专题03 绝对值的几何意义与最值问题11大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 以绝对值几何意义为核心，通过11大题型系统构建从概念理解到综合应用的解题体系，突出数形结合与分类讨论思想，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |绝对值几何意义与最值|高频覆盖|数轴法分析距离和差最值，结合临界点分类|从单点距离到多点距离和差，构建“几何意义-最值原理-实际应用”链条| |绝对值化简与方程|分层设计|已知范围用数轴定符号，未知范围分类讨论，方程利用非负性求解|从代数化简化到方程求解，体现“符号判断-运算规则-综合应用”递进| |新定义与数轴综合|典型例题|迁移几何意义解决新情境问题，综合数轴动态分析|融合概念迁移与逻辑推理，培养数学语言表达与创新意识|

专题03 绝对值的几何意义与最值问题11大题型 常考题型·精准突破 考点一 绝对值的几何意义与最值问题 题型一：两个绝对值的和的最值（高频） 题型二：两个绝对值的差的最值 题型三：多个绝对值的和的最值（高频） 题型四：绝对值中最值问题的应用（难） 题型五：已知范围的绝对值化简（高频） 题型六：未知范围的绝对值化简（难） 题型七：绝对值化简的新定义问题 题型八：绝对值化简问题综合 题型九：绝对值方程 题型十：绝对值非负性问题 题型十一：数轴与绝对值问题综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 绝对值的几何意义与最值问题 ◆题型1 两个绝对值的和的最值 1．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义考虑求解更简便． 利用绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点和点7的距离之和，当x在与7之间时，距离之和最小，为两点之间的距离． 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果是有理数，那么的最小值为______． 【答案】/2.25 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，根据表示x与所对应的两点之间的距离，表示x与2所对应的两点之间距离的倍，再结合x位于不同范围求得其对应的代数式，综合即可求得其最小值． 【详解】解：（1）当，原式 ∵ ∴随x的增大而减小，的最小值趋于； （2）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大， 当时，取得最小值为； （3）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大，当时，取得最小值为3； 则的最小值为， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·云南昆明·期末）我们规定：表示7与3的差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看成，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)若，则的值． (2)由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)8或 (2)有最小值，最小值为5 【分析】（1）根据题意，得或，解答即可． （2）对于任意有理数，表示有理数与数1的距离与有理数与数的距离和，根据题意，当有理数在时，和最小，且为． 此题主要考查了数轴，绝对值的意义，分类探讨，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 【详解】（1）解：根据题意，得或， 解得或． （2）解：对于任意有理数，表示有理数与数1的距离与有理数与数的距离和， 当时，化简，得， 由，此时的距离和大于； 当时，化简，得， 由，此时的距离和大于； 当时，化简得，此时距离和为5． 故当有理数在时，和最小，且最小值为． ◆题型2 两个绝对值的差的最值 5．当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是______，最小是______. 【答案】 0 -1 【详解】根据当|x-2|+|x-3|的值最小时，即可求得x的范围是2≤x≤3，且最小值是1，化简|x-2|+|x-3|-|x-1|，即可把x分成1≤x＜2和2≤x≤3两种情况，在每个范围内分别取一个值，代入即可求得 解：当|x-2|+|x-3|的值最小时，2≤x≤3， 又因为1不在2和3之间，所以可令x=2， 则|x-2|+|x-3|-|x-1|=0， 令x=3，则|x-2|+|x-3|-|x-1|=-1， 所以，所求最大值为0，最小值为-1 6．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 7．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)与两点之间的距离是________，和两点之间的距离是________． (2)若x表示一个有理数，请你化简，并结合数轴求的最小值．（写解答过程） (3)的最大值是________． (4)的最小值是________． (5)的最小值是________． (6)的最小值是________． 【答案】(1)    (2) 当时，． 当时，． 当时，． 因为， 所以数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离． 所以当时，有最小值为． (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查数轴、绝对值： （1）根据题干描述，即可求得答案； （2）化简，分，，三种情况讨论；数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离，据此即可求得答案； （3）数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离，据此即可求得答案； （4）当时，有最小值； （5）当时，有最小值； （6）当时，有最小值． 【详解】（1）解：与两点之间的距离，和两点之间的距离． 故答案为：   （2）略 （3）因为， 所以数轴上表示的点和的点的两点之间的距离数轴上表示的点和的点的两点之间的距离． 当时，有最大值，最大值． 故答案为： （4）根据题意可知，当时，有最小值，最小值． 故答案为： （5）根据题意可知，当时，有最小值，最小值． 故答案为： （6）根据题意可知，当时，有最小值， 最小值 ． 故答案为： 8．（25-26七年级上·江西上饶·期中）【定义新知】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． 回答下列问题： （1）数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______．当，那么x为______． （2）当的最小值是______． （3）的最大值为______． （4）当______时，的值最小． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km、左侧1km、右侧1km、右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在______，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是______km． 【答案】（1）；5或（2）1（3）4（4）2（5）、之间（含、）；10 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是利用数轴上点与点之间的距离表示绝对值，结合几何图形分析最值． （1）根据绝对值的几何意义表示两点距离再解方程； （2）利用数轴分析两个绝对值和的最小值； （3）分析绝对值差的最大值的取值范围； （4）利用“中间点”分析三个绝对值和的最小值； （5）结合数轴上点的位置确定总路程最短的点再计算路程． 【详解】解：（1）数轴上表示和2的两点距离为， 当即 则或 解得或 故答案为：；5或； （2）的几何意义是数轴上对应的点到1和0对应的点的距离之和 当在0和1之间（含端点）时距离和最小最小值为； 故答案为：1； （3）的几何意义是数轴上对应的点到的距离减去到3的距离 当时距离差最大，此时， 故答案为：4； （4）的几何意义是数轴上对应的点到、、对应的点的距离之和，当取中间点2时距离和最小， 故答案为：2； （5）居民区、、、对应的位置分别为、、、 总路程为 当在和1之间（含端点）时总路程最短， 最短路程为 故答案为：、之间（含、）；10． ◆题型3 多个绝对值的和的最值 9．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；表示和两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么____． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___． （4）当___时，的值最小，最小值是____． 【答案】 或 【分析】本题考查数轴与绝对值的综合，解题关键在于根据数轴上点的位置化简绝对值，其次注意分类讨论问题，最后计算仔细即可． （1）本题根据数轴上两点距离运算规则直接求解即可． （2）本题首先根据已知判别与的正负，从而化简绝对值运算求解． （3）本题根据的范围分类讨论，化简绝对值后与比较大小，进一步确定的范围，最后在该范围内寻找符合条件的整数点． （4）本题首先在的不同范围下分类讨论，继而化简绝对值进行运算，进一步确定结果取值范围，最后比较不同情况下结果大小，取最小值． 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是，； 表示和两点之间的距离是，； 一般地，数轴上表示和数的两点之间的距离等于， 如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么或． 故答案为；；或． （2），． 故答案为． （3）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 使得的所有整数为：，，，，，，，， ． 故答案为． （4）当时，， 当时，，则， 当时，，则， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是. 故答案为；． 10．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2； (3)6； (4)1025156． 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值时，求得最小值； 【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3． （2）解：当a取中间数2时，绝对值最小； 的最小值是． （3）解：当a取最中间数时， 绝对值最小；的最小值是； （4）解：当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： ． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 例如数轴上数2，5对应点之间的距离为，数轴上数2，对应点之间的距离为： 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上点M用数x表示 ①若，那么x的值是 ： ②当时，这样的整数x有 个： ③的最小值是 ． 【答案】(1) (2)①10或，②10，③1024144 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，两点间的距离，解题关键是掌握数轴知识，绝对值的定义及两点间的距离． （1）根据绝对值的几何意义，表示x和的两点之间的距离是，即； （2）①根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示数4的点的距离为6，据此求解x的值； ②根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示数的点与到表示数5的点的距离之和为9，据此确定x的取值范围，进而确定整数x的个数； ③跟将绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示数1、2、3、…、2022、2023、2024的点的距离之和，当x取中间的数时，距离之和最小，据此求解最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离是， 故答案为：． （2）解：①，， 故答案为：10或； ②表示数轴上表示数x的点和表示数的点之间的距离，表示数轴上表示数x的点和表示数5的点之间的距离，而与5之间的距离为， 当时，， ∴满足的整数x有，，，，0，1，2，3，4，5，共计10个， 故答案为：10； ③根据绝对值的几何意义， 表示数轴上表示数x的点到表示数1和2024的点的距离之和， 当时，的最小值为， 表示数轴上表示数x的点到表示数2和2023的点的距离之和， 当时，的最小值为， 以此类推，表示数轴上表示数x的点到表示数1012和1013的点的距离之和， 当时，的最小值为， ∴当时，原式的值最小， ∴最小值是：， 故答案为：1024144． 12．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 【答案】（1）8   （2）8   （3） （4）7或9秒   （5） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离的定义求解； （2）根据绝对值的性质求解； （3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解； （4）设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，据此列方程求解即可； （5）根据绝对值几何意义分别求和的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：， 故答案为：8； （2）解：数轴上表示数的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8； （3）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：； （4）解：设经过秒时，，之间的距离为3， 此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 整理得， 解得或， 故当为7或9秒时，，之间的距离为3； （5）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， 的最小值为1，的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：． ◆题型4 绝对值中最值问题的应用 13．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，见解析 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）解：设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．例如：数轴上，点、表示的数分别是、，则、两点之间的距离可以表示为． 【问题解决】 (1)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么_____． (2)若，则的最小值为_____，此时正整数的值为_____． 【关联运用】 (3)数轴上从左到右的三个点，，所对应的数分别为，，．其中，，如图所示．若是原点，且，求的值． 【答案】(1)或 (2) ， (3)或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上点的位置与数的关系，绝对值方程的求解；解题的关键在于绝对值的几何意义转化，根据数轴上点的位置分析进行分类讨论；绝对值方程漏解和数轴上点的位置判断错误是本题易错点． （1）根据绝对值的几何意义，表示“到的距离为”，解出方程即可； （2）式子的几何意义为：“到的距离”加“到的距离”，这个距离最小，则当在和之间（包括端点）时，距离最小，根据题意列出方程，再找到此时和之间（包括端点）的正整数即可； （3）根据题意，分两种情况讨论，情况1：在原点右侧；情况2：在原点左侧，然后再分别根据，，在图像上的位置，分别列出式子． 【详解】（1）【答题空1-1详解】 由点与点之间的距离为5可得： ， ，时，， ，时，， 故或． （2）【答题空2-1详解】 当在和之间（包括端点）时，距离最小， 故的最小值为． 【答题空2-2详解】 当在和之间（包括端点）时，距离最小， 故正整数的取值为，． （3）已知，，且，，从左到右排列，（到原点的距离为），分两种情况： 情况1：在原点右侧； ， ∴ 情况2：在原点左侧； ， ∴ 故的值为或． 15．（25-26七年级上·福建莆田·期中）我们知道，是在数轴上表示数a的点到原点的距离．进一步地，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离就可以表示为．反过来，也就表示A、B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若，求x的值． 解：①，即． 文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于2的点表示的数． ②图形语言： ③答案：x的值为或． 通过以上学习，完成以下问题： (1)若，求x的值； 解：①文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数． ②请补全图形语言： ③答案：____________． (2)若，则x的值为______． (3)代数式的最小值为______，此时x的值是______． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 【答案】(1)②见解析；③ (2)或5 (3)， (4)站点P建在B和C之间（包括端点），才能使总运送费用最少，最少费用是190元 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离，绝对值方程，熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）在数轴上表示出来，根据题中的例题写出答案即可； （2）分三种情况讨论，化简绝对值，解方程即可； （3） ，意义为在数轴上表示数的点到表示数和和的点距离之和，根据绝对值的几何意义可得当表示数的点在数的位置时，距离之和最小，即可求解； （4）以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x，根据绝对值几何意义分析判断取得最小值时的情况即可． 【详解】（1）解：②补全图形语言如下： ③由数轴可得； 故答案为：； （2）解： 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得， ∴的值为或5， 故答案为：或5； （3）解：，意义为在数轴上表示数的点到表示数和和的点距离之和， 根据绝对值的几何意义可得当表示数的点在数的位置时，即时，到表示数和和的点距离之和最小，最小值为， 故答案为：，； （4）解：以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x， 由题意可知，，，4， ∴物资的往返总运送费用为：元，如图， ∵表示x到的距离与x到4的距离之和，x到的距离与x到4的距离之和的2倍的总和， 当时，取得最小值， 当时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∵物资运送车往返1千米路程需要花费5元， ∴（元）． ∴站点P建在B和C之间（包括端点），才能使总运送费用最少，最少费用是190元． 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的应用，熟练掌握点到线段距离的定义以及绝对值的性质是解题的关键． [简单应用] （1）根据两点之间的距离公式即可解答； （2）利用题中定义即可解答； （3）分类讨论，即点在左边或点在右边 [关联应用] （1）根据两点之间距离公式即可解答； （2）求出每个因式的最小值，即可得到的取值范围，求得最大值即可； [实际应用]由题意可得得落在间才会得到距离之和，再计算即可． 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时， ，解得； 当点在右边时， ，解得， 综上，或； 故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为， 故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为， 在时，取最小值为， ， ，，， ，，， 的最大值为； [实际应用] 解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小， 设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为： ， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值， 在时，取最小值， 的最小值为， 综上，距离之和最小值为． ◆题型5 已知范围的绝对值化简 17．（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 18．（25-26七年级上·四川乐山·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)求和的值； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据表示、的数在数轴上的位置可知，，又因为，可知，根据、的关系求出结果； （2）根据表示、、的数在数轴上的位置可知，，，，，，根据绝对值的性质去掉绝对值再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ， ， ，； （2）解：由数轴可知，，，， ， ，，， ． 19．（25-26七年级上·江西新余·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“ ”或“”填空：______________________________0； (2)化简：． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查通过数轴判断式子的符号，绝对值的化简，合并同类项； （1）由数轴可知，逐个判断即可； （2）根据（1）去绝对值，化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，，； 故答案为：；；； （2）解： ． 20．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，如图所示，且点A、B到原点的距离相等． (1)用“>”“=”“<”填空：_____0，_____； (2)化简． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查的是数轴的概念，相反数的性质，利用绝对值的性质去掉绝对值符号是解题的关键． （1）利用数轴的定义和加减法法则即可判断； （2）利用数轴判断绝对值里的式子的正负性，去掉绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、B分别在原点的两侧，且点A、B到原点的距离相等， ∴a、b互为相反数， ∴， ∵，， ∴为的长，为的长， ∵， ∴； （2）由图中各点的位置可知， ． ◆题型6 未知范围的绝对值化简 21．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了化简含绝对值的式子，利用已知条件将绝对值表达式简化，结合确定变量符号组合，计算所有可能值后比较得出最小值． 【详解】解：由，得，，，故，，， ∴原式化为， 令，则， 由和可知，a，b，c中一正两负， ①若，，，则，，，原式 ， ②若，，，则，，，原式 ， ③若，，，则，，，原式 ， 通过比较得最小值为． 故答案为：． 22．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知a，b，c是整数，满足，，则m的值为_____． 【答案】、、 【分析】本题考查了绝对值的非负性、整数的性质及含绝对值方程的求解，解题的关键是通过设新变量（，）简化原方程，再根据“两个非负整数的和为1”分情况讨论，结合第二个绝对值方程推导符合的取值． 设、（、为整数），将原方程转化为和；根据分“且”“且”两种情况，分别代入第二个方程，结合计算的可能值，最终确定所有符合条件的 【详解】解：设，，因、、是整数，故、为整数．原方程化为： （）①； ②． 情况1：，， ∵， ∴， 代入②得， 即，解得， 故或． ∵， ∴： 当时，或（均大于0，舍去）； 当时，或（均小于0，保留）． 情况2：， ∵， ∴，代入②得，即． 若，设（），则： 当时，，解得，故； 当时，（舍去）． 若，设（），则，即，解得，故 汇总符合条件的． 综合两种情况，的值为、、． 故答案为：、、． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果，且，那么________． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论：①当时，则，从而可化简绝对值求解；②当时，则，同理求解即可． 【详解】解：，且， ． 对的值分类讨论如下： ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查化简绝对值．利用分类讨论的思想是解题关键． 24．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． ◆题型7 绝对值化简的新定义问题 25．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）定义：若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是______（用含的代数式表示）； (2)若，则的值为______； (3)若，则的值为______； (4)当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 (3)或3 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的应用，解题的关键是理解绝对值的几何意义和两点间的距离公式． （1）由题意即可求解； （2）根据表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离，根据这个距离为2即可求解； （3）表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8，根据此意义考虑数x表示的点在表示的点的左边、在1表示的点的右边两种情况，即可求解； （4）表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和，当数x表示的点在1表示的点与表示的点之间时，取到最小值． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离为2，而数轴上到表示的点的距离为2的点有两个，这两个点表示的数分别为1与， 即或， 故答案为：或； （3）解：表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8， 由于数轴上1表示的点与表示的点的距离， 当数轴上数x表示的点在表示的点的左边，且当时，有，满足题意； 当数轴上数x表示的点在1表示的点的右边，且当，有，满足题意； 综上，或； 故答案为：或3； （4）解：表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和， 当数轴上数x表示的点在1表示的点与表示的点的之间（包括这两个点）时，， 当数轴上数x表示的点在表示的点的左边，或数轴上数x表示的点在1表示的点的右边，这时数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和都大于4， 所以取到最小值4，此时x的取值范围为， 故答案为：． 26．（25-26七年级上·广东珠海·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，当时，则______； (2)当，则的值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)拓展应用： 试求出取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或1 (2)或4 (3)，8 (4)， 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于3的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到3的距离之和，分当x在的左边和当x在3的右边两种情况求解即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，数轴上x到与x到2的距离之和最小时，x应该在与2之间的线段上，数轴上x到的距离最小时，x在处，所以当时，x到、x到与x到2的距离之和最小； （4）式子表示x到的距离之和，当x是最中间两个数之间的任意值，即时距离之和最小． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； ∵表示数轴上与有理数的点之间的距离等于3的点， 又∵，， ∴x的值为或1． 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或1； （2）∵即表示数轴上x到与x到3的距离之和， 由于， ∴x在的左边或x在3的右边． 当x在的左边时，， 解得； 当x在3的右边时，， 解得， ∴x的值是或4； 故答案为：或4； （3）∵表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和， 数轴上x到与x到2的距离之和最小时，x应该在与2之间的线段上， 数轴上x到的距离最小时，x在处， ∴当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， ∴的最小值为8； 故答案为：，8； （4）∵式子表示x到的距离之和， ∴当x是最中间两个数之间的任意值，即时距离之和最小， ∴该式子取得最小值时，应满足的条件是， ∴当时，取得最小值，最小值为： ． 27．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解； （2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设点表示的数为，且点是点的“联盟点”， ∴根据，0，1三个数在数A、B之间，可得或， ∴或， 当时，解得或（舍）， 当时，解得或（舍）， ∴是点的“联盟点”， 故答案为：，； （2）①设点表示的数是，点P在点A的左侧， ∴，，， ∵点是点的“联盟点”， ∴， ∴， 解得， 即点表示的数是； ②设点表示的数是，点在点的右侧， 当是点的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当A是点，的“联盟点”时，， ∴， 解得； 当是点，的“联盟点”时，或， ∴或， 解得或； 综上所述：点表示的数为或或． 【点睛】本题考查了几何新定义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． 28．（25-26七年级上·福建厦门·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是_____． 关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，）；点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)1，， (2)①，，；②的值不发生变化，；③ 【分析】（1）根据相反数的定义即可得出点表示的数是，再由两点之间的距离公式计算即可得解； （2）①由数轴可得表示的数是，结合题意并根据数轴上两点之间的距离公式得出，进而即可得出表示的数，最后再由数轴上两点之间的距离公式计算即可得解；②由题意可得点表示的数是，再分两种情况：若，若，分别计算即可得解；③由题意可得一次跳跃点表示的数是，结合，点与点位于点的两侧，得出点是的中点，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，点表示的数是， 点与点之间的距离， 点与点的中点表示的数是； （2）解：①由数轴可得，表示的数是， ∵表示的数是6， ∴， ∴， ∴表示的数是， ∴线段的长度为； ②的值不发生变化，，理由如下： 由题意可得：点表示的数是， 若，如图所示： ∵， ∴，即点表示的数是， ∴； 若，如图所示： ∵，点与点位于点的两侧， ∴， ∴，即点表示的数是， ∴； 综上所述，的值不发生变化，； ③∵点表示的数是， ∴一次跳跃点表示的数是， ∵，点与点位于点的两侧， ∴点是的中点， ∵点表示的数是， ∴点表示的数是， ∴． 【点睛】本题利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． ◆题型8 绝对值化简问题综合 29．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数符号的分析和绝对值的化简，判断绝对值的正负是解题的关键． 首先由和可得a，b，c中只有一个负数，再将原式化简为，再分三种情况讨论符号即可求出x的值，进而求最大值和最小值的乘积． 【详解】解：∵且， ∴a，b，c中只有一个负数， ∵， ∴，，， ∴， 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴x的最大值为，最小值为， ∴x的最大值与最小值的乘积为， 故选：A． 30．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式等知识点．根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断． 【详解】解：∵，∴且，故，故①错误； ∵，∴， ∴，即， ∴不是正数；故②错误； ∵三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等， ∴或或， ∴或或， 解得：或或，故③错误； ④若，则；故④正确； ⑤∵，， ∴中有两个正数一个负数， ，，， 设，，， 则，故⑤错误； 综上正确的④，共1个； 故选：A． 31．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，则； ④，，则的值为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式等知识点．熟记相关结论是解题关键．根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断． 【详解】解：∵，∴且，故，故①错误； ∵，∴或或或， 当时，，∴是正数； 当时，，∴是正数； 当时，，∴是正数； 当时，，∴是正数；故②正确； ∵三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等， ∴或或， ∴或或， 解得：或或，故③错误； ∵，， ∴中有两个正数一个负数， ，，， 设，，， 则，故④错误； 综上正确的②，共个； 故选：A． 32．（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义，解题的关键是理解相反数，绝对值的定义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，符合题意； ②若，则，原结论不正确，不符合题意； ③若是有理数，则，原说法正确，符合题意； ④若时，，原结论不正确，不符合题意； ⑤∵、、均为非零有理数，若， ∴负数个数可能为1或2或3个： 1个负数时，， 2个负数时，， 3个负数时， 综上，，则的值为 2 或，原说法正确，符合题意； 故选：B． ◆题型9 绝对值方程 33．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）方程实数根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有1个实数根 C．有2个实数根 D．有无数个实数根 【答案】A 【分析】解含多个绝对值的方程，先求绝对值的零点，分区间去绝对值转化为一元一次方程求解，检验解是否在对应区间，即可判断根的情况． 【详解】解：令，解得， 令，解得， 分三种情况讨论： 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 当时， ，， ∴原方程化为 ， 整理得， 解得， ，不满足，此解舍去，该区间无实根； 综上，原方程没有实数根． 34．（25-26七年级上·全国·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，根据绝对值的性质可得即，再根据的范围，及方程有三个整数解，来判断上述两个绝对值方程的解得情况，从而得出的值． 【详解】解：由题意得或， 即或， 因为方程有解，所以， 当时，， 故方程总有两个不同的解， 若原方程有三个整数解，则方程必须只有一个解，因此，解得， 将代入检验，解为，符合题意。 故选：C． 35．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知，则该方程的根有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．大于或等于2 【答案】A 【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，利用零点分段讨论即可得解． 【详解】解：对于， 令得，令得， 故绝对值内表达式的零点为0，，，以此对x的取值范围进行分段讨论： ①当时，，， ∵， ∴， ∴（舍去）； ②当时，，，， ∵， ∴， ∴（舍去）； ③当时，，，， ∴与矛盾， ∴此种情况不成立； ④当时，，，， ∵， ∴， ∴（舍去）， 综上所述，该方程的根有0个． 故选：A． 36．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. ◆题型10 绝对值非负性问题 37．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 38．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值分非负性，化简绝对值，由条件且均为正整数，可知可能为0或1，对应为3或2，分两种情况讨论，计算的值，结果均为6 【详解】解：，且为正整数， ≥ 0，， 可能为0或1， 当时， ，且， 或， ，，， ； 当，则， ，且， 为正整数， ， ，但为正整数，故， ，，， ， 综上，， 故选：C 39．（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）a、b是整数，且满足，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查求方程整数解与分类讨论数学思想的综合运用，首先根据分情况讨论，可以分成三种情况；（1）；（2）；（3），再根据条件a、b是整数分别讨论即可． 【详解】解：∵a、b是整数， ∴均为整数， ∵，，且， ∴①，则：或；满足题意； ②，不存在两个整数满足题意； ③，则，此时也不存在两个整数满足题意； 综上：； 故答案为：0． 40．（25-26七年级上·陕西西安·期中）设，其中，则的最小值为 _______． 【答案】20 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可．理解绝对值的定义以及数轴上两点间的距离的计算方法是正确解答的前提． 【详解】解：由于，其中， ， 当时，的值最小， 此时， 故答案为：20． ◆题型11 数轴与绝对值问题综合 41．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 【答案】5或9 【分析】本题考查绝对值的应用，数轴，掌握知识点是解题的关键． 由，，得到b是a和c的中点，，，由，得到，即，设x表示点E的数，当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有，分类进行分析计算；当点D在点A的左侧时，分类进行分析计算，即可解答． 【详解】解：由，， ∴b是a和c的中点，，， 由，得 ，即， 设x表示点E的数， 当时，点D在点A的右侧时(思路相同)， 有， ①当点E在点A的左侧时，如图 ， ②当点E在点C的右侧时，如图 ， ③当点E在点C上时，如图 ， ④当点E在点A上时，如图 ， ⑤当点E在之间时，如图 ， ⑥当点E在之间时，如图 ⑦当点E在之间（包括点C，D）时，如图 ， ∴的最小值为5． 当点D在点A的左侧时，同理可得， 当点E在之间时，取得最小值，如图 ∴． 综上所述，的最小值为5或9． 42．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【答案】(1)①5；②2或8； (2)5 【分析】（1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值的几何意义解答即可； （2）根据绝对值的几何意义分类讨论即可； 【详解】（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 43．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 44．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 【答案】（1）4；2或；（2）或6；（3）6；（4），，或． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，为数轴上到的距离； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为，根据新定义，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）； ，即数轴上到数的距离为3，所表示的数， ∴或； （2）当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上：或； （3）表示数到和2的距离和， 故当时，的值最小，为数轴上到的距离， ∴的最小值为； （4）设点为点C，D的“二倍点”，点表示的数为， 则：或， 当时，即，解得或； 当时，即，解得或； 综上，点C，D的“二倍点”所对应的数值为，，或． 综合攻坚·知能拔高 1．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又， ， ． 故选：A． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期中）若为整数，且的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值，明确题意，利用分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 根据题意，可以得到a、b、c之间的关系，从而可以得到所求式子的值． 【详解】解：∵为整数， ∴为整数， ∵，且， ∴当时，符合题意， 此时，或， ∴； 当时，符合题意， 此时，或， ∴； 综上，的值为2， 故选：C． 4．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）已知：，且，，则m的最小值是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简． 利用，可得，同理可求出，代入题中分析即可． 【详解】， ， ， ， 中一负两正， 若，则， 若，则， 若，则， 故最小值为0， 故选：C． 5．（2025七年级·山东·竞赛）若是1到6这六个自然数的一个排序，则的最大值是（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，熟练应用数轴将绝对值具象化是解题的关键．画出数轴，依次让，，，，，最大，那么可知，，，，，，从而算得答案． 【详解】解：如图所示：依次让，，，，，最大， 那么 ． 故答案为：18． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·自主招生）已知实数，，满足，，的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，实数的运算，由得，代入得 ，即，故．然后表达 ，代入得．令，则所求式子的最小值．利用均值不等式，，等号当且仅当时成立．故最小值为，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵实数，，满足，， ∴，，的符号为两负一正， 设，则，， 由，得． 代入，得，即， ∴． ∴． 代入，得， 故表达式为． 令，则所求式子． 证明均值不等式，当、、时， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当且仅当时等号成立），， 由均值不等式，， 等号成立当且仅当，即，．此时所求式子最小值为， 故 的最小值为， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）的最小值是__________ 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，理解绝对值的几何意义，化简绝对值是解题的关键；表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】解：表示x到1，2，3，，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ， 故答案为：． 8．（2025七年级·全国·竞赛）如果对于某一特定范围内的任意值，的值恒为一常数，则这个常数值为___________． 【答案】2500 【分析】本题主要考查了化简绝对值，根据式子的值为常数、知道化简后x的系数为0、确定x的取值范围成为解题的关键． 若为一常数，则化简后x的系数为0，由此可判定出x的取值范围，然后再根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：∵的值恒为一常数， ∴化简后x的系数为0；； ∴x的取值范围是：，解得：， ∴ ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 10．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则______． 【答案】7 【分析】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入即可解答． 【详解】解：，， ，，， ，，三个数中有两负一正， 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为， ，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 11．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的． 【探究发现】式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离． （1）若式子，则x的值为________； （2）当有最小值时，x可以取整数________（请写全符合条件的答案）； （3）当时，则x的值为________． （4）如图，三个居民区A、B、C和市民广场O在同一条直线上．其中A在O左侧处，B在O左侧处，C在O右侧处．现要在该直线上建一个便民服务点P，请问P建在何处，能使P到A、B、C的总路程最短？最短路程是多少？请说明理由． 【答案】【探究发现】（1）或5；（2）；（3）或． （4）P建在B处，P到A、B、C的总路程最短，最短路程为 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案． （1）利用绝对值的几何意义（表示数轴上两点距离），由得，求解得； （2）根据的几何意义（到、的距离和），当在与之间时和最小，找出此区间内的整数； （3） 分、、三类讨论，去掉绝对值符号解方程，得到的值． （4）点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为，总路程对应（是的位置），根据绝对值几何意义，当取中间点（，即处）时，距离和最小，计算此时的和即为最短路程． 【详解】解：（1）∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或． （2）可以理解为数轴表示点到和到的距离之和， 当时，取最小值，最小值为， x可以取整数 （3）当时，有， 解得：； 当时，有，方程无解； 当时，有， 解得：； 综上所述，的值为或． （4）建在处，能使到A、B、C的总路程最 短，最短路程是．理由如下： 设O原点，便民服务点P对应的数为， 则点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为， 总路程为， 根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示有理数的点到表示有理数的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 当时，； 当时，． 所以当时，有最小值，最小值为，即最短路程为． 所以建在处，能使到A、B、C的总路程最短，最短路程是． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期中）探究数轴上两点之间的距离． 【数学探究】 （1）数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，设A，B两点之间的距离为d．补全下列探究过程． 同学们尝试探究，将两点之间的距离转化为两点到原点的距离来研究． 当时，分三种情况： 当时， ； 当时， ； 当时， ① 同理，当时， ② ． 因为 ③ ，所以． 综上，． 【数学思考】 （2）数轴上，点M，N，P表示的数分别为m，n，p． ①若，点P到点M，N的距离相等吗？并说明理由； ②若，比较与的大小，直接写出结论． 【数学眼光】 （3）一段笔直的道路上有相距3千米的M，N两地，在两地之间距M地k（k为常数）千米处放置一个激光测速仪．一辆小汽车从M地驶向N地，当小汽车到M地的距离大于到测速仪的距离且小于到N地的距离时被测速，直接写出小汽车被测速的路段长度（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）①，②，③0；（2）①相等，见解析；②当时，；当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程等知识点，难度较大． （1）结合图示，根据绝对值的性质计算即可； （2）①由题意得，点P到点M的距离；点P到点N的距离，即可得到； ②时，则，，则作差得到，然后再分类讨论化简绝对值； （3）将点放在数轴原点处，则点表示的数为，设测速仪为点，则点表示的数为，设小汽车为点，表示的数为，小汽车到地的距离为，小汽车到地的距离为，小汽车到测速仪的距离为，当时，即，时，，解得，然后再分类讨论解绝对值方程． 【详解】解：（1）当时，分三种情况： 当时， ； 当时， ； 当时， 同理，当时，②． 因为③，所以． 综上，． 故答案为：①，②，③0； （2）①相等，理由如下： 由题意得，点P到点M的距离；点P到点N的距离 ∴； ②时，则，， ∴， 当时，，则； 当时， 若，，则； 若，，则； 若，，则； 当时，，则 综上：当时，；当时，；当时，； （3）解：将点放在数轴原点处，则点表示的数为，设测速仪为点，则点表示的数为，设小汽车为点，表示的数为， 小汽车到地的距离为，小汽车到地的距离为，小汽车到测速仪的距离为， 当时，即，时，，解得； 若，则， 解得； 若时，则， 解得（舍）， ∴当时，小汽车被测速， ∴被测速的路段长度为． 13．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与－2的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)表示数轴上有理数x所对的点到1和－3所对的两点距离之和，请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得． (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 【答案】(1)10． (2)或；． (3)． (4)2023． 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）根据题意可得8与的两点之间的距离是，计算即可． （2）表示x到的距离为3，由数轴可解；表示x到1的距离和到的距离相等，由数轴可解． （3）根据绝对值的意义可知表示x到1的距离与x到的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可． （4）根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到的距离之和，根据点在数轴上的位置求解即可． 【详解】（1）∵， ∴数轴上表示8与的两点之间的距离是， 故答案为：． （2）表示x到的距离为3， 根据数轴可得，到数轴上表示的数距离为3的点表示的数为或， 故答案为：或． 表示x到1的距离和到的距离相等， 根据数轴上点的位置可得到1的距离和到的距离相等的点表示的数为， 即， 故答案为：． （3） 表示x到1的距离与x到的距离之和， ， 由数轴可知的整数符合题意， ∴使得成立的所有符合条件的整数x为． （4）如图， 根据绝对值的意义可知表示x到的距离，x到的距离与x到1011的距离之和， ∵表示的数与表示1011的数之间的距离为， 根据数轴可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，有最小值为． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题探究】 点在数轴上分别表示实数；两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和． 利用几何意义，解决下列问题： （1）求方程的解是_____； （2）求的最小值是_____； 【问题解决】 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为200米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站P．请问点P选在_____处时，才能使这9个小区的居民到点P（物资供应站）的距离总和最小，最小值是_____； 【问题拓展】 求方程的解是_____． 【答案】问题探究：（1）或；（2）4；问题解决：，4000米；问题拓展： 【分析】本题考查数轴，绝对值的几何意义以及两点间距离，解题的关键是熟练运用数形结合的思想． 问题探究：（1）根据数轴的意义即可得解；（2）根据代数式的几何意义求出即可； 问题解决：根据两点间的距离即可得出结论； 问题拓展：根据代数式的几何意义，分情况求出即可． 【详解】解：问题探究：（1）∵的几何意义是表示有理数的点到表示数1的点的距离为2， ∴表示有理数的点在表示数1的点的左侧2个单位或右侧2个单位， 即或； （2）∵代数式是表示有理数的点到表示数1的点与表示数的点的距离之和， ∴的最小值为； 问题解决：解： ， 当点P在线段上时，最小，为1600米， 当点P在线段上时，最小，为1200米， 当点P在线段上时，最小，为800米， 当点P在线段上时，最小，为400米， 当点P在位置时，最小，为0米， ∴最小距离和为：（米）， ∴当点P在位置时，这9个小区的居民到点P（物资供应站）的距离总和最小，最小值是4000米； 问题拓展：由绝对值的几何意义可知，表示x对应的点到1的距离与到的距离之差， 当x对应的点在1对应的点和对应的点之间时，即， ， ， 解得：； 当x对应的点在对应的点左侧时，即， ，不存在的情况； 当x对应的点在1对应的点右侧时，即， 不存在的情况； 综上所述，方程的解是． 15．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是 ，A到C的距离是 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足的x的所有值是 ； ②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 ； 当x的值取在 的范围时，的最小值是 ； 当x的取值是 时，的最小值是 ； （4）试求的最小值． 【答案】（1）4，8；（2）；（3）①5或；②4，，2，3，4；（4）1025156 【分析】本题考查两点间的距离公式，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式列出代数式即可； （3）①分三种情况进行讨论求解，即可；②化简绝对值求出m的值即可，根据绝对值的意义，求最小值即可； （4）根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得A到B的距离是， A到C的距离是； 故答案为：4，8； （2）A到B的距离与A到C的距离之和可以表示为； 故答案为：； （3）①∵， 当时，， ∴； 当时，，不成立； 当时， ∴． 综上：或； 故答案为：5或； ②，当时，， 故答案为：4； 式子表示数x到1和3的距离之和， ∴当时，式子有最小值为； 故答案为：，2； 表示数轴上表示x的点到表示1、和5三个点的距离之和，要使距离之和最小，x在中间的那个数上，即时，的最小值为4； 故答案为：3，4； （4）∵表示在数轴上表示x的点到表示1，2，3，……，2025共2025个点的距离之和， ∴当取中间那个数1013时，取到最小值， 把代入得： ． 即的最小值为1025156． 16．（25-26七年级上·北京房山·期中）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，，中其中一点是另外两点的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)，，3，，9， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点， 点N的右侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件． 点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况， 第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：，，3，，9，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值的几何意义与最值问题11大题型 常考题型·精准突破 考点一 绝对值的几何意义与最值问题 题型一：两个绝对值的和的最值（高频） 题型二：两个绝对值的差的最值 题型三：多个绝对值的和的最值（高频） 题型四：绝对值中最值问题的应用（难） 题型五：已知范围的绝对值化简（高频） 题型六：未知范围的绝对值化简（难） 题型七：绝对值化简的新定义问题 题型八：绝对值化简问题综合 题型九：绝对值方程 题型十：绝对值非负性问题 题型十一：数轴与绝对值问题综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 绝对值的几何意义与最值问题 ◆题型1 两个绝对值的和的最值 1．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 2．（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果是有理数，那么的最小值为______． 4．（25-26七年级上·云南昆明·期末）我们规定：表示7与3的差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看成，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)若，则的值． (2)由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． ◆题型2 两个绝对值的差的最值 5．当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|-|x-1|的值最大是______，最小是______. 6．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 7．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）如图点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 回答下列问题： (1)与两点之间的距离是________，和两点之间的距离是________． (2)若x表示一个有理数，请你化简，并结合数轴求的最小值．（写解答过程） (3)的最大值是________． (4)的最小值是________． (5)的最小值是________． (6)的最小值是________． 8．（25-26七年级上·江西上饶·期中）【定义新知】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离． 回答下列问题： （1）数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______．当，那么x为______． （2）当的最小值是______． （3）的最大值为______． （4）当______时，的值最小． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km、左侧1km、右侧1km、右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在______，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短？最短路程是______km． ◆题型3 多个绝对值的和的最值 9．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；表示和两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么____． （2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___． （4）当___时，的值最小，最小值是____． 10．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． 例如数轴上数2，5对应点之间的距离为，数轴上数2，对应点之间的距离为： 利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上点M用数x表示 ①若，那么x的值是 ： ②当时，这样的整数x有 个： ③的最小值是 ． 12．（25-26七年级上·福建漳州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． ◆题型4 绝对值中最值问题的应用 13．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．例如：数轴上，点、表示的数分别是、，则、两点之间的距离可以表示为． 【问题解决】 (1)如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么_____． (2)若，则的最小值为_____，此时正整数的值为_____． 【关联运用】 (3)数轴上从左到右的三个点，，所对应的数分别为，，．其中，，如图所示．若是原点，且，求的值． 15．（25-26七年级上·福建莆田·期中）我们知道，是在数轴上表示数a的点到原点的距离．进一步地，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离就可以表示为．反过来，也就表示A、B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题． 例，若，求x的值． 解：①，即． 文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于2的点表示的数． ②图形语言： ③答案：x的值为或． 通过以上学习，完成以下问题： (1)若，求x的值； 解：①文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数． ②请补全图形语言： ③答案：____________． (2)若，则x的值为______． (3)代数式的最小值为______，此时x的值是______． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 16．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】 （1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】 （1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】 如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． ◆题型5 已知范围的绝对值化简 17．（24-25七年级下·重庆·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 18．（25-26七年级上·四川乐山·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)求和的值； (2)化简：． 19．（25-26七年级上·江西新余·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“ ”或“”填空：______________________________0； (2)化简：． 20．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，如图所示，且点A、B到原点的距离相等． (1)用“>”“=”“<”填空：_____0，_____； (2)化简． ◆题型6 未知范围的绝对值化简 21．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知，，则的最小值为______． 22．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知a，b，c是整数，满足，，则m的值为_____． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）如果，且，那么________． 24．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． ◆题型7 绝对值化简的新定义问题 25．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）定义：若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是______（用含的代数式表示）； (2)若，则的值为______； (3)若，则的值为______； (4)当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是______． 26．（25-26七年级上·广东珠海·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，当时，则______； (2)当，则的值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)拓展应用： 试求出取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？ 27．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； (2)点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 28．（25-26七年级上·福建厦门·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是6，点的一次跳跃点表示的数是_____． 关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，）；点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． ◆题型8 绝对值化简问题综合 29．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 30．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等，则； ④，，则的值为． A．个 B．个 C．个 D．个 32．（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ◆题型9 绝对值方程 33．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）方程实数根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有1个实数根 C．有2个实数根 D．有无数个实数根 34．（25-26七年级上·全国·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 35．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）已知，则该方程的根有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．大于或等于2 36．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． ◆题型10 绝对值非负性问题 37．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 38．（25-26七年级上·江苏南通·期中）已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 39．（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）a、b是整数，且满足，则____________． 40．（25-26七年级上·陕西西安·期中）设，其中，则的最小值为 _______． ◆题型11 数轴与绝对值问题综合 41．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上，点分别表示数，则点之间的距离为．已知点在数轴上分别表示数，且，则的最小值为________． 42．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 (2)求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 43．（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 44．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即也可理解为5与0两数在数轴上对应的两点之间的距离 类似的，表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离、如的几何意义是数轴上表示3 的点与表示x的点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为 【学以致用】 （1）计算： ， 若， 则 （2）若， 则 ； （3）的最小值为 ； 【拓展延伸】 如果数轴上有三个点且其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“二倍点”． 例如， 数轴上点M， N， P 所表示的数分别为2， 4， 5， 此时， 因此点 N 是 M、P的“二倍点”． （4）若点C表示的数是，点D 表示的数是6，直接写出点C，D的“二倍点”所对应的数值． 综合攻坚·知能拔高 1．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江温州·期中）若为整数，且的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．4 4．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）已知：，且，，则m的最小值是（    ） A． B． C．0 D．2 5．（2025七年级·山东·竞赛）若是1到6这六个自然数的一个排序，则的最大值是（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 6．（25-26九年级上·湖南长沙·自主招生）已知实数，，满足，，的最小值为____________． 7．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）的最小值是__________ 8．（2025七年级·全国·竞赛）如果对于某一特定范围内的任意值，的值恒为一常数，则这个常数值为___________． 9．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为_______． 10．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则______． 11．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的． 【探究发现】式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离． （1）若式子，则x的值为________； （2）当有最小值时，x可以取整数________（请写全符合条件的答案）； （3）当时，则x的值为________． （4）如图，三个居民区A、B、C和市民广场O在同一条直线上．其中A在O左侧处，B在O左侧处，C在O右侧处．现要在该直线上建一个便民服务点P，请问P建在何处，能使P到A、B、C的总路程最短？最短路程是多少？请说明理由． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期中）探究数轴上两点之间的距离． 【数学探究】 （1）数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，设A，B两点之间的距离为d．补全下列探究过程． 同学们尝试探究，将两点之间的距离转化为两点到原点的距离来研究． 当时，分三种情况： 当时， ； 当时， ； 当时， ① 同理，当时， ② ． 因为 ③ ，所以． 综上，． 【数学思考】 （2）数轴上，点M，N，P表示的数分别为m，n，p． ①若，点P到点M，N的距离相等吗？并说明理由； ②若，比较与的大小，直接写出结论． 【数学眼光】 （3）一段笔直的道路上有相距3千米的M，N两地，在两地之间距M地k（k为常数）千米处放置一个激光测速仪．一辆小汽车从M地驶向N地，当小汽车到M地的距离大于到测速仪的距离且小于到N地的距离时被测速，直接写出小汽车被测速的路段长度（用含k的代数式表示）． 13．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示8与－2的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)表示数轴上有理数x所对的点到1和－3所对的两点距离之和，请你利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使得． (4)若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由． 14．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）【问题探究】 点在数轴上分别表示实数；两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和． 利用几何意义，解决下列问题： （1）求方程的解是_____； （2）求的最小值是_____； 【问题解决】 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为200米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站P．请问点P选在_____处时，才能使这9个小区的居民到点P（物资供应站）的距离总和最小，最小值是_____； 【问题拓展】 求方程的解是_____． 15．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是 ，A到C的距离是 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足的x的所有值是 ； ②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 ； 当x的值取在 的范围时，的最小值是 ； 当x的取值是 时，的最小值是 ； （4）试求的最小值． 16．（25-26七年级上·北京房山·期中）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，，中其中一点是另外两点的美好点？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $