BC上，连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE= 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 3.(25-26八年级下北京期末)如图，点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若AC=2BE, ∠ACB=75°，则∠E= B O D E ◆题型2利用矩形的性质求线段长 4.(25-26八年级下甘肃兰州期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是边 BC的点，点p在对角线AC上，且CP-4C,者C-s”则Er的长为 E 5.(25-26八年级下浙江杭州期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,过点O作 OE⊥AC交AD于点E,∠DOE的平分线OF交AD于点F,延长FO交BC于点G.若矩形ABCD的周长 为20，则线段CG的长为 EF D B G 6.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，矩形ABCD的面积是20，对角线AC与BD交于点O,线段 EF经过点O且与AB和CD分别交于E、F点，若BE=DF,则图中阴影部分的面积为」 2/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B ◆题型3斜边的中线等于斜边的一半 7.(25-26八年级下广东广州期末)如图，已知点A(4,0)和B(0,3),点C是AB的中点，则0C的长为 8.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点B作 BE⊥CD于点E,连接OE.若AC=8,CD=5,则OE的长为 B D 9.(25-26八年级下湖北宜昌·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于点D,E是边AB 的中点，若∠ACD=3∠BCD B D E (1)∠ECD的度数为 B (2) CD的值为. 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4利用矩形的性质证明求解综合 10.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，四边形ABCD是矩形，AC与BD相交于点O,点E在 BC边的延长线上，DE=DB. D O B E (I)求证：四边形ACED是平行四边形. (2)若AB=4,DE=5,点P在线段AC上，点卫在线段DE上，连接P,若线段PO长为正整数，请直接 写出PQ的长. 11.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交 于点M,与BD相交于点O,与BC相交于点N,连接BM、DN. M (I)求证：四边形BMDN是菱形： (2)若AB=4,AD=8,则菱形BMDN的面积为 12.(25-26八年级下·辽宁大连·期末)口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点O作AC的垂线交 AB于点P,点O是OP的延长线上一点且∠QBP+∠ABC=90 、 图1 图2 (I)当四边形ABCD是矩形时. ①求∠QBP的度数： ②判断线段BA、BC和BQ数量关系，并证明： 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②加图2，当∠ABC=60时，若0-100= 2,求ABCD的周长. ◆题型5矩形与折叠问题 13.(25-26八年级下辽宁大连期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8,AD=6.现将纸片沿对角 线AC折叠，使点B落在B'处，AB交CD于点E.将△ADE沿AE翻折，使点D落在△ADC内部点D'处， 连接CB' B D B (1)求线段CE的长； (2)若∠D'AC=30°，求∠BAC的度数. 14.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点F是射线BC上一点， 将矩形ABCD沿直线AF折叠，点B的对应点为点E. E (I)当点E落在AD边上时，四边形ABFE的形状是 ,此时线段BF长为」 (②)当点A、E、C在同一条直线上时，求线段BF长， (3)当∠AED为直角时，直接写出线段BF的长. 15.(25-26八年级下山东临沂期末)在矩形ABCD中，AB=5,BC=3,点P为边BC上一点，将 △ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）· (I)【问题解决】如图①，当点E落在边CD上时，可求得CE的长为 B 图① 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【尝试应用】如图②，PE与CD相交于点F,AE与CD相交于点G,且FC=FE, 图② ①求证：GF=PF; ②求BP的长. (3)【拓展提升】如图③，点O为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线D卫上的 点B处，直接写出BQ的长 D B A 图③ ◆题型6添一条件使四边形是矩形 16.(25-26八年级下·陕西西安·阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 使平行四 边形ABCD是矩形， A B 17.(25-26八年级下·云南昭通阶段检测)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AD=BC, ADI‖BC.请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是 (写出一个即可) B 18.(25-26八年级下·北京阶段检测)如图，在口ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上，BE=DF,EF 与对角线AC相交于点O. 6/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求证：OE=OF: (2)请你添加一个条件： 使得平行四边形ABCD成为矩形. ◆题型7根据矩形的性质与判定求解 19.(25-26八年级下陕西商洛期末)如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P为BC边上一动 点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,则EF的最小值为 E B 20.(25-26八年级下·广东珠海期末)如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,∠C=90°，连接BD, ∠ABD=2∠DBC.作AE⊥BC交BD于点F,AD=20,AF=10,则BD=_ BE 21.(24-25八年级下·山东临沂期末)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作 EF∥BC,分别交AB、CD于E,F,连接PB,PD.若AE=l,PF=3,则图中阴影部分的面积是 D ◆题型8根据矩形的性质与判定解决多结论问题 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交 CD于点F,将aDEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上点M处，延长BC、EF交于点N,有下列四个结 论：①MF=CF:②BF LEN:③△BEN是等边三角形：④EB:EM=3:1.其中正确结论的序号是 M 23.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在等腰三角形ABC中，P是底边BC上一动点，作PF∥AB 交AC于点F,PE∥AC交AB于点E.给出下面四个结论： ①四边形AEPF是平行四边形； ②PE+PF=BC: ③若点P运动至BC中点，则四边形AFPE是菱形： J2 AB. ④若∠A=90,连结EF'则EF的最小值为2 上述结论中，正确结论的序号是 24.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)如图，矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，连接A0, 点E在CD上，2∠BEC-∠BDC=∠AOB,AB=6,BE=4V5,有下列结论： ①AO=BO:②∠ABD=2∠EBC;③矩形ABCD的面积为48；④若F为线段AD上的动点（不包括端 点)，连接OF、EF,0F+EF的最小值为2V0.上述结论中，所有正确结论的序号是 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型9与矩形的性质与判定有关的作图 25.(25-26八年级下·福建泉州期末)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0. D B (I)尺规作图：试确定点E,使得四边形OCED是菱形（保留作图痕迹，不写作法） (2)在(1)的前提下，若矩形ABCD的周长为14cm,面积为12cm2,求DE的长. 26.(25-26八年级下·江西南昌期末)如图，是一正六边形ABCDEF,请你仅用无刻度的直尺，分别按 照下列要求作图（保留作图痕迹）· 图1 图2 (I)在图1中，作一个以BD为边的矩形： (2)在图2中，作一个以BD为对角线的菱形. 27.(25-26八年级下·广东广州期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,延长BC至 点E,使得CE=BC,连接DE. D ○ ()尺规作图：作边DE的中点F,并分别连接CF,OF(不写作法，保留作图痕迹)： (②)求证：四边形OCFD是矩形： (3)若∠BCD=120°，OF=4,求菱形ABCD的面积. ◆题型10矩形的性质与判定的综合问题 28.(25-26八年级下新疆喀什期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC平分 9114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD,DP∥AC,CP∥BD (I)求证：四边形OCPD是矩形： (2)若AC=6,BD=8,求OP的长. 29.(25-26八年级下湖南邵阳期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D是线段BC的中点，CEI‖AD EA⊥AD,EF⊥AC,垂足为点F, O (I)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若AD=8,BC=12,求EF的长， 30.(25-26八年级下·上海松江期末)如图1，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,点P是边AD上一动 点，连接BP,将△ABP沿BP翻折，点A落在点E处，直线BE与直线CD交于点F. D G 图1 图2 备用图 (I)当点E落在CD边上时，求AP的长度： (②)如图2，在四边形ABEP中，G、H、I、J分别是边AB、BE、EPPA的中点，求证：四边形GHW是一 个矩形： (3)点P在边AD上运动过程中，是否存在线段AP与线段DF相等的情况？若存在，请直接写出线段AP的 长度：若不存在，请说明理由. 10/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，点E在矩形ABCD的边CB的延长线上，连接BD,AE, BD=EC,若∠E=75°，则∠DBC的度数是() D E B A.20° B.25 C.30° D.35 2.(25-26八年级下湖南长沙期末)如下图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（) A.当∠BAD=90°时，它是矩形 B.当AC=BD时，它是矩形 C.当OA=OB时，它是矩形 D.当AC⊥BD时，它是矩形 3.(25-26七年级下·河北张家口·期末)如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B 的位置，AB与CD交于点E,若AB=8,AD=2,则图中阴影部分的周长为() ⊙ E ---B A.20 B.18 C.14 D.10 4.(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)图①是某可伸缩书架，其示意图如图②所示，连杆 AG=GC=CI=IE=BF=BH=HD=D)=25cm,连杆的交点M为AG,BF中点，N为GC,BH中点， P为CI,HD中点，Q为IE,DJ中点，当AF的长由l5cm缩短至7Cm时，书架两侧的挡板AF与EJ之 间的距离() 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② A.伸长了8cmB.伸长了16cm C.伸长了80cmD.伸长了96cm 二、填空题 5.(25-26八年级下·黑龙江绥化：期末)已知直角三角形两边长为1和V3，则此直角三角形斜边上的中线 长是 6.(2026:宁夏吴忠模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,对角线AC和BD相交于点O, AE⊥BD于点E.若BE:ED=I:3,则矩形ABCD的面积为一 D 7.(黑龙江齐齐哈尔市建华区2025-2026学年度下学期期末学业考试八年级数学试题)在矩形ABCD中， AB=3,BC=6,点E在BC边上，BE=1,点P在AD边上，若△AEP是等腰三角形，则DP的长为一 8.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=3,BC=9,点E、F分别 在AD、BC边上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处. -,D (1)GH= (2)当点A与点H重合时，EF= 三、解答题 9.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特期末)如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作 直线EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,连接CE,AF. 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)请你判断四边形AFCE的形状，并说明理由： (②)若∠EAC=30°，AE=4,求四边形AFCE的面积. 10.(25-26八年级下·河南南阳期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作 DE∥OC,且DE=OC,连接CE (I)求证：四边形CODE是矩形： (2)若AB=5,AC=6,求四边形CODE的周长. 11.(25-26八年级下湖南岳阳期末)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，DF⊥BC, 垂足为F,点G在DE的延长线上，DG=FC D (I)求证：四边形DFCG是矩形： (2)若AB=10,CG=3,DE=5.5,求四边形DFCG的面积. 12.(25-26八年级下广东广州期末)如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O. 图1 图2 图3 (1)若AB=2,BC=3,求BD的长； (2)如图2，延长CB至点G,使CG=AC,取AG的中点H,连接BH、DH,请判断BH与DH位置关系， 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 并说明理由： (3)如图3，点E、点F分别是BD的延长线和反向延长线上的点，且DE=BF,连接CE、CF,在CF上 取点N使得∠CNE=30°，在CE上取点M使得EN=FM,EN、FM相交于点P,已知CE=5,CF=6, 求PE-PF的值. 13.(25-26八年级下辽宁盘锦期末)如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且DE‖AC、 CE∥BD,连接OE. G 图1 图2 图3 (I)求证：CD与OE互相垂直且平分： (2)如图2，若取AD的中点M,连接ME交CD于点N,求证：MN=NE； (3)如图3，过点E作射线分别交CD,BA的延长线于点F,G,连接DG,，△DEF的面积为2，求△DFG 的面积 14.(25-26八年级下山西吕梁期末)综合与实践 【问题情境】 图2 图3 备用图 备用图 在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩形纸片ABCD中，AD>AB! 点E是射线BC边上一动点，连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AME,并展开铺平如图1. 【操作探究】 (I)如图2，若点M落在矩形内部，过点M作MF∥BE交AE于F,连接BF,请判断四边形BEMF的形状， 并说明理由. (2)如图3，若点E为BC的三等分点，点M落在矩形内部，再取EC的中点N,连接NM并延长交AD边 于点G,判断AG与DG的数量关系，并说明理由. (3)若AB=6,BC=10，在翻折过程中，当点M落在直线DE上时，请直接写出BE的长. 14/14 专题02 矩形的性质与判定 常考题型·精准突破 题型1 利用矩形的性质求角度（重） 题型2 利用矩形的性质求线段长（重） 题型3 斜边的中线等于斜边的一半（高频） 题型4 利用矩形的性质证明求解综合（重） 题型5 矩形与折叠问题（难） 题型6 添一条件使四边形是矩形（重） 题型7 根据矩形的性质与判定求解（高频） 题型8 根据矩形的性质与判定解决多结论问题（难） 题型9 与矩形的性质与判定有关的作图（高频） 题型10 矩形的性质与判定的综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用矩形的性质求角度 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点．延长至点，，，则的大小是_______度． 【答案】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，求出，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 2．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，点，分别在边，上，连接交对角线于点．若为的中点，，则_____． 【答案】/度 【分析】根据矩形的性质可得，得出，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵在中，为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴． 3．（25-26八年级下·北京·期末）如图，点E是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，可知，则，根据得到，可知． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型2 利用矩形的性质求线段长 4．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】由矩形性质可得，结合可证点为中点，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， 点是边的中点， 是的中位线， ． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点，过点作交于点，的平分线交于点，延长交于点．若矩形的周长为20，则线段的长为_____． 【答案】5 【分析】利用矩形性质、角平分线和平行线得，过作于，则为中点，则为等腰直角三角形，结合矩形周长求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，矩形周长， 得到：，． ， ． 设，则． ， 平分， ． ． 过作于，则为中点， 又为中点， 为的中位线， ，， ， 则为等腰直角三角形，． ， ， ． 6．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，矩形的面积是20，对角线与交于点，线段经过点且与和分别交于、点，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】5 【分析】由矩形的性质可得，，证明，得出，由此计算即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ◆题型3 斜边的中线等于斜边的一半 7．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，已知点和，点是的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据点A和点B的坐标得到的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形的性质可得答案 ． 【详解】解：∵点，， ∴， 又∵， ∴， ∵点是的中点， ∴ ． 8．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接．若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形， ，，， 在中， ， ， ，， ． 9．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，于点，是边的中点，若． （1）的度数为________； （2）的值为________． 【答案】 45 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形的内角和计算； （2）根据勾股定理计算． 【详解】解：（1）设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴． ◆题型4 利用矩形的性质证明求解综合 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形是矩形，与相交于点，点在边的延长线上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，点在线段上，点在线段上，连接，若线段长为正整数，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ，，， ． 又， ， ，    ∵点在边延长线上， ， ∴四边形是平行四边形； (2)，，，， 【分析】（1）根据矩形的性质得，，，根据等腰三角形三线合一，得，最后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）过点D作于点H，连接，利用等面积法计算出，则的长最小值等于的长，最大值等于的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点D作于点H，连接， ，， ， 矩形，， ，，，， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点在线段上，点在线段上， ，即， 长为正整数， 的长可以为，，，，． 11．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，由线段垂直平分线的性质可得，，，证明，得出，从而可得，即可得证； （2）由矩形的性质可得，设，则，利用勾股定理求出，再由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 12．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且． (1)当四边形是矩形时． ①求的度数； ②判断线段、和数量关系，并证明： (2)如图2，当时，若，，求的周长． 【答案】(1)①； ②，理由如下： 如图，连接，， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴，， 过作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质求解即可；②如图，连接，，过作交的延长线于，证明，，，进一步可得结论． （2）如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则，证明，可得，，记，的交点为，证明，设，则，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②略 （2）解：如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 记，的交点为， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴的周长为． ◆题型5 矩形与折叠问题 13．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在矩形纸片中，，．现将纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于点．将沿翻折，使点落在内部点处，连接． (1)求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质及折叠，可知，设，用表示，在中，利用勾股定理即可求解； （2）设，根据折叠分别用表示，再利用矩形的内角是列方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，． ， 沿矩形对角线折叠， ， ． ． 设的长为，则，， 在中，，由勾股定理得 ， 解得 答：的长为． （2）解：设， 沿翻折，使点落在内部点处， ． 由（1）可知， ， ． 四边形是矩形， ， ． 即 解得， ． 答：的度数为． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点是射线上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． (1)当点落在边上时，四边形的形状是_______，此时线段长为_______． (2)当点、、在同一条直线上时，求线段长． (3)当为直角时，直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形；3 (2) (3)或 【详解】（1）解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴； （2）解：如图， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴CE=AC-AE=2，， 在中，， ∴， 解得：； （3）解：由折叠的性质得：，， 设， 当点F在边上时，则， ∵为直角， ∴， ∴点D，E，F三点共线， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点F在边的延长线上时，则， ∵为直角， ∴， ∴点D，E，F三点共线， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，线段长为或． 15．（25-26八年级下·山东临沂·期末）在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ② (3)的长为或 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，， ∴； （2）①略 ②解：， ， 设，则， ， 、， 在中，， ， 解得：， ． （3）的长为1或9        解：分两种情况讨论： 情况1：当点在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 情况2：当点在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、， ， 设，则、， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为或 ◆题型6 添一条件使四边形是矩形 16．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题 【详解】解：若使平行四边形是矩形， 可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形），等（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， （答案不唯一） ． 17．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（合理即可） 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由矩形的判定，添加或（合理即可）． 18．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵点E，F分别在边上，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵与对角线相交于点O， ∴； (2)（答案不唯一） 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）根据有一个角是直角的平行四边形，添加，即可. 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型7 根据矩形的性质与判定求解 19．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可以证明为直角三角形，根据三个角都是直角的四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，时，的值最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，当的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 20．（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，在梯形中，，，连接，．作交于点，，，则________． 【答案】 【分析】过点作于点，在上截取，先证明四边形是矩形，勾股定理求得的长，进而根据等面积法求得，勾股定理求得，根据已知推导得出，设，则，进而在中，根据勾股定理建立方程，求得得出，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，在上截取， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴ 在中，，， ∴ ∵ ∴， 在中， 设， ∵， ∴ ∵，     ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴. 21．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． ◆题型8 根据矩形的性质与判定解决多结论问题 22．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在上点处，延长、交于点，有下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【分析】根据折叠的性质可得，，结合角平分线的性质可得，从而判断①；通过证明和，得出，利用等腰三角形三线合一的性质判断②；根据边长数量关系推导，判断④；假设是等边三角形，推导角度矛盾，判断③ 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：，， 平分，， ．故①正确，符合题意 在和中， 在和中， 点是的中点 ．故④正确，符合题意 是等腰三角形 平分 ．故②正确，符合题意 若是等边三角形，则 这与矛盾 不是等边三角形．故③错误，不符合题意 综上所述，正确的结论是①②④ 23．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在等腰三角形中，是底边上一动点，作交于点，交于点．给出下面四个结论： ①四边形是平行四边形； ②； ③若点运动至中点，则四边形是菱形； ④若，连结，则的最小值为 上述结论中，正确结论的序号是___________． 【答案】④ 【分析】根据平行四边形的判定即可知①正确；由平行四边形的性质得和，结合平行和等腰三角形的性质即可得，则，已知等腰三角形，那么，与不一定相等，则②错误；证明，由全等三角形的性质得出，结合①得出四边形是菱形，则③正确；证明平行四边形是矩形，则，根据时，最小，进而可判断④正确 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，则①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形为等腰三角形， ∴， ∴， 则， ∴， ∵三角形为等腰三角形， ∴与不一定相等，则②错误； 如图， ∵点运动至中点，则, ∵，， ∴,, ∴, ∴, 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，则③正确； 如图，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵时，最小， ∴此时最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则④正确． 24．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，矩形中，点为对角线的中点，连接，点在上，，，，有下列结论： ①；②；③矩形的面积为；④若为线段上的动点（不包括端点），连接、，的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【分析】根据矩形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知①正确；根据矩形的性质与角的和差关系可得②；延长，使得，连接，由题意易得，，则有，设，则有，然后根据勾股定理可得③；作点关于的对称点，连接，取的中点，连接，根据“将军饮马”问题可得④． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点为对角线的中点， ，故①正确； 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 延长，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴矩形的面积为，故③正确； 作点关于的对称点，连接，取的中点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为线段的长， 由③可知：， ∵为的中点，是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为，故④错误； 综上所述：正确的有①②③． ◆题型9 与矩形的性质与判定有关的作图 25．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点． (1)尺规作图：试确定点，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，若矩形的周长为，面积为，求的长． 【答案】(1)如图，点就是所要求作的点 ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 由作图可得，， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，点就是所要求作的点； （2）由矩形的性质可得，，再由矩形的周长和面积公式并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∵矩形的周长为14，面积为12， ，， ， ， ， ∵四边形是菱形， ． 26．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个以为边的矩形； (2)在图2中，作一个以为对角线的菱形． 【答案】(1)解：如图，矩形为所求； (2)解：如图，菱形为所求． 【分析】（1）连接，根据正六边形的性质，等边对等角，以及角的和差关系可知：，则矩形为所求； （2）连接，交于点，根据正六边形的性质，可得，均为等边三角形，可得，则菱形为所求． 【详解】（1）略 （2）略 27．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接． (1)尺规作图：作边的中点，并分别连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)如图所示，点F及线段，即为所求． (2)证明：在中，，点F为的中点， ，． 四边形是菱形， ，． ， 又， 四边形为平行四边形． ， 是矩形． (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明四边形为平行四边形．再由即可证明结论成立； （3）求出．证明．作于点G．求出．，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是矩形， ． 四边形是菱形， ． ， ． 如图，作于点G． 在中，． ． ． ． ◆题型10 矩形的性质与判定的综合问题 28．（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分，平行四边形中，， ∴，且， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． 又∵，， ∴四边形为平行四边形． 在菱形中，， ∴， ∴平行四边形为矩形． (2)5 【分析】（1）证明四边形为平行四边形．再证明，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质、菱形的性质、勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，，在菱形中，，且，， ∴菱形边长 ， ∴ ． 29．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，点是线段的中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， ， 平行四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先根据两组对边平行判定四边形是平行四边形，再结合，有一个角是直角的平行四边形为矩形完成证明． （2）先求出，由勾股定理算出，再借助三角形面积法，求出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ∴在中，， ∵四边形是矩形， ，， ， 即， ． 30．（25-26八年级下·上海松江·期末）如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F． (1)当点E落在边上时，求的长度； (2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形； (3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：如下图，连接， 由折叠可知，， ∴垂直平分，即， ∵G、H分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵G、J分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形； (3)存在，线段的长度为或 【分析】（1）首先根据矩形的性质可得，再由折叠可知，，在中，由勾股定理解得的长度，进而可得；设，则，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （2）连接，易得垂直平分，再根据三角形中位线的性质可得，进而证明四边形为平行四边形；再证明，即可证明结论； （3）分点在下方和点在上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴， 由折叠可知，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，可得， ∴，解得， ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论： 情况1，当点在下方时，如下图，连接， 由折叠可知，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在中，可得， ∴，解得， ∴线段的长度为； 情况2，当点在上方时，如下图，连接， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在中，可得， ∴，解得， ∴线段的长度为． 综上所述，线段的长度为或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，由矩形性质得，，结合已知可得，利用等腰三角形性质求出，进而求得． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形的判定逐一分析即可． 【详解】解：A选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； B选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，B选项正确，不符合题意； C选项，平行四边形中， ，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，C选项正确，不符合题意； 选项，当时，平行四边形是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题意． 3．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠性质和矩形性质，将阴影部分周长转化为矩形周长计算解题． 【详解】∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ． 4．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）图①是某可伸缩书架，其示意图如图②所示，连杆，连杆的交点M为，中点，N为，中点，P为，中点，Q为，中点，当的长由缩短至时，书架两侧的挡板与之间的距离（     ）    A．伸长了 B．伸长了 C．伸长了 D．伸长了 【答案】B 【详解】解：连接，，，    ∵点M为，中点，， ∴四边形是矩形， ∴，， 当时，； 当时，； ∴当的长由缩短至时，与之间的距离的长度伸长， 同理，当的长由缩短至时，，，各伸长， ∴当的长由缩短至时，书架两侧的挡板与之间的距离． 二、填空题 5．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知直角三角形两边长为1和，则此直角三角形斜边上的中线长是__________． 【答案】或1/1或 【分析】本题需分类讨论，分已知两边均为直角边和较长边为斜边两种情况，利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当和均为直角边时， 由勾股定理得，斜边长为， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为； 情况2：当为斜边，为直角边时， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长为． 综上所述，此直角三角形斜边上的中线长是或． 6．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，于点E．若，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出对角线互相平分且相等，结合已知线段比例关系推导出为的中点，利用线段垂直平分线的性质证得，进而判定为等边三角形，求出对角线的长，再利用勾股定理求出的长，最后计算矩形面积即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 矩形的面积． 7．（黑龙江齐齐哈尔市建华区2025-2026学年度下学期期末学业考试八年级数学试题）在矩形中，，点在边上，，点在边上，若是等腰三角形，则的长为_____． 【答案】或或 【分析】画出图形，根据矩形及等腰三角形的性质分三种情况进行讨论解答． 【详解】解：在矩形中，，， ①当时，如图，过点E作于点F， 则，四边形是矩形， ∴， ， ． ， ． ②当时，如图， ， ， ． ③当时，如图，过点P作于点G，设， 则四边形是矩形， ∴， ， ， 在中，由勾股定理可得， 解得． 综上可知的长为或或． 8．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点、分别在、边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处． （1）__________； （2）当点与点重合时，__________． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质和矩形的性质即可求出答案； （2）在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得 ，过点作于点M，则得到，由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，四边形与关于直线对称， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴， （2）当点和点重合时，即点落在点A处，由折叠的性质可知， ， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即，解得， 即， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，， 即，解得，即， 过点作于点M， ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 在中， 三、解答题 9．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在矩形中，是对角线的中点，过点作直线交于点，交于点，连接，． (1)请你判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)解：四边形是菱形．理由如下： 四边形是矩形， ， ，． 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，则可得到，；证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进而可证明平行四边形是菱形． （2）根据菱形的性质，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而求出的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在菱形中，对角线、相交于点， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； (2)14 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质推出，据此可证明四边形是矩形； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形中，对角线、相交于点， ∴，即，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形的周长． 11．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得出，根据可证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是矩形； （2）根据中点的定义及矩形的性质得出，，利用勾股定理求出，根据中位线的性质求出，，根据矩形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵为的中点，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 12．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图1，矩形的对角线、交于点． (1)若，，求的长； (2)如图2，延长至点，使，取的中点，连接、，请判断与位置关系，并说明理由； (3)如图3，点、点分别是的延长线和反向延长线上的点，且，连接、，在上取点使得，在上取点使得，、相交于点，已知，，求的值． 【答案】(1) (2)证明：，理由如下∶ 延长与的延长线交于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得和，利用勾股定理求解即可； （2）延长与的延长线交于点，结合矩形的性质得和、，有，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，即可证明，得到和，进一步得到，即可证明，结合等腰三角形的三线合一得到； （3）连接、，根据矩形的性质得和，得到，即可证明，进一步证明四边形为平行四边形，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据同底等高得到和，即有，得到，进一步证明，有和，由平行线的性质得，即可求得和、，结合和，化简即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴； （2）略 （3）解：连接、，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则， ∴四边形为平行四边形， ∴， 过点作交于点，过点作交于点，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ． 13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图1，矩形的对角线、相交于点，且、，连接． (1)求证：与互相垂直且平分； (2)如图2，若取的中点，连接交于点，求证：； (3)如图3，过点作射线分别交，的延长线于点，，连接，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵、， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵、是菱形的两条对角线， ∴与互相垂直且平分； (2)证明：设与交于点， 可知，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵P是中点，O是中点， ∴， 即 ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，可知平行四边形是菱形，根据菱形的性质即可证明； （2）设与交于点，根据菱形的性质可知，，，根据矩形的性质得到，可知，得到，根据中位线定理求出，进而得到，证明，即可证明； （3）设，根据矩形的性质得到，可知直线到直线的距离等于矩形的水平边长，根据三角形面积公式得到，即可求出的面积． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，设， ∵矩形， ∴， ∴直线到直线的距离等于矩形的水平边长， ∵，， ∴， 即， ∴． 14．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩形纸片中，，点是射线边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平如图1． 【操作探究】 (1)如图2，若点落在矩形内部，过点作交于，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，若点为的三等分点，点落在矩形内部，再取的中点，连接并延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若，，在翻折过程中，当点落在直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2)，理由如下： ∵点为的三等分点， ∴， ∵取的中点， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可知，由题意易得，则有，然后根据菱形的判定定理进行求解即可； （2）由题意易得，由折叠的性质可知：，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求解； （3）由题意可分：当点落在矩形内部，当点落在矩形外部，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意可分：当点落在矩形内部，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ∴， ∴； 当点落在矩形外部，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $