解题大招22 利用导数轻松突破曲线的切线、公切线问题（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦导数几何意义及切线问题，涵盖切线方程、公切线、参数求解等核心考点，按基础知识点-拓展定理-题型应用逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题典例及跟踪训练，帮助学生系统突破切线问题难点。 讲义创新融入“待定切点法”“对照法”等解题大招，结合分层训练培养数学思维与逻辑推理能力，如通过设切点列方程解决过点切线问题，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

解题大招22 利用导数轻松突破曲线的切线、公切线问题 知识点0 导数的几何意义 1.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数值． 2.函数的图象在某点处的切线方程 函数的图象在点处的切线方程为. 知识点02 求曲线切线方程的方法 1．求曲线在点P处的切线方程 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2．求曲线过点P的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【注意】区分在某点处的切线与过某点的切线 (1)在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 知识点03 与切线有关的几大秒杀定理（大招拓展） 1．切线求和定理 函数在点处的切线方程分别为,则函数在点处的切线方程为 2．共切点公切线定理 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 题型01求切线的斜率、倾斜角、切点坐标 利用导数求切线的斜率、倾斜角或切点坐标的策略 核心是运用导数的几何意义：函数在某点的导数即为该点处切线的斜率. 1.已知切点：对函数求导，代入切点横坐标得斜率，再由斜率计算倾斜角. 2.已知过非切点的点：设切点为，导数得斜率，同时斜率满足两点斜率公式，联立方程求解切点与斜率. 3.已知倾斜角：先得斜率，令导数等于k，解方程得切点横坐标，代入原函数得纵坐标. 【典例1-1】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，令，则，解得， 则曲线在处的切线的倾斜角为. 【典例1-2】（25-26高二下·湖北·期末）若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________. 【答案】 【分析】设所求切点为，可得,解方程即可求解. 【详解】设所求切点为，由于, 所以，解得： 则其切点坐标为 【跟踪训练】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则， 即在点处的切线的斜率为， 设该处切线的倾斜角为，则， 因为，所以. 2．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 3．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 【答案】/ 【详解】因为，则，所以， 解得，所以曲线在处的切线斜率为. 题型02 求在曲线上一点处的切线方程——公式法 利用公式法秒求切线方程 函数的图象在点处的切线方程为，因而求在曲线上一点P处的切线方程时，先求得点P处的导数值，即得切线的斜率值，再将点P的坐标代入上述切线方程，整理即得所求. 【典例2】（2026·辽宁朝阳·二模）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导数得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为函数，所以，则在处的切线斜率是， 函数过， 在处的切线方程是，即得. 【跟踪训练】 1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 2．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题得，解得， 可得的定义域为. 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以，则， 此时，满足为偶函数. 当时，，则， 所以， 则在处的切线方程为. 题型03求过一点的曲线的切线方程——待定切点法 待定切点法求过一点的曲线的切线方程 1.求曲线的切线方程要分清“在某点处”与“过某点”的切线方程的不同.若切点未知，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解. 2．待定切点法的具体步骤：设出切点坐标后，由点斜式得到切线方程，再由该切线过已知点列出关于切点横坐标的方程，解方程求得切点坐标，从而即可求得切线方程. 【典例3】（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【答案】 【详解】已知，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 此时切线方程为， 因为曲线的一条切线经过点， 所以，即， 因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为， 则该切线方程为，即. 【跟踪训练】 1．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【详解】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 【答案】或 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 整理得， 故有， 整理得， 故或， 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为， 即； 即直线的方程为或. 3．（25-26高二下·江西宜春·期中）已知曲线， (1)求函数的单调区间； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1)函数的单调递增区间为： ，递减区间为： (2)或 【详解】（1）函数定义域为， 由函数，可得 ， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递增区间为： ； 递减区间为：. （2）因为点不在曲线上， 设切点为，所以 ， 所以切线方程为 ， 又因为在切线上，所以 ， 即 ，解得或 则， 当切点为时，切线的斜率为 ，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为 ，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或 题型04 两条切线平行、垂直问题 两切线平行、垂直问题的求解策略 1．平行判定：令两切点处导数值相等，额外排除两条切线重合的特殊情况，即可求解切点参数. 2．垂直判定：令两切点处导数值乘积为-1，注意补充验证其中一条切线斜率为0、另一条斜率不存在（垂直x轴）的特殊场景，再求解对应参数. 【典例4】（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，再结合直线垂直运算求解. 【详解】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 2．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【答案】/ 【详解】由，可得．当时，． 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以． 3．（2026·辽宁锦州·二模）已知图象上有两条切线互相垂直，则________. 【答案】0 【分析】对求导得到切线斜率的表达式，设两条互相垂直切线的斜率分别为、，根据两直线垂直的条件，可得；结合导数的值域，分析满足时的取值. 【详解】，； 曲线上任意一点处切线的斜率为，由于，即斜率的取值范围为. 要使图象上有两条切线互相垂直，即存在，使得. 区间内必须同时包含正数和负数，即，得. 设，则. ，即； ，得； ，； ，解得，得. 当时，斜率的取值范围为，可取，，符合题意. . 题型05 已知切线或切点求参——方程（组）法 构造方程（组）破解已知切线或切点求参问题 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组) ： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上，故满足切线方程； (3)切点在曲线上，故满足曲线方程. 【典例5-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 【典例5-2】（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【跟踪训练】 1.（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，曲线在处的切线过点和点， 则此切线的斜率为． 2．（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求复合函数的导数，再应用倾斜角得出斜率，计算求参即可. 【详解】因为曲线，所以， ， 在处的切线的倾斜角为，则 则. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】 设切点的横坐标为．先利用切线斜率等于曲线在切点处的导数值求出，再利用切点同时在曲线和切线上求出参数． 【详解】设，则． 设直线与曲线相切于横坐标为的点． 因为直线的斜率为，所以，即． 因此，解得． 切点同时在直线和曲线上，所以当时，两者的函数值相等，即． 整理得，解得． 4．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________． 【答案】 【详解】曲线求导得， 由题意知，解得， 则点在直线上，故，解得， ． 题型06 切线的条数问题 切线的条数问题求解策略 由切线的条数求参，核心是转化为方程实根个数问题： 1．设曲线切点为(x0，f(x0))，求导得切线斜率，写出切线方程； 2．结合切线过定点等条件，整理出关于x0的方程，将切线条数等价于该方程的实根个数； 3．研究函数g(x)的单调性、极值与最值，结合图像走势，分析参数对实根个数的影响，确定参数取值范围； 4．注意排除切线重合的特殊情况，避免重复计数. 【典例6】（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设切点为， 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根. 因为， 所以切线方程为， 即为过切点的切线， 又在此切线上， 所以， 即， 所以， 令， 所以， 所以，则或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 当趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 作出函数的图象，如图所示： 又不在曲线C上，所以， 由的图象可知. 【跟踪训练】 1．（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：， 整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与的图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 作出的大致图象： 由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足 综上所述时，原方程有两个零点. 2．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设切点坐标，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成在上单调，进而可求解. 【详解】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 3．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知函数，若过点可以作曲线的3条切线，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先求出过点的切线方程，原题等价于有3个不同的实数根，设，求的单调性，极值，列式解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】设切点坐标为，由题可得，所以切线的斜率， 切线方程为，因为切线过点， 所以，即. 原题等价于上述关于的方程有3个不同的实数根， 设，则， 令，得，， 当时，，单调递增，当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，， 所以， 解得，所以的取值范围是. 题型07 与切线有关的最值问题 与切线有关的最值问题求解策略 1.设切点(x0，f(x0))，利用导数得切线斜率，写出切线方程； 2.将切线相关目标量（如斜率、截距、定点到切线距离等）表示为关于x0的函数； 3.对求导，找导数为0的点，分析单调性确定极值点； 4． 比较极值点与定义域端点的函数值，得到最值. 【典例7-1】在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值， 设，求导得，则， 整理得，而函数在上单调递增， 又，因此，点，所以. 故选：D 【典例7-2】（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 【跟踪训练】 1．已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】因为，所以. 设， 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 当两切线平行且斜率相等时，最小，即两切线与直线垂直时，最小. 所以令，则；令，则. 此时. 所以. 故选：A. 2．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 3．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 题型08利用定理秒杀共切点的公切线问题 共切点公切线定理： 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 当两曲线的公切线切点相同时，可利用上述定理直接列方程，从而确定参数的取值. 【典例8-1】（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 【典例8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______． 【答案】0或1 【分析】利用切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设公共的切点为，则在函数中，当时，， 则在点处的切线方程为：， 在函数中，当时，， 同理可得在P点处的切线方程为：， 又两个函数在公共点处的切线重合，所以， 解方程组可得或，所以a的值为0或1． 【跟踪训练】 1．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 【答案】 【详解】因为，所以，则， 切线斜率，切线方程：为，即， 设与相切于点， 因此，切点在切线上， ， 即. 2．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 3．（25-26高二下·湖北·期中）若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【答案】2 【分析】根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得. 【详解】由求导得，则曲线在处的切线方程为，即， 设曲线的切线的切点为，由求导得， 依题意可得，解得. 题型09对照法速解切点不同的公切线问题 对照法速解切点不同的公切线问题 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故对照可得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2)，再通过解方程确定公切线方程的系数，从而得到公切线方程. 【典例9-1】(2025·广东茂名模拟)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】设y＝ln x，y＝x2＋2ax图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为y＝＋ln x1－1，y＝x－，则＝2x2＋2a，ln x1－1＝－，所以2a＝－2x2，设f(x)＝－2x，f'(x)＝2(x－1)，f'(1)＝0，令g(x)＝f'(x)＝2，所以g'(x)＝2＞0，所以g(x)在R上单调递增，且f'(1)＝0，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以2a≥f(1)＝－1，a≥－.故选B. 【典例9-2】(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　. 【答案】ln2 【详解】由题，令f(x)＝ex＋x，则f'(x)＝ex＋1，所以f'＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g'(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln＋a，所以a＝ln 2. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 2．（25-26高三上·江苏·开学考试）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数的几何意义求出公切线的斜率，得到与的关系，再根据切线方程的截距相等求出与的值，最后利用两点间距离公式求得答案. 【详解】由，得曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，令，得， 由，得曲线在处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，令，得， 所以，消去可得， 令，，则， 令，则， 令，得，即在上单调递减， 令，得，即在上单调递增， 又时，，故，即， 所以函数在上单调递减，且，所以，则， 所以，， 所以线段的长度为. 故选：C. 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【答案】4 【分析】通过切线斜率即可直接求得的值，再设函数的图象的切点为，由切线斜率得到，结合函数单调性求得，得到，即可求解. 【详解】设直线与函数的图象的切点为， 由求导得，由，得， 所以直线与函数的图象的切点为， 将点代入，解得. 设直线与函数的图象的切点为， 又，则（*）. 由，代入上式得， 因为函数单调递增，且， 所以，代入（*），解得， 所以. 4．（2026·湖南·三模）已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________. 【答案】 【详解】由，可得，则， 所以切线方程为，即， 由，可得，则， 所以切线方程为，即； 由题意可知，，解得， 所以. 题型10 判断公切线的条数 零点个数法解析公切线的条数问题 1.判断公切线的条数：运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 2．由公切线条数求参：利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 【典例10-1】(2026·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设公切线与y＝x2的切点为(x1，x)， 与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝， 则在切点(x1，x)处的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x， 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为 y－ln x2＝(x－x2)， 即y＝x＋ln x2－1， ∴ 整理得到x－ln x1＝1＋ln 2， 令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)， 则f′(x)＝2x－＝， f′(x)>0⇒x>；f′(x)<0⇒0<x<， ∴f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， f(x)min＝f ＝＋ln 2<1＋ln 2， 即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，则方程x－ln x1＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2. 【典例10-2】 (2026·保定模拟)若曲线f(x)＝(k<0)与g(x)＝ex有三条公切线，则k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】设公切线为l，P(x1，y1)是l与f(x)的切点，由f(x)＝， 得f′(x)＝，设Q(x2，y2)是l与g(x)的切点， 由g(x)＝ex，得g′(x)＝ex， 所以l的方程为y－y1＝(x－x1)， 因为y1＝， 整理得y＝x＋， 同理y－y2＝(x－x2)， 因为y2＝， 整理得y＝x＋(1－x2)， 依题意，可得 消去x1，得4k＝－(x2－1)2， 由题意此方程有三个不相等的实根， 设h(x)＝－ex(x－1)2， 即直线y＝4k与曲线h(x)有三个不同的交点， 因为h′(x)＝ex(1－x2)， 令h′(x)＝0，则x＝±1， 当x<－1或x>1时，h′(x)<0； 当－1<x<1时，h′(x)>0， 所以h(x)有极小值为h(－1)＝－4e－1， h(x)有极大值为h(1)＝0， 因为h(x)＝－ex(x－1)2，ex>0，(x－1)2≥0，所以h(x)≤0， 当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0； 当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于－∞， 故h(x)的大致图象如图． 所以当－4e－1<4k<0，即－<k<0时，直线y＝4k与曲线h(x)有三个交点． 【跟踪训练】 1．（2025·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解. 【详解】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C 2．(2026·桂林模拟)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,1) B. C. D. 【答案】D 【详解】y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m， y＝(a>0)在点处的切线斜率为， 如果两个曲线存在公切线，那么2m＝. 又由斜率公式得到2m＝， 由此得到m＝2n－2， 则4n－4＝有解， 则y＝4x－4，y＝的图象有公共点． 当直线y＝4x－4与曲线y＝相切时，设切点为(s，t)，则＝4，且t＝4s－4＝， 可得t＝4，s＝2， 即有切点(2,4)，a＝， 故a的取值范围是a≥. 3．若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象有两条公切线，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－∞，1) 【详解】设公切线与函数f(x)，g(x)分别切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则过A，B的切线分别为y＝x＋ln x1－1，y＝2x2x－x， 则有 由ln x1－1＝－x得x1＝， 代入＋a＝2x2得a＝2x2－， 依题意知y＝a与y＝2x－有两个不同的交点， 令φ(x)＝2x－， ∵φ′(x)＝2－2x，令φ′(x)＝0，得x＝1， 当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0， ∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ∴φ(x)max＝φ(1)＝1， 又x→－∞时，φ(x)→－∞； x→＋∞时，φ(x)→－∞， 故a<1 题型11利用公切线秒解不等式恒成立问题 利用公切线秒解不等式恒成立问题的具体策略 核心逻辑：不等式f(x)≥g(x)恒成立等价于f(x)图象全程位于g(x)上方、无交点，公切线是两函数位置关系的临界边界，切点处两函数的函数值、导数值均相等. 求解步骤：先设公切线方程，联立两函数的切点等式解出切线参数与切点坐标，再验证公切线为两函数的共同分界，即可快速推导参数范围，规避复杂分类讨论. 【典例11】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过恒成立条件判断出相切，构造出新函数后通过单调性求最值. 【详解】恒成立，则说明始终在上方或相切. 设曲线与直线切于点，因为， 则该点处切线斜率， ，且. . 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以. 【跟踪训练】 1．（2026·山西运城·二模）若对恒成立，则当取得最小值时，（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】整理原不等式得，构造函数，求导分析单调性和零点，进而作出原函数简图并结合图象分析直线截距，再求解即可. 【详解】由，得． 设函数，则，则在上单调递增． 因为，， 所以存在唯一的零点，且． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，当时，． 作出的大致图象，如图所示，直线的斜率大于0，在轴上的截距为， 由图可知，的最小值为1，此时． 2．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把原不等式变形为，将问题转化为找一条直线恒位于函数上方，求的最小值，通过研究的单调性，发现当直线与在处相切时，横截距最大，对应最小，得到切线方程，再对比直线方程，即可得解. 【详解】任意，恒成立， 恒成立，即. 令，直线，为直线的横截距， ，在上单调递增，在上单调递减，且， 时，；时，， ∴当直线与在处相切时横截距最大，有最小值，此时，， 即此时. 下证： 令，则，, 在上为正数，在上负数， 所以即在上单调递增，上单调递减， 因为，， 时，；时，， 所以在上为负数，在上为正数， 在单调递减：上单调递增，. 综上所述，当最小时，，此时. 3．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解． 【详解】因为不等式恒成立， 所以不等式恒成立． 设，， 则由题意知函数的图象恒不在直线的下方， 又， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 当时，，且， 又直线恒过点， 当直线与曲线相切时，设切点为， 则，解得或， 故当直线与曲线相切时的值为或． 在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示， 结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为． 1．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以，且， 根据图象得． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 3．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 4．（25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知曲线，求导得， 设曲线在点处的切线倾斜角为，其中， 根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率， 因此，由于，得，解得， 因此的最小值为，故B正确. 5．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 7．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围. 【详解】，， 设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点， 则，，， 所以． 即，由， 得，代入，得关于的方程． 等式两边取对数得， 令，定义函数， 其定义域为（当）或（当）． 则， 当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值； 当时，同理可得在处取极小值， 故有唯一极小值点，极小值为． 的解的个数对应公切线的条数： 若，则有两个解，即有两条公切线； 若，则有一个解，即一条公切线； 若，则无解，即无公切线． 当时，则，分子（因恒成立），故； 当时，可得，令可得，即，解得． 此外，时无公切线，时仅一条． 因此，恰好有两条公切线时的取值范围是． 8．(多选)（25-26高二下·江苏南通·期末）设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 【答案】ACD 【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数对称性的性质判断B，利用斜率的几何意义并结合导数判断C，求解出零点判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递增，故A正确， 对于B，由题意得，， 得到，则直线不是曲线的对称轴，故B错误， 对于C，设切点为，令， 得到，解得，则切点为， 可得切线方程为，化简得， 得到直线是曲线的切线，故C正确， 对于D，令，则， 因式分解得，解得或或， 则有三个零点，故D正确. 9.（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于；…… 由此能得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确，其中记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n；则． D．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n，则． 【答案】ABD 【分析】A. 利用导数求切线斜率，写出切线方程后令纵坐标为零，解得横坐标即为；B. 对一般点 重复切线步骤，令切线方程纵坐标为零，得递推关系式；C、D. 二分法按区间中点逐步逼近，牛顿法按切线迭代逼近，比较两者与真实根的误差大小. 【详解】，所以，，则在处的切线为， 令，得，即，故A正确； 在处的斜率为， 所以在处的切线方程为， 令，得，即，所以，故B正确； 方程在的正根为， 用“二分法”求方程在上的近似解： 第一步：中点，，新区间； 第二步：中点，，新区间； 第三步：中点. 又用“牛顿切线法”求近似解：，，， 第三步. 故，故C错误，D正确． 10．（25-26高二下·上海·期末）函数在处的切线斜率为________. 【答案】/ 【详解】，当时，， 所以函数在处的切线斜率为. 11．（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 12．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，则a的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】当求出切点坐标和切线斜率，再用点斜式写出方程即可；对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，由导数的几何意义，等价于对所有恒成立，再分离参数求解即可. 【详解】若，则， 可得则，， 所以在点处的切线方程为，即. 因为对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立， 所以图象上的任意两点A，B连线的斜率 恒成立， 由导数的几何意义，等价于对所有恒成立， 即恒成立， 令， 因为， 当且仅当时取等号，有最大值. 所以，即a的取值范围是. 13．（2026·河南郑州·模拟预测）若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________． 【答案】2 【分析】利用切点导数相等结合切点在直线上的截距列等式，利用换元法得出参数约束方程及，再利用隐含条件，找到所有零点，再代入比较大小． 【详解】设直线l与的图象相切于点， 直线l与的图象相切于点， 则，，得，得 ，令，则，， ，故， 设，显然为的一个零点，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故， 而，，， 的两根位于两侧，已知一根为1， 另一根位于区间内， 当时，， ，求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，， 的最大值为2． 14．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，，，设曲线与在区间内的交点为P. (1)求点P的坐标； (2)设两曲线在点P处的切线夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程，，可得的值，再代入的解析式，可得点的坐标. （2）利用导数的几何意义求两函数在点P处的切线斜率，再利用两直线的夹角公式求两直线夹角的正切值，最后利用同角三角函数的基本关系求. 【详解】（1）由，又，得. 因为，所以，， 故可化简为，从而. 又，所以. 所以. 因此交点坐标为. （2）对求导，得. 所以在P处的切线的斜率. 对求导，得 所以在P处的切线的斜率. 两条切线夹角满足.. 代入，，得. 于是. 15．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过极值点的函数值和导数值列方程组求解参数，并借助导数及极值点定义进行检验； （2）借助导数的几何意义设切点构造函数求最值. 【详解】（1），由题意可得，解得； 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， 有， 整理得，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招22 利用导数轻松突破曲线的切线、公切线问题 知识点0 导数的几何意义 1.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数值． 2.函数的图象在某点处的切线方程 函数的图象在点处的切线方程为. 知识点02 求曲线切线方程的方法 1．求曲线在点P处的切线方程 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2．求曲线过点P的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【注意】区分在某点处的切线与过某点的切线 (1)在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 知识点03 与切线有关的几大秒杀定理（大招拓展） 1．切线求和定理 函数在点处的切线方程分别为,则函数在点处的切线方程为 2．共切点公切线定理 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 题型01求切线的斜率、倾斜角、切点坐标 利用导数求切线的斜率、倾斜角或切点坐标的策略 核心是运用导数的几何意义：函数在某点的导数即为该点处切线的斜率. 1.已知切点：对函数求导，代入切点横坐标得斜率，再由斜率计算倾斜角. 2.已知过非切点的点：设切点为，导数得斜率，同时斜率满足两点斜率公式，联立方程求解切点与斜率. 3.已知倾斜角：先得斜率，令导数等于k，解方程得切点横坐标，代入原函数得纵坐标. 【典例1-1】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高二下·湖北·期末）若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________. 【跟踪训练】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 题型02 求在曲线上一点处的切线方程——公式法 利用公式法秒求切线方程 函数的图象在点处的切线方程为，因而求在曲线上一点P处的切线方程时，先求得点P处的导数值，即得切线的斜率值，再将点P的坐标代入上述切线方程，整理即得所求. 【典例2】（2026·辽宁朝阳·二模）函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 题型03求过一点的曲线的切线方程——待定切点法 待定切点法求过一点的曲线的切线方程 1.求曲线的切线方程要分清“在某点处”与“过某点”的切线方程的不同.若切点未知，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解. 2．待定切点法的具体步骤：设出切点坐标后，由点斜式得到切线方程，再由该切线过已知点列出关于切点横坐标的方程，解方程求得切点坐标，从而即可求得切线方程. 【典例3】（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【跟踪训练】 1．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 3．（25-26高二下·江西宜春·期中）已知曲线， (1)求函数的单调区间； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 题型04 两条切线平行、垂直问题 两切线平行、垂直问题的求解策略 1．平行判定：令两切点处导数值相等，额外排除两条切线重合的特殊情况，即可求解切点参数. 2．垂直判定：令两切点处导数值乘积为-1，注意补充验证其中一条切线斜率为0、另一条斜率不存在（垂直x轴）的特殊场景，再求解对应参数. 【典例4】（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 3．（2026·辽宁锦州·二模）已知图象上有两条切线互相垂直，则________. 题型05 已知切线或切点求参——方程（组）法 构造方程（组）破解已知切线或切点求参问题 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组) ： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上，故满足切线方程； (3)切点在曲线上，故满足曲线方程. 【典例5-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例5-2】（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________． 题型06 切线的条数问题 切线的条数问题求解策略 由切线的条数求参，核心是转化为方程实根个数问题： 1．设曲线切点为(x0，f(x0))，求导得切线斜率，写出切线方程； 2．结合切线过定点等条件，整理出关于x0的方程，将切线条数等价于该方程的实根个数； 3．研究函数g(x)的单调性、极值与最值，结合图像走势，分析参数对实根个数的影响，确定参数取值范围； 4．注意排除切线重合的特殊情况，避免重复计数. 【典例6】（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知函数，若过点可以作曲线的3条切线，则实数的取值范围是___________. 题型07 与切线有关的最值问题 与切线有关的最值问题求解策略 1.设切点(x0，f(x0))，利用导数得切线斜率，写出切线方程； 2.将切线相关目标量（如斜率、截距、定点到切线距离等）表示为关于x0的函数； 3.对求导，找导数为0的点，分析单调性确定极值点； 4． 比较极值点与定义域端点的函数值，得到最值. 【典例7-1】在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【典例7-2】（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【跟踪训练】 1已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 2．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 3．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 题型08利用定理秒杀共切点的公切线问题 共切点公切线定理： 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 当两曲线的公切线切点相同时，可利用上述定理直接列方程，从而确定参数的取值. 【典例8-1】（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【典例8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______． 【跟踪训练】 1．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____. 2．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 3．（25-26高二下·湖北·期中）若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 题型09对照法速解切点不同的公切线问题 对照法速解切点不同的公切线问题 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故对照可得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2)，再通过解方程确定公切线方程的系数，从而得到公切线方程. 【典例9-1】(2025·广东茂名模拟)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【典例9-2】(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 2．（25-26高三上·江苏·开学考试）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 4．（2026·湖南·三模）已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________. 题型10 判断公切线的条数 零点个数法解析公切线的条数问题 1.判断公切线的条数：运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 2．由公切线条数求参：利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解． 【典例10-1】(2026·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【典例10-2】 (2026·保定模拟)若曲线f(x)＝(k<0)与g(x)＝ex有三条公切线，则k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【跟踪训练】 1．（2025·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．(2026·桂林模拟)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,1) B. C. D. 3．若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象有两条公切线，则实数a的取值范围是________． 题型11利用公切线秒解不等式恒成立问题 利用公切线秒解不等式恒成立问题的具体策略 核心逻辑：不等式f(x)≥g(x)恒成立等价于f(x)图象全程位于g(x)上方、无交点，公切线是两函数位置关系的临界边界，切点处两函数的函数值、导数值均相等. 求解步骤：先设公切线方程，联立两函数的切点等式解出切线参数与切点坐标，再验证公切线为两函数的共同分界，即可快速推导参数范围，规避复杂分类讨论. 【典例11】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·山西运城·二模）若对恒成立，则当取得最小值时，（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 1．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 7．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(多选)（25-26高二下·江苏南通·期末）设函数，则（   ） A．在区间上单调递增 B．直线是曲线的对称轴 C．直线是曲线的切线 D．有三个零点 9.（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于；…… 由此能得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确，其中记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n；则． D．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n，则． 10．（25-26高二下·上海·期末）函数在处的切线斜率为________. 11．（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 12．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，则a的取值范围是_____________. 13．（2026·河南郑州·模拟预测）若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________． 14．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，，，设曲线与在区间内的交点为P. (1)求点P的坐标； (2)设两曲线在点P处的切线夹角为，求. 15．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $