第一章空间向量与立体几何（暑假单元测试卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高二上学期《空间向量与立体几何》单元卷，覆盖空间向量运算、线面关系等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，落实空间观念、推理能力与运算能力等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|空间直角坐标系对称点（1）、向量夹角（4）、线面角（6）、异面直线夹角（7）|基础题（1）、中档辨析（9）、创新探究（8，正方体截面距离）| |填空题|3题/15分|向量数量积（12）、向量垂直求参数（13）、点到平面距离（14）|聚焦运算能力，结合几何直观| |解答题|5题/77分|线面垂直证明（15）、面面夹角（17）、二面角（18）、存在性问题（18）、球心位置与异面直线夹角（19）|综合考查空间建模与逻辑推理，如19题融合面面垂直与球几何，体现数学思维的严谨性|

2026-2027学年高二上学期单元测试卷 第一章《空间向量与立体几何》 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 3．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 4．已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 5．在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，过点A作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为3，4，5，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 10．下列命题中是真命题的是（   ） ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；②已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③，，，是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面；④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底． A．① B．② C．③ D．④ 11．已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．在线段上存在一点，使得平面 B．对于线段上的任意一点，都有 C．过，，三点作正方体的截面，则截面的面积为 D．若点在正方形所在平面内，且平面，则线段长度的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 13．若向量与垂直，则实数的值为 ． 14．在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. (1)设点为棱的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19．（17分）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期单元测试卷 第一章《空间向量与立体几何》 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称， 则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数， 故点关于平面的对称点坐标为. 故选：D. 2．已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 3．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【解析】由题意得，，则，则. 故选：A 4．已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【解析】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得. 故选：D 5．在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D 6．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ， 则, 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 7．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：如图2，分别取，，的中点，连接， 则，， 从而或其补角为异面直线与所成的角，易知,， 则由余弦定理得， 从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 方法二：以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 8．如图，在正方体中，过点A作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为3，4，5，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【解析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，，， 则， 令，则， 设，则为线段的中点， 因，到的距离分别为3，5，则到的距离分别为， 因，且为线段的中点，则到的距离分别为， 则， 又到的距离为，则，则，即，则， 则，， 则该正方体的棱长为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 10．下列命题中是真命题的是（   ） ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；②已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底；③，，，是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面；④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABCD 【解析】对于①，因为可以作为空间的一个基底，所以不共面， 又与共线，，所以不共面， 则也可作为空间的一个基底，故①正确； 对于②，因为，所以，与任何向量都共面， 所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故②正确； 对于③，因为，，不能构成空间的一个基底， 所以，，共面，则，，，四点共面，故③正确； 对于④，因为是空间的一个基底，所以不共面， 又，所以不共面， 则也是空间的一个基底，故④正确. 故选：ABCD. 11．已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．在线段上存在一点，使得平面 B．对于线段上的任意一点，都有 C．过，，三点作正方体的截面，则截面的面积为 D．若点在正方形所在平面内，且平面，则线段长度的取值范围是 【答案】ABD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 对于A，，， ，由，得， 即当点时，，而平面， 因此平面，A正确； 对于B，由选项A知，，而，， 因此对于线段上的任意一点，都有，B正确； 对于C，取中点，，即，而直线， 则，四边形是符合题意的截面，， 等腰梯形的高，该截面面积，C错误； 对于D，设，则， 由平面，得，解得， 则，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【解析】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 13．若向量与垂直，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】向量与垂直， 所以，解得. 故答案为： 14．在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【解析】因为，，两两垂直，故可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则故可取， 又，故点到平面的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）连接，在正方体中有平面，又平面， 所以，又因为四边形是正方形，E是的中点， 所以，又,平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由棱长为2， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．（15分）如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【解析】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2） 因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为，所以， 所以．   设平面的法向量为， 则 取，得， 所以． 因为平面， 所以平面． 所以为平面的一个法向量．   设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．（17分）如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. (1)设点为棱的中点，求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由已知，，可知，则， 又矩形中有，且， 平面，所以平面， 又， 则平面，所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以，所以， 又平面，所以平面. （2）因为， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则， 即为平面的一个法向量， 因为， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则， 即为平面的一个法向量， 设平面与平面的所成角为， 则，故. （3）存在，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 理由如下： 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值等于. 设， 则. 所以 . 所以，解得或(舍去)， 因此，线段上存在一点，当点与点重合时， 直线与平面所成角的正弦值等于. 19．（17分）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【解析】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $