专题02 常用逻辑用语五类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以通法为纲、题型为目，系统构建常用逻辑用语解题体系，突出集合转化与量词命题的逻辑推理，培养数学思维的严谨性与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2条原则|区分充分必要条件的集合包含方向，明确全称与存在量词的恒成立/有解约束|以充分必要条件和量词命题为核心，构建逻辑推理基础| |题型归纳|5题型（各1典例+3变式）|题型一：集合包含关系转化；题型二：充要条件双向证明；题型三：全称/存在命题的参数求解；题型四：复合命题真假分类讨论；题型五：新定义逻辑转化|从单一逻辑关系到综合应用，再到新定义拓展，形成递进式知识链| |压轴挑战|16题（2单选+3多选+11解答）|综合运用逻辑用语解决复杂参数问题，强化分类讨论与逆向思维|整合全章核心考点，对接高考命题趋势，提升逻辑推理与问题解决能力|

专题02 常用逻辑用语 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由充分条件必要条件求参数 题型二、充要条件的证明 题型三、由命题的真假求参数 题型四、常用逻辑用语的综合应用 题型五、常用逻辑用语的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 常用逻辑用语含参数问题是高中数学入门重难点所有题型均围绕充分与必要条件、全称与存在量词、复合命题真假、全新逻辑定义四大核心展开解题贯穿两条底线原则：一是区分充分条件与必要条件对应的集合包含方向二是全称与存在量词命题不能混淆恒成立和有解约束所有参数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由充分条件必要条件求参数 典例1 （25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 题型模版 1.特征：题干给出两个命题判定是充分条件或必要条件命题解集含待求参数核心转化为两个集合的包含关系求解 2.方法：①分别求解命题对应的取值集合 ②根据充分必要条件判定集合包含充分条件对应必要条件对应 ③借助数轴标注区间端点列出不等式组优先讨论空集特殊情况解完参数回代原题核验 变式1-1（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 变式1-2（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式1-3（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 题型二、充要条件的证明 典例2 （24-25高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 题型模版 1.特征：题干要求证明是充要条件需分两步推导缺一不可常结合不等式方程几何关系出题 2.方法：①充分性推导：由条件出发逐步推理得到结论 ②必要性推导：由结论出发逐步推理得到条件 ③两步推导全部完成后才可完整证明充要关系 变式2-1（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 变式2-2（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 变式2-3（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 题型三、由命题的真假求参数 典例3 （25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 题型模版 1.特征：题干给出全称命题或存在量词命题告知命题为真或为假集合不等式内含参数转化恒成立或有解题型 2.方法：①区分命题类型全称命题为真等价恒成立存在量词命题为真等价有解 ②结合一次二次函数图像列出判别式区间最值对应的不等式约束 ③联立不等式求解参数范围检验参数是否匹配题干命题真假要求 变式3-1（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 变式3-2（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 变式3-3（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）根据要求完成下列问题 (1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由. (2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 题型四、常用逻辑用语的综合应用 典例4 （25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题干融合充分必要条件全称存在量词复合命题同时给出多个命题真假限制求解参数 2.方法：①单独求解每一个基础命题成立对应的参数区间 ②按照复合命题真假规则分类讨论一假则假一真则真与真假相反 ③整合各类情况的参数区间取并集得到最终参数范围 变式4-1（25-26高一上·四川南充·期中）（多选）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 变式4-2（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 变式4-3（25-26高三下·湖南常德·阶段检测）（多选）设和是关于变量的谓词，为定义域，则下列命题中正确的是（   ） A．若命题“，”是“，”的充分条件，则 B．若命题“，”是“，”的必要条件，则 C．若命题“，”，则“，”是“，”的充分条件 D．若命题“，”，则“，”是“，”的充分条件 题型五、常用逻辑用语的新定义问题 典例5 （25-26高一上·四川泸州·期中）（多选）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” 题型模版 1.特征：题干给出教材未出现的全新逻辑判定规则依托充分必要量词命题基础变形搭配参数取值元素判定设问 2.方法：①逐句拆解新定义文字逻辑区分推导方向且或逻辑限制条件 ②将新定义等价转化为集合包含恒成立存在性基础题型 ③全程严格遵循题干自定义规则不套用固有逻辑结论求出参数后代入验证 变式5-1（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 变式5-2（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 变式5-3（23-24高一上·北京·期中）已知集合（，），对于集合的非空子集A，若中存在三个互不相同的元素，使得，，均属于A，则称集合A是集合的“期待子集”． (1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”； (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质P．对于集合的非空子集A，证明：集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高一上·天津·阶段检测）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知集合，.若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高一上·江苏苏州·期中）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则（    ） A． B． C．“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” D．“整数a，b满足”是“”的必要不充分条件. 4．（24-25高一上·江苏扬州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 5．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 三、解答题 6．（24-25高一上·湖北·阶段检测）（1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 7．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 8．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 9．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知命题，，命题方程有两个不相等的正根． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 10．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题真且假，求实数的取值范围． 11．（25-26高一上·青海·阶段检测）（1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 12．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 13．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 14．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 15．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由充分条件必要条件求参数 题型二、充要条件的证明 题型三、由命题的真假求参数 题型四、常用逻辑用语的综合应用 题型五、常用逻辑用语的新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 常用逻辑用语含参数问题是高中数学入门重难点所有题型均围绕充分与必要条件、全称与存在量词、复合命题真假、全新逻辑定义四大核心展开解题贯穿两条底线原则：一是区分充分条件与必要条件对应的集合包含方向二是全称与存在量词命题不能混淆恒成立和有解约束所有参数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、由充分条件必要条件求参数 典例1 （25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 题型模版 1.特征：题干给出两个命题判定是充分条件或必要条件命题解集含待求参数核心转化为两个集合的包含关系求解 2.方法：①分别求解命题对应的取值集合 ②根据充分必要条件判定集合包含充分条件对应必要条件对应 ③借助数轴标注区间端点列出不等式组优先讨论空集特殊情况解完参数回代原题核验 变式1-1（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 变式1-2（25-26高一上·陕西商洛·期末）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再分与两种情况讨论即可求解； （2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式组，解不等式组即可. 【详解】（1）， 由，得， 当时，，解得； 当时，不等式组无解， 故实数的取值范围为． （2）因为是的必要不充分条件，所以， 或，解得或， 综上可得，故实数的取值范围为． 变式1-3（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，故或， ， 故或 ； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 题型二、充要条件的证明 典例2 （24-25高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 题型模版 1.特征：题干要求证明是充要条件需分两步推导缺一不可常结合不等式方程几何关系出题 2.方法：①充分性推导：由条件出发逐步推理得到结论 ②必要性推导：由结论出发逐步推理得到条件 ③两步推导全部完成后才可完整证明充要关系 变式2-1（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 变式2-2（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【答案】证明见解析. 【分析】（1）应用判别式恒大于零证明方程总有两个不相等的实数根； （2）应用充分必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是； 变式2-3（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 题型三、由命题的真假求参数 典例3 （25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【详解】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 题型模版 1.特征：题干给出全称命题或存在量词命题告知命题为真或为假集合不等式内含参数转化恒成立或有解题型 2.方法：①区分命题类型全称命题为真等价恒成立存在量词命题为真等价有解 ②结合一次二次函数图像列出判别式区间最值对应的不等式约束 ③联立不等式求解参数范围检验参数是否匹配题干命题真假要求 变式3-1（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据为真命题列不等式，由此求得的取值范围. （2）求得均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围. 【详解】（1）若为真命题，则，所以，所以. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以， 当时，，等号成立当且仅当， 所以的取值范围为， 由（1）知命题为假命题时，的取值范围为. 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 变式3-2（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为真命题，分离参数，利用二次函数的性质求解最值，即可得解， （2）利用判别式求解为真命题时的范围，即可得解. 【详解】（1）当命题为假命题时，命题为真命题， 当时，， ，即 实数的取值范围为． （2）命题和中至少有一个是真命题，命题或真命题， 当命题为真命题时，解得或， 故命题和中至少有一个是真命题，则实数的取值范围为． 变式3-3（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）根据要求完成下列问题 (1)已知、，集合，集合集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由. (2)已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在，且或，. (2) 【分析】（1）求出集合，分、两种情况讨论，根据可得出实数的值；对实数的取值进行分类讨论，根据可得出关于实数的等式或不等式，即可得出实数的取值范围； （2）对于命题：根据韦达定理求得，进而结合恒成立问题求实数的取值范围；对于命题，根据二次不等式分类讨论求解，进而得解. 【详解】（1）因为，则且， ，且， 若，即，此时，，则，合乎题意； 若，即，此时，， 因为，则，此时，， 又因为，当时，，解得； 当时，，此时，， 当且时，，解得且， 因为， 若，即，则， 若，则，因为，此时，不存在. 综上所述，存在满足题设条件的实数、，且或，. （2）因为、是方程的两个实根，则， 可得， 当时，， 由不等式对任意实数恒成立可得：， 即，解得或， 所以命题为真命题时，， 命题不等式有解， 当时，不等式为，解得，合乎题意， 当时，，原不等式一定有解， 当时，只需，解得， 不等式有解时， 又命题是假命题，则， 所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为. 题型四、常用逻辑用语的综合应用 典例4 （25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先判断出集合中元素个数，由此可求的取值范围，再通过真子集关系检验各选项即可求得结果. 【详解】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素， 因为 ，则有： 当时，， 当时，， 当时，， 因集合中只有个元素，则， 所给选项中： ， ， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件， 故选：CD. 题型模版 1.特征：题干融合充分必要条件全称存在量词复合命题同时给出多个命题真假限制求解参数 2.方法：①单独求解每一个基础命题成立对应的参数区间 ②按照复合命题真假规则分类讨论一假则假一真则真与真假相反 ③整合各类情况的参数区间取并集得到最终参数范围 变式4-1（25-26高一上·四川南充·期中）（多选）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得 【详解】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 变式4-2（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 【答案】ACD 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合 与集合 有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 变式4-3（25-26高三下·湖南常德·阶段检测）（多选）设和是关于变量的谓词，为定义域，则下列命题中正确的是（   ） A．若命题“，”是“，”的充分条件，则 B．若命题“，”是“，”的必要条件，则 C．若命题“，”，则“，”是“，”的充分条件 D．若命题“，”，则“，”是“，”的充分条件 【答案】AD 【分析】由所给新定义和充分条件、必要条件的判定逐一判定. 【详解】对于A：由全称命题的充分条件关系可知，若“，”推出“，”， 则必有满足的元素都满足，即，故A正确； 对于B：存在命题的必要条件关系表明，若“，”是“，”的必要条件， 则所有满足的元素必须满足，即，故B不正确； 对于C：虽然“，”为真，但当时，“，”为假命题， 此时无法推出“，”的真假，因此该条件不构成充分条件，故C错误； 对于D：在和等价的条件下，存在满足当且仅当存在满足， 故二者互为充要条件，故D正确. 故选：AD. 题型五、常用逻辑用语的新定义问题 典例5 （25-26高一上·四川泸州·期中）（多选）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】理解“类”的定义，容易判断AB选项的正误；而C，则由被4除所得的余数只有四种情况理解辨析即可；而D，则需要互为条件结果各证一次，进而得以判断. 【详解】对于A，由得，故A错误； 对于B，由得，故B正确； 对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故，故C正确. 对于D，若整数属于同一“类”，则， 故，所以； 反之，不妨设，则， 若，则，即，所以整数属于同一“类”； 故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确. 故选：BCD. 题型模版 1.特征：题干给出教材未出现的全新逻辑判定规则依托充分必要量词命题基础变形搭配参数取值元素判定设问 2.方法：①逐句拆解新定义文字逻辑区分推导方向且或逻辑限制条件 ②将新定义等价转化为集合包含恒成立存在性基础题型 ③全程严格遵循题干自定义规则不套用固有逻辑结论求出参数后代入验证 变式5-1（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【答案】(1)是“复活集”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用“复活集”的定义判断即得. （2）利用“复活集”的定义，结合韦达定理构造一元二次方程，借助判别式求解即得. （3）利用“复活集”的定义，结合给定条件及充要条件概念即得. 【详解】（1）因为， 所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设， 因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）若是复活集时, 不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有， 因此，则，解得， 所以，即； 当时， ，故是“复活集”，即. 综上可知，当时， 命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 变式5-2（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知是正实数集的一个子集，定义运算，使其满足下列4个条件：①，则“”的充要条件是“”；②，则“”的充要条件是“”；③，则“”的充要条件是“”；④，. (1)设集合，若，求的取值集合； (2)设，证明：“”的充要条件是“”； (3)设，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得不等式和，运算求解即可； （2）根据题中运算的定义，分充分性和必要性两个方面分析证明； （3）根据题意可得，进而分析可得，即可得结果. 【详解】（1）因为是正实数集的一个子集，，所以， 又因为，则，解得， 所以的取值集合为. （2）充分性：若，则，则由①可知， 故由，可得. 必要性：由，设， 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 若，则由，可得，由，可得，符合题意. 若，则由，可得，由，可得，矛盾. 故由，可得. 综上可知：“”的充要条件是“”. （3）由④可知， 因为，则， 设，可知， 则，可得， 且，，可得，所以. 变式5-3（23-24高一上·北京·期中）已知集合（，），对于集合的非空子集A，若中存在三个互不相同的元素，使得，，均属于A，则称集合A是集合的“期待子集”． (1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”； (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质P．对于集合的非空子集A，证明：集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P． 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2) 当集合是集合的“期待子集”时，则存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则， 又，则， 而，则为偶数， 因此集合满足性质； 当集合满足性质时，存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 于是，而，，，则，，均属于， 因此集合是集合的“期待子集”， 所以集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P. 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）利用所给“期待子集”的定义及性质的定义先证明必要性，再证明充分性即可. 【详解】（1）依题意，， 集合，令，解得，显然，，， 所以是集合的“期待子集”； 集合，令，则，由，得，矛盾， 所以不是集合的“期待子集”. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高一上·天津·阶段检测）已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围. 【详解】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 2．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知集合，.若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由的子集列式求解. 【详解】因为“”是“”的必要条件， 所以， 由， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B 二、多选题 3．（22-23高一上·江苏苏州·期中）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则（    ） A． B． C．“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“” D．“整数a，b满足”是“”的必要不充分条件. 【答案】BC 【分析】对A，由定义得，再判断元素与几何关系即可； 对B，由定义及被6除所得余数为0至5的整数可判断； 对C，分别根据定义证明充分性及必要性即可； 对D，由定义证充分性，必要性可举反例即可判断 【详解】对A，因为，由可得，所以，A错； 对B， ，B对； 对C，充分性：若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即； 必要性：若，则被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同， 所以“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“”，C对； 对D，若整数a，b满足，则， 所以，故； 若，则可能有， 故整数a，b满足”是“”的充分不必要条件，D错 故选：BC 4．（24-25高一上·江苏扬州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 5．（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 三、解答题 6．（24-25高一上·湖北·阶段检测）（1）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由真包含于构造不等式即可求解； （2）通过与同时为真命题，求范围，再求补集即可. 【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于 而，显然 于是，解得， 所以的取值范围为； （2）当命题为真命题时， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 7．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 8．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，得出，从而得解； （2）根据集合交集为空集，判断集合中元素满足的条件，列出不等式，求出结果即可； （3）根据命题甲和乙为真时的取值范围，求出参数范围. 【详解】（1）根据题意，， 由于，所以，得， 所以实数的取值范围为； （2）当命题乙是真命题时，方程无正数解， 当方程无解时，即，得，解得； 当方程有唯一解时，即，得，解得或， 当时，此时方程为，解得，不符合条件； 当时，此时方程为，解得，符合条件； 当方程有两个解时，即，得，解得或， 当两个解为负时，则满足，解得, 所以 综上所述，实数a的取值范围是. （3）当命题甲是真命题时，由题意得，解得， 由（2）可知命题乙是真命题时，， 命题甲和乙中至少有一个真命题，得， 综上所述，命题甲和乙中至少有一个真命题，实数a的取值范围为. 9．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知命题，，命题方程有两个不相等的正根． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据二次函数值域列出判别式计算求解； （2）分真假及假真分别列式计算求解. 【详解】（1）若为真命题，有，解得或． （2）若为真命题，则或， 若为真，则，解得， 若，中有且仅有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，则，解得或， 若假真，则，解得， 综上，实数的取值范围是或． 10．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题真且假，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为真命题,分离参数得到，得到答案； （2）当命题为真命题时，的范围，结合（1）问即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当命题为假命题时，命题为真命题，， 当时，， ∴，即 ∴实数的取值范围为． （2）当命题为真命题时，，解得或， 当命题为真，命题为假时， ，解得， 所以实数的取值范围为 11．（25-26高一上·青海·阶段检测）（1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）由题设为真命题，讨论、求参数范围； （2）利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可； （3）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为， 当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或或,解得， 即实数的取值范围是； （3）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， 所以，即，又， 所以，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 12．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）假设为真命题，求得，即可得答案； （2）由为真命题，可得，由题意可得或，求解即可. 【详解】（1）假设为真命题，即，使得不等式成立， 则对于即可． 又因为， 由于，则． 又因为为假命题， 所以实数的取值范围为． （2）若为真命题， 即，不等式成立， 则对于即可． 由于， 所以，解得， 又因为、有且只有一个是真命题， 则或， 或， 即， 所以实数的取值范围. 13．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可得，根据包含关系，列出不等式，即可得答案； （2）根据题意，可得是的真子集，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. （2）因为是成立的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，，解得； 当时，或， 解得， 综上，实数m的取值范围. 14．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，根据命题为真命题分别表示出对应的取值范围，再由集合交集运算可知结果； （2）根据和进行分类讨论，然后可求结果. 【详解】（1）当时，， 当为真命题时，的取值范围是，当为真命题时，的取值范围是， 当都是真命题时，因为，所以的取值范围是. （2）若为真命题，则， 根据区间的定义可知, 为真命题时，， 要使是的充分不必要条件，则以，解得(经检验，取等号时满足条件)， 综上所述，的取值范围是. 15．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用并集定义计算求解； （2）应用必要条件转化为，进而列式计算求解； （3）应用交集结果列式求解. 【详解】（1）因为时，， 所以； （2）因为集合，. 若成立的一个必要条件是，所以， 则，所以， 故实数的取值范围. （3）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 16．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的值确定集合，再求出集合在全集下的补集，最后再求交集. （2）“”是“”的必要条件得出集合和集合的包含关系，再结合集合非空列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 因为，所以或， 又，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以. 又集合为非空集合，所以，解得. 实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $