1. 电势能和电势（举一反三讲义）物理人教版必修第三册

本讲义聚焦电势能和电势核心知识点，以电场力做功特点（与路径无关、推导过程）为基础，衔接电势能（定义、与电场力做功关系、判断方法），进而延伸至电势（定义、特点、φ-x图线），构建从功到能再到电势的逻辑学习支架。 资料通过情景导入激发兴趣，结合Ep-x、φ-x图线分析深化理解，例题与变式题梯度设计培养科学思维，课后分层作业助力巩固。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升物理观念与科学探究能力。

1. 电势能和电势 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲+课后作业】 模块二 知识精讲 情景导入 。 【知识点1 电场力做功的特点】 1、静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。正（负）电荷沿着电场线方向移动时电场力做正（负）功。 2、静电力做功过程推导 （1）q沿直线从A移向B，在这个过程中q受到静电力F与位移AB的夹角始终为θ，如上图所示。静电力做的功为W＝F×cosθ×|AB|＝qE×|AM|。 （2）q沿折线AMB从A点移动到B点，在位移AM上静电力做功W1＝qE×|AM|，在线段MB上，由于移动方向跟静电力方向垂直，静电力不做功，W2＝0。则在整个移动过程中静电力对q所做的功为：W＝W1＋W2＝qE×|AM|。 （3）q沿任意曲线ANB从A点移动到B点，如上图所示，我们把曲线分成无数小段，每一小段中，设想q都从起点先沿电场方向、再沿垂直电场方向到达终点。各小段沿垂直电场方向运动时，静电力是不做功的， 各小段沿电场方向移动的位移之和等于|AM|。因此，q沿任意曲线从A点移动到B点静电力所做的功也是W＝qE×|AM|。 【例1】．关于静电力做功的特点，下列说法正确的是（　　） A．静电力做功与路径有关，与初末位置无关 B．静电力做功与路径无关，仅与初末位置有关 C．正电荷在电场中运动，静电力一定做正功 D．负电荷在电场中运动，静电力一定做负功 【变式1-1】．如图所示，在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正电荷从A点移到B点，第一次沿直线AB移动该电荷，静电力做功为W1；第二次沿折线ACB移动该电荷，静电力做功为W2；第三次沿曲线AB移动该电荷，静电力做功为W3。则（　　） A．W1>W2 B．W3<W2 C．W1＝W2 D．W1<W3 【变式1-2】如图所示为两个等量点电荷的电场线，图中点和点、点和点皆关于两电荷连线的中点对称，若将一电荷放在此电场中，则以下说法正确的是（　　） A．电荷在点受力最大 B．电荷沿直线由到的过程中，电场力先增大后减小 C．电荷沿直线由到的过程中，电场力先做正功后做负功 D．电荷沿直线由到的过程中，电场力先增大后减小 【变式1-3】（多选）如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知MQ<NQ。下列叙述正确的是（ ） A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功 B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服电场力做功 C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功 D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服电场力做的功等于电场力对该电荷所做的功 【知识点2 电势能 】 （1）电势能大小：等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正（负）号表示电势能大（小）于零势能点位置。正（负）电荷在电势高的地方电势能大（小）。 （2）零势能点的选取：通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 2、电势能与电场力做功的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。 3、对电势能的理解 （1）系统性：电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能。 （2）相对性：电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关，确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。 （3）标量性：电势能是标量，有正负但没有方向，电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能。 4、电势能增减的判断方法 （1）做功判断法：无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大。 （2）电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小。 （3）电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。 5、Ep­x图像 类型 电势能与位移变化 图像 规律 反映了电势能随位移变化的规律。 曲线斜率 图像切线的斜率的绝对值表示电场力的大小 分析方法 ①根据电势能的增减和电荷电性确定场强的方向。 ②根据电势能随位移的变化情况利用电场力、动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律等知识判断电场强度、动能、加速度等物理量的变化情形。 注意 只有电场力做功，则电势能的变化与动能的变化趋势恰好相反。 【例2】在电场中，把点电荷从A点移动到B点，克服电场力做功，下列说法正确的是（　　） A．该电荷在B点具有的电势能为 B．该电荷在B点具有的电势能为 C．该电荷的电势能增加了 D．该电荷的电势能减少了 【变式2-1】两个可看成点电荷的物体，所带的电荷量分别为2q和，两者在空间的电场线分布如图所示，以为圆心作圆，a、b两点为圆和两电荷连线的交点，过的中心作两电荷连线的垂线，c、d两点为垂线和圆的交点，以无穷远为电势零点，点电荷在空间某点与电荷距离为r处产生的电势，以下说法正确的是（　　） A．a点的场强小于b点的场强 B．a点的场强大于d点的场强 C．电子沿圆弧从a点经c点到b点，电势能先减小后增大 D．电子沿圆弧从a点经c点到b点，电势能一直减小 【变式2-2】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）如图，两电荷量分别为Q（Q>0）和-Q的点电荷对称地放置在x轴上原点O的两侧，a点位于x轴上O点与点电荷Q之间，b点位于y轴O点上方。取无穷远处的电势为零。下列说法正确的是（　　） A．b点电势为零，电场强度也为零 B．正的试探电荷在a点的电势能大于零，所受电场力方向向右 C．将正的试探电荷从a点移到b点，必须克服电场力做功 D．将同一正的试探电荷先后从O、b两点移到a点，后者电势能的变化较大 【变式2-3】如图所示，竖直平面内可看作质点的带正电荷小球从处沿圆弧运动到处。匀强电场的方向正好沿着半径竖直向上。若小球带电荷量为，圆弧半径为，电场强度大小为。求： (1)电场力做的功； (2)电势能的变化。 【知识点3 电势 】 1、电势：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。表达式为，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。 2、电势特点 （1）相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取无穷远或地球为零电势位置。 （2）标矢性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。 （3）电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，电场强度可能为零。 解释：从下图φ－x上可知该图像的斜率为电场强度，斜率为零时电势可以不为零。（从数学积分角度，电势是一个电场强度对位移的积分过程，在这个中某些位置场强为零，但是积分结果可以不为零） （4）沿电场线线方向电势逐减降低。 解释：如下图，正电荷从A点运动到B点，电场力做正功，电势能减少，电势降低；负电荷从从A点运动到B点，电场力做负功，电势能增加，电势降低。 （5）沿着电场线方向电势降低最快。 解释：如下图，从匀强电场中一等势面上的A点沿三条不同路径 AB、AC、AD到达另一等势面，这三条路径电势的减少值是一样的，但是沿AC路径最短，所以电势降低最快。 3、φ－x图线 （1）正负点电荷的φ－x图象(取无限远处电势为零)，如下图所示： （2）两个等量同种点电荷的φ－x图象，如下图所示： （3）两个等量同种点电荷中垂线上的φ－x图象，如下图所示： 特点：两点电荷连线上，中点电势最低；在两点电荷连线的中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。 （4）两个异种量同种点电荷的φ－x图象，如下图所示： 特点：两点电荷连线的中垂面上的电势为零。 【例3】（多选）如图所示为等高线图，若我们把它看成描述电势高低的等势线图，图中数据的单位为伏特，a、b是图中的两点，下列说法正确的是（　　） A．a点的电势比b点高 B．a点的电场强度比b点大 C．沿电场线方向a点电势降落得比b点快 D．同一电荷在a、b两点的电势能不同 【变式3-1】（25-26高二上·陕西安康·期中）如图所示，实线是某电场的电场线，、、是电场中的三点，则下列说法不正确的是（　　） A．、、三点的电场强度的大小关系为 B．、、三点的电势的高低关系为 C．同一试探电荷在、、三点受到的电场力的大小关系为 D．同一试探电荷在、、三点的电势能的大小关系为 【变式3-2】（25-26高二下·浙江温州·期中）某科研团队设计了一种新型海水淡化预净化装置，海水中的胶体杂质经处理后带负电，可利用电泳技术实现沉降分离。基本原理如图所示：涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部，两者浸没在海水中，形成如图所示的电场（实线为电场线，虚线为等势面）。已知、两点在同一条电场线上，、两点在同一等势面上。下列说法正确的是（　　） A．点的电场强度比点的小 B．点的电势比点的高 C．胶体杂质从点移到点，电场力对其做正功 D．胶体杂质在点的电势能比其在点的大 【变式3-3】（25-26高二下·湖南岳阳·期中）两个等量异种电荷的连线的中垂线组成的面，我们称它为中垂面。在中垂面上的两个同心圆，如图所示，圆心处在等量异种电荷连线上的中点，圆上有M、N、P三个点，下列说法中正确的是（　　） A．N点场强一定小于点的场强 B．N点电势一定大于点的电势 C．一个电子在、点所受电场力不相同 D．一个电子在、点的电势能相等 模块三 课后作业 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江台州·期末）如图所示，背靠背摩擦起电后的两位同学手指彼此靠近，手指尖间的电场可等效为不等量异种电荷间的电场，靠近到一定程度会产生放电火花现象，以下说法正确的是（　　） A．空气中被电离的离子沿着电场线运动 B．左边手指的电荷量小于右边手指的电荷量 C．空气中被电离的离子在电场力作用下运动，电势能均减小 D．摩擦之后的同学在放电之前去摸自己身上的金属钥匙会产生放电电击现象 2．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图a，在点电荷P（未画出）的电场中，让轴与它的一条电场线重合，坐标轴上有、两点。在、两点分别放置试探电荷，其所受到的静电力与试探电荷的电荷量的关系分别如图b中直线Ⅰ、Ⅱ所示。规定向右为正方向，则（     ） A．P带正电 B．点电势比点的低 C．点电场强度比点的小 D．、点的电场强度方向相同 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在真空中，一点电荷在、两点产生的电场的电场强度方向如图所示，已知在两点的连线上电场强度的最大值为，取，下列说法正确的是（     ） A．该点电荷为负电荷 B．点的电势等于点的电势 C．点的电场强度大小 D．点的电场强度与点的电场强度大小之比为 4．（25-26高二下·浙江宁波·期中）2022年北京冬奥会开幕式上，由一朵朵代表各个参赛国家的“小雪花”组成一朵“大雪花”后，奥运圣火在其中央点燃，如图甲，让全世界惊叹。某同学发现每朵“小雪花”的基本形状如图乙所示，并利用绝缘弧形细条摆成模型，若其左右分别均匀分布着等量异种电荷。a、b、c、d四点均位于对称轴上，且它们与中心点的距离均相等。则（     ） A．a点场强大于c点场强 B．a、c两点的电势相等 C．b、d两点的场强相等 D．正的试探电荷从b点到d点电势能增加 5．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）如图所示为双板式静电除尘器的工作原理简化图，高压直流电源两极分别连接放电极与收尘极板P、Q，在放电极表面附近形成强大的电场，使周围的空气电离；粉尘颗粒进入静电除尘区域，粉尘颗粒吸附负离子后带负电，粉尘颗粒在电场力的作用下向极板、迁移并沉积，以达到除尘目的。已知图中虚线为电场线，A、B、C三点在同一直线上，AB=BC，粉尘颗粒在运动过程中电荷量不变且忽略颗粒之间的相互作用，则下列正确的是（     ） A．高压直流电源端为电源的负极 B．到极板、的粉尘颗粒的电势能均增加 C．不同粉尘颗粒在A、B、C点受到的电场力大小为 D．A、B、C三点的电势满足 6．（2026·贵州毕节·三模）某工厂的静电除尘装置结构如图甲所示，两板状收集器A接高压电源正极，位于两板正中央的线状电离器B接高压电源负极。该装置的俯视图如图乙，以B上某一点为坐标原点，建立与A垂直的轴，板内沿轴的电势随位置的变化规律如图丙所示。下列说法正确的是（     ） A．板间电场方向均与轴平行 B．从到电场强度逐渐减小 C．带负电的尘埃在处所受电场力沿轴负方向 D．带负电的尘埃从点附近向A运动的过程中，电势能逐渐增大 7．（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，正三角形的两个顶点、均固定了电荷量为的点电荷，、分别为和边的中点，下列说法正确的是（　　） A．一电子沿直线由点向点移动时，其电势能先减小后增大 B．一电子沿直线由点向点移动时，其动能一直减小 C．若在点固定一电荷量为的点电荷，则点的电场强度小于点的电场强度 D．若在点固定一电荷量为的点电荷，则点的电势高于点的电势 8．（25-26高二下·浙江杭州·期中）两个的电荷和一个的电荷附近的电场线分布如图所示，是两负电荷连线的中点，两点到中间负电荷的距离相等，则（　　） A．点与点的电势相等 B．点与点电场强度相同 C．将负试探电荷从点移到点电场力做正功 D．负试探电荷的电势能点比点小 二、多选题 9．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）为电场中一直线上的两个点，带正电的点电荷只受电场力的作用，从点以某一初速度做直线运动到点，其电势能随位移的变化关系如图所示。则从到过程中，下列说法正确的是（     ） A．点电荷的动能先减小后增大 B．空间电场是某一负点电荷形成的 C．电荷所受电场力先减小后增大 D．各点的电势先降低后升高 10．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）如图所示，在正四面体的顶点B与顶点C分别固定一个等量正点电荷，M、N、P分别为棱AB、AC、BC的中点。下列说法正确的是（     ） A．P点的电场强度为零 B．M、N两点的电场强度相同 C．正点电荷在M点的电势能大于在D点的电势能 D．将负点电荷从P点移到A点，该过程中电场力不做功 11．（25-26高二下·河北石家庄·期中）电场某一区域的电场线与x轴平行，x轴上各处电势φ变化的图像如图所示，间图线为直线。将带负电粒子（不计重力）从处由静止释放，下列说法正确的是（     ） A．粒子释放后先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动 B．粒子将在坐标原点到间往返运动 C．粒子将会运动至处 D．粒子在处的动能小于在处的动能 12．（25-26高二下·云南玉溪·期中）静电纺纱是利用高压静电场使单纤维两端带等量异种电荷，在电场力作用下使纤维伸直、平行排列和凝聚的纺纱工艺。如图所示为其电场线分布简图，、为直线中垂线上两点，、关于、连线对称。下列说法正确的是（　　） A．、两点的电势相等 B．、两点电场强度相同 C．点的电势小于点的电势 D．负电荷在点的电势能大于其在点的电势能 13．（25-26高二上·云南普洱·期中）空间中存在方向平行于x轴的静电场，其电势随x的变化关系如图所示。现将一电子从处由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴运动。已知电子的电荷量为e，重力不计。下列说法正确的是（　　） A．处的电场强度大于处的电场强度 B．电子向右运动的最大位置为处 C．电子在运动过程中电势能与动能之和保持不变 D．电子运动过程中的最大动能为2eV 【 三、解答题 14.（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，ABC表示光滑绝缘轨道，其中轨道的BC部分是半径为R的圆弧，轨道的水平部分与圆弧相切。整个轨道竖直固定在水平向右的匀强电场中，将带电小球从水平轨道上A点由静止释放。已知重力加速度为g，A、B间的距离为R，小球的质量为m、带正电且电荷量为q，电场强度大小为，求： (1)小球从A到C点过程中，电势能的变化量； (2)小球到达C点的速度大小； (3)小球在C点时，轨道受到的压力大小。 15.（25-26高二上·河北衡水·期中）长为L的细杆AB的底端A固定在水平地面上，细杆与水平地面的夹角θ＝30°，C点为细杆AB的中点，C点与水平地面上D点的连线垂直于细杆。D点处固定有电荷量为Q的正点电荷。质量为m的带电小球（可视为点电荷）穿在细杆上，并从细杆顶端B点由静止开始沿杆下滑，小球经过C点时受到细杆的弹力恰好为0，小球经过C点、A点时速度大小分别为v、2v。已知小球与细杆间的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g，静电力常量为k。求： (1)小球带的电荷量q； (2)小球从顶端B点运动到底端A点的过程中克服摩擦力做的功； (3)小球从B点运动到C点，小球的电势能的变化量。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. 电势能和电势 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲+课后作业】 模块二 知识精讲 情景导入 。 【知识点1 电场力做功的特点】 1、静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。正（负）电荷沿着电场线方向移动时电场力做正（负）功。 2、静电力做功过程推导 （1）q沿直线从A移向B，在这个过程中q受到静电力F与位移AB的夹角始终为θ，如上图所示。静电力做的功为W＝F×cosθ×|AB|＝qE×|AM|。 （2）q沿折线AMB从A点移动到B点，在位移AM上静电力做功W1＝qE×|AM|，在线段MB上，由于移动方向跟静电力方向垂直，静电力不做功，W2＝0。则在整个移动过程中静电力对q所做的功为：W＝W1＋W2＝qE×|AM|。 （3）q沿任意曲线ANB从A点移动到B点，如上图所示，我们把曲线分成无数小段，每一小段中，设想q都从起点先沿电场方向、再沿垂直电场方向到达终点。各小段沿垂直电场方向运动时，静电力是不做功的， 各小段沿电场方向移动的位移之和等于|AM|。因此，q沿任意曲线从A点移动到B点静电力所做的功也是W＝qE×|AM|。 【例1】．关于静电力做功的特点，下列说法正确的是（　　） A．静电力做功与路径有关，与初末位置无关 B．静电力做功与路径无关，仅与初末位置有关 C．正电荷在电场中运动，静电力一定做正功 D．负电荷在电场中运动，静电力一定做负功 【答案】B 【详解】A．静电力是保守力，做功与路径无关，只与初末位置有关，故A错误； B．静电力做功与路径无关，仅由初末位置的电势差决定，故B正确； C．正电荷沿电场线方向运动时静电力做正功，若逆电场线方向运动则做负功，故C错误； D．负电荷沿电场线方向运动时静电力做负功，若逆电场线方向运动则做正功，故D错误。 故选B。 【变式1-1】．如图所示，在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正电荷从A点移到B点，第一次沿直线AB移动该电荷，静电力做功为W1；第二次沿折线ACB移动该电荷，静电力做功为W2；第三次沿曲线AB移动该电荷，静电力做功为W3。则（　　） A．W1>W2 B．W3<W2 C．W1＝W2 D．W1<W3 【答案】C 【详解】在匀强电场中移动电荷时， 静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。 故选C。 【变式1-2】如图所示为两个等量点电荷的电场线，图中点和点、点和点皆关于两电荷连线的中点对称，若将一电荷放在此电场中，则以下说法正确的是（　　） A．电荷在点受力最大 B．电荷沿直线由到的过程中，电场力先增大后减小 C．电荷沿直线由到的过程中，电场力先做正功后做负功 D．电荷沿直线由到的过程中，电场力先增大后减小 【答案】D 【详解】A．根据电场线的疏密特点，在AB连线上，O点电场强度最小，则受到电场力最小，而在CD连线上，O点的电场强度最大，则受到电场力最大，因此电荷在O点受力不是最大，故A错误； B．根据电场线的疏密可知，从A到B的过程中，电场强度先减小后增大，则电场力也先减小后增大，故B错误； C．电荷沿直线由C到D的过程中，电场力与速度始终垂直，电场力不做功，故C错误； D．根据电场线的疏密可知，从C到D的过程中，电场强度先增大后减小，则电场力也先增大后减小，故D正确。 故选D。 【变式1-3】（多选）如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知MQ<NQ。下列叙述正确的是（ ） A．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功 B．若把一正的点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服电场力做功 C．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，则电场力对该电荷做正功 D．若把一负的点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷克服电场力做的功等于电场力对该电荷所做的功 【答案】AD 【详解】AB．由正点电荷产生的电场的特点可知，若把一正的点电荷从M点到N点，则场源正电荷对其有向右的排斥力作用，故电场力对该电荷做正功，故A正确，B错误； C．若把一负的点电荷由M点到N点，则场源正电荷对其有向左的吸引力作用，故电荷克服电场力做功，故C错误； D．因电场力做功与路径无关，所以若把一负的点电荷从M点出发，最后又回到M点，则整个过程中电场力不做功，故D正确。 故选AD。 【知识点2 电势能 】 （1）电势能大小：等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正（负）号表示电势能大（小）于零势能点位置。正（负）电荷在电势高的地方电势能大（小）。 （2）零势能点的选取：通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 2、电势能与电场力做功的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。 3、对电势能的理解 （1）系统性：电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能。 （2）相对性：电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关，确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。 （3）标量性：电势能是标量，有正负但没有方向，电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能。 4、电势能增减的判断方法 （1）做功判断法：无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；只要电场力做负功，电荷的电势能一定增大。 （2）电场线判断法：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小。 （3）电势判断法：由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。 5、Ep­x图像 类型 电势能与位移变化 图像 规律 反映了电势能随位移变化的规律。 曲线斜率 图像切线的斜率的绝对值表示电场力的大小 分析方法 ①根据电势能的增减和电荷电性确定场强的方向。 ②根据电势能随位移的变化情况利用电场力、动能定理、动量守恒定律、牛顿第二定律等知识判断电场强度、动能、加速度等物理量的变化情形。 注意 只有电场力做功，则电势能的变化与动能的变化趋势恰好相反。 【例2】在电场中，把点电荷从A点移动到B点，克服电场力做功，下列说法正确的是（　　） A．该电荷在B点具有的电势能为 B．该电荷在B点具有的电势能为 C．该电荷的电势能增加了 D．该电荷的电势能减少了 【答案】C 【详解】把点电荷从A点移动到B点，克服电场力做功，根据电场力与电势能关系 可知该电荷的电势能增加了；由于不知道B点的电势，所以不能确定该电荷在B点具有的电势能。 故选C。 【变式2-1】两个可看成点电荷的物体，所带的电荷量分别为2q和，两者在空间的电场线分布如图所示，以为圆心作圆，a、b两点为圆和两电荷连线的交点，过的中心作两电荷连线的垂线，c、d两点为垂线和圆的交点，以无穷远为电势零点，点电荷在空间某点与电荷距离为r处产生的电势，以下说法正确的是（　　） A．a点的场强小于b点的场强 B．a点的场强大于d点的场强 C．电子沿圆弧从a点经c点到b点，电势能先减小后增大 D．电子沿圆弧从a点经c点到b点，电势能一直减小 【答案】B 【详解】A．两点电荷在a点产生的场强方向相同，在b点产生的场强方向相反，在圆上产生的场强大小相同，2q在a点产生的场强大于在b点产生的场强，根据矢量叠加，a点的场强大于b点的场强，A错误； B．同时2q在a点产生的场强大于在d点产生的场强，且两点电荷在d点产生的夹角大于零，a点的场强大于d点的场强，B正确； CD．电势是标量，根据公式，在圆上产生的电势相等，且为负值，从a点经c点到b点，2q产生的电势越来越小，且为正值，则 电子带负电，根据可知电子沿圆弧从a点经c点到b点，电势能一直增大，CD错误。 故选B。 【变式2-2】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）如图，两电荷量分别为Q（Q>0）和-Q的点电荷对称地放置在x轴上原点O的两侧，a点位于x轴上O点与点电荷Q之间，b点位于y轴O点上方。取无穷远处的电势为零。下列说法正确的是（　　） A．b点电势为零，电场强度也为零 B．正的试探电荷在a点的电势能大于零，所受电场力方向向右 C．将正的试探电荷从a点移到b点，必须克服电场力做功 D．将同一正的试探电荷先后从O、b两点移到a点，后者电势能的变化较大 【答案】B 【详解】A．等量异种点电荷的中垂线是等势线，电势等于无穷远电势，因此点电势为零；但点合场强不为零，两个点电荷在点的场强竖直分量抵消，水平分量叠加，合场强沿轴正方向，故A错误； B．两个点电荷在a点产生的电场强度的方向都向右，所以合场强的方向一定向右，则正电荷在a点受到的电场力的方向向右；正电荷从a向O运动的过程中，电场力做正功，电势能减小，而O点的电势等于0，所以正的试探电荷在a点的电势能大于零，故B正确； C． ，，正试探电荷从移到，电势能减少，电场力做正功，故C错误； D．两个等量异种电荷连线的垂直平分线是一条等势线，所以O、b两点的电势是相等的，将同一正的试探电荷先后从O、b两点移到a点，二者电势能的变化相等，故D错误。 故选B。 【变式2-3】如图所示，竖直平面内可看作质点的带正电荷小球从处沿圆弧运动到处。匀强电场的方向正好沿着半径竖直向上。若小球带电荷量为，圆弧半径为，电场强度大小为。求： (1)电场力做的功； (2)电势能的变化。 【详解】（1）电场力做的功 （2）电场力做负功，则电势能增加 【知识点3 电势 】 1、电势：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。表达式为，单位为伏特，符号为V，其中1V=1J/C。 2、电势特点 （1）相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零电势的位置有关，一般情况下取无穷远或地球为零电势位置。 （2）标矢性：电势是标量，只有大小，没有方向，但有正负。 （3）电势与电场强度大小没有必然的联系，某点的电势为零，电场强度可能不为零；某点电势不为零，电场强度可能为零。 解释：从下图φ－x上可知该图像的斜率为电场强度，斜率为零时电势可以不为零。（从数学积分角度，电势是一个电场强度对位移的积分过程，在这个中某些位置场强为零，但是积分结果可以不为零） （4）沿电场线线方向电势逐减降低。 解释：如下图，正电荷从A点运动到B点，电场力做正功，电势能减少，电势降低；负电荷从从A点运动到B点，电场力做负功，电势能增加，电势降低。 （5）沿着电场线方向电势降低最快。 解释：如下图，从匀强电场中一等势面上的A点沿三条不同路径 AB、AC、AD到达另一等势面，这三条路径电势的减少值是一样的，但是沿AC路径最短，所以电势降低最快。 3、φ－x图线 （1）正负点电荷的φ－x图象(取无限远处电势为零)，如下图所示： （2）两个等量同种点电荷的φ－x图象，如下图所示： （3）两个等量同种点电荷中垂线上的φ－x图象，如下图所示： 特点：两点电荷连线上，中点电势最低；在两点电荷连线的中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。 （4）两个异种量同种点电荷的φ－x图象，如下图所示： 特点：两点电荷连线的中垂面上的电势为零。 【例3】（多选）如图所示为等高线图，若我们把它看成描述电势高低的等势线图，图中数据的单位为伏特，a、b是图中的两点，下列说法正确的是（　　） A．a点的电势比b点高 B．a点的电场强度比b点大 C．沿电场线方向a点电势降落得比b点快 D．同一电荷在a、b两点的电势能不同 【答案】BC 【详解】AD．由题图可知，a，b两点在同一等势线上，故两点的电势相等，同一电荷在a、b两点的电势能相同，故AD错误。 BC．等势线密的位置电场线也密，故沿电场线方向a点的电场强度比b点大，a点电势降落得比b点快，故BC正确。 故选BC。 【变式3-1】（25-26高二上·陕西安康·期中）如图所示，实线是某电场的电场线，、、是电场中的三点，则下列说法不正确的是（　　） A．、、三点的电场强度的大小关系为 B．、、三点的电势的高低关系为 C．同一试探电荷在、、三点受到的电场力的大小关系为 D．同一试探电荷在、、三点的电势能的大小关系为 【答案】D 【详解】AC．电场线越密集的位置电场强度越大，由图可知，B点的电场线最密集，C点的电场线最稀疏，故 根据可知，同一试探电荷在、、三点受到的电场力的大小关系为，故AC正确，不符合题意； BD．沿着电场线方向，电势逐渐降低，所以、、三点电势关系为 根据可知，若试探电荷为正电荷，则 若试探电荷为负电荷，则，故B正确，不符合题意，D错误，符合题意。 故选D。 【变式3-2】（25-26高二下·浙江温州·期中）某科研团队设计了一种新型海水淡化预净化装置，海水中的胶体杂质经处理后带负电，可利用电泳技术实现沉降分离。基本原理如图所示：涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于底部，两者浸没在海水中，形成如图所示的电场（实线为电场线，虚线为等势面）。已知、两点在同一条电场线上，、两点在同一等势面上。下列说法正确的是（　　） A．点的电场强度比点的小 B．点的电势比点的高 C．胶体杂质从点移到点，电场力对其做正功 D．胶体杂质在点的电势能比其在点的大 【答案】C 【详解】A．电场线的疏密表示电场强度的大小，P点比M点更密集，所以P点的电场强度比M点的大，A错误； B．M点和P点在同一等势面上，沿着电场线方向电势逐渐降低，M点的电势低于在N点的电势，所以P点的电势低于N点的电势；B错误； C．胶体杂质带负电，胶体杂质在M点的电势能大于N点电势能，从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故C正确； D．M点和P点在同一等势面上，则胶体杂质在M点的电势能与在P点的电势能相等，可知胶体杂质在P点的电势能比其在N点的大，D错误。 故选 C。 【变式3-3】（25-26高二下·湖南岳阳·期中）两个等量异种电荷的连线的中垂线组成的面，我们称它为中垂面。在中垂面上的两个同心圆，如图所示，圆心处在等量异种电荷连线上的中点，圆上有M、N、P三个点，下列说法中正确的是（　　） A．N点场强一定小于点的场强 B．N点电势一定大于点的电势 C．一个电子在、点所受电场力不相同 D．一个电子在、点的电势能相等 【答案】D 【详解】A．在等量异种电荷连线的中垂面上，离连线中点越近，电场线越密，电场强度越大。由图可知点离点比点近，所以点场强大于点场强，即，故A错误； B．等量异种电荷连线的中垂面是等势面，面上各点电势相等，所以点电势等于点电势，即，故B错误； C．、两点在同一圆周上，离点距离相等，根据对称性，这两点的电场强度大小相等，方向相同，均垂直于中垂面指向负电荷一侧，由可知，电子在、两点所受电场力相同，故C错误； D．、两点都在中垂面上，电势相等，即，根据电势能公式，电子在、两点的电势能相等，故D正确。 故选D。 模块三 课后作业 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江台州·期末）如图所示，背靠背摩擦起电后的两位同学手指彼此靠近，手指尖间的电场可等效为不等量异种电荷间的电场，靠近到一定程度会产生放电火花现象，以下说法正确的是（　　） A．空气中被电离的离子沿着电场线运动 B．左边手指的电荷量小于右边手指的电荷量 C．空气中被电离的离子在电场力作用下运动，电势能均减小 D．摩擦之后的同学在放电之前去摸自己身上的金属钥匙会产生放电电击现象 【答案】C 【详解】A．只有电场线为直线、离子初速度为零（或初速度沿电场线方向）时，离子才会沿电场线运动。本题中电场线是曲线，离子运动轨迹不会与电场线重合，故A错误； B．根据可知，电荷量越大，对应电场线越密集。由图可知左手指的电场线数量更多，说明左手指电荷量更大，故B错误； C．电离产生的正离子受力沿电场方向，向负电荷运动；负离子受力逆电场方向，向正电荷运动，电场力对两种离子都做正功，因此所有离子的电势能都减小，故C正确； D．金属钥匙在人体身上，和人体是等势体，两者没有电势差，不会发生放电，不会产生放电电击，故D错误。 故选C。 2．（2026·江苏淮安·模拟预测）如图a，在点电荷P（未画出）的电场中，让轴与它的一条电场线重合，坐标轴上有、两点。在、两点分别放置试探电荷，其所受到的静电力与试探电荷的电荷量的关系分别如图b中直线Ⅰ、Ⅱ所示。规定向右为正方向，则（     ） A．P带正电 B．点电势比点的低 C．点电场强度比点的小 D．、点的电场强度方向相同 【答案】B 【详解】AD．图b中的斜率表示电场强度，根据图b中斜率的正负可知M点电场强度方向沿x轴正方向，N点电场强度沿x轴负方向，所以点电荷P应位于线段MN之间且带负电，故AD错误； C．根据图b中的斜率大小可知，故C错误； B．根据点电荷产生的电场强度 可以判断出电荷P离M点更近，点电荷周围的等势面是一系列同心球面，且沿着电场线的方向电势降低，所以在负点电荷P周围的电势满足，故B正确。 故选B。 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在真空中，一点电荷在、两点产生的电场的电场强度方向如图所示，已知在两点的连线上电场强度的最大值为，取，下列说法正确的是（     ） A．该点电荷为负电荷 B．点的电势等于点的电势 C．点的电场强度大小 D．点的电场强度与点的电场强度大小之比为 【答案】C 【详解】A．两电场线反向延长线的交点即为点电荷的位置，易知点电荷带正电，故A错误； B．根据几何关系易知M点到点电荷的距离比N点到点电荷的距离大，所以M点的电势低于N点的电势，故B错误； C．设M、N两点的连线上的C点到点电荷的最近距离为，N点到点电荷的距离为，根据几何关系有 根据题意可得 联立解得，故C正确； D．N点到点电荷的距离与M点到点电荷的距离之比为，根据可知，N点的电场强度与M点的电场强度大小之比为，故D错误。 故选C。 4．（25-26高二下·浙江宁波·期中）2022年北京冬奥会开幕式上，由一朵朵代表各个参赛国家的“小雪花”组成一朵“大雪花”后，奥运圣火在其中央点燃，如图甲，让全世界惊叹。某同学发现每朵“小雪花”的基本形状如图乙所示，并利用绝缘弧形细条摆成模型，若其左右分别均匀分布着等量异种电荷。a、b、c、d四点均位于对称轴上，且它们与中心点的距离均相等。则（     ） A．a点场强大于c点场强 B．a、c两点的电势相等 C．b、d两点的场强相等 D．正的试探电荷从b点到d点电势能增加 【答案】C 【详解】A．根据对称性可知，a、c两点的场强大小相等，方向相同，故A错误； B．由图可知，电场方向为从左至右，根据沿电场方向，电势降低，因此a点电势比c点电势高，故B错误； C．根据对称性可知，b、d两点的场强大小相等，方向相同，故C正确； D．b、d所在的竖直对称轴上场强方向始终水平向右，电场方向与垂直，因此是等势线，、电势相等，正电荷在两点电势能相等，从到电势能不变，故D错误。 故选C 。 5．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）如图所示为双板式静电除尘器的工作原理简化图，高压直流电源两极分别连接放电极与收尘极板P、Q，在放电极表面附近形成强大的电场，使周围的空气电离；粉尘颗粒进入静电除尘区域，粉尘颗粒吸附负离子后带负电，粉尘颗粒在电场力的作用下向极板、迁移并沉积，以达到除尘目的。已知图中虚线为电场线，A、B、C三点在同一直线上，AB=BC，粉尘颗粒在运动过程中电荷量不变且忽略颗粒之间的相互作用，则下列正确的是（     ） A．高压直流电源端为电源的负极 B．到极板、的粉尘颗粒的电势能均增加 C．不同粉尘颗粒在A、B、C点受到的电场力大小为 D．A、B、C三点的电势满足 【答案】D 【详解】A．粉尘颗粒吸附负离子后带负电，粉尘颗粒在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，则M端为电源的正极，故A错误； B．电场力对到极板P、Q的粉尘颗粒均做正功，所以电势能均减小，故B错误； C．根据电场线的疏密程度可知，但不同的颗粒带的电荷量大小关系不知道，所以不能比较不同粉尘颗粒在A、B、C点受到的电场力大小关系，故C错误； D．由图可知，由，可得 则有，故D正确。 故选D。 6．（2026·贵州毕节·三模）某工厂的静电除尘装置结构如图甲所示，两板状收集器A接高压电源正极，位于两板正中央的线状电离器B接高压电源负极。该装置的俯视图如图乙，以B上某一点为坐标原点，建立与A垂直的轴，板内沿轴的电势随位置的变化规律如图丙所示。下列说法正确的是（     ） A．板间电场方向均与轴平行 B．从到电场强度逐渐减小 C．带负电的尘埃在处所受电场力沿轴负方向 D．带负电的尘埃从点附近向A运动的过程中，电势能逐渐增大 【答案】B 【详解】A．两个板状收集器之间的电场分布如图所示（俯视图）， 可知板间电场方向不是均与轴平行，故A错误； B．根据图像的斜率表示电场强度，斜率变小，可知从到电场强度逐渐减小，故B正确； C．从到电势不断升高，可知电场线水平向左，可知带负电的尘埃在处所受电场力沿轴正方向，故C错误； D．带负电的尘埃从点附近向A运动的过程中，受电场力沿轴正方向，电场力做正功，可知电势能逐渐减小，故D错误。 故选B。 7．（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，正三角形的两个顶点、均固定了电荷量为的点电荷，、分别为和边的中点，下列说法正确的是（　　） A．一电子沿直线由点向点移动时，其电势能先减小后增大 B．一电子沿直线由点向点移动时，其动能一直减小 C．若在点固定一电荷量为的点电荷，则点的电场强度小于点的电场强度 D．若在点固定一电荷量为的点电荷，则点的电势高于点的电势 【答案】D 【详解】AB．B、C两点固定的是两个等量正电荷，是连线的中垂线，等量正电荷中垂线上点上方区域的电场方向沿向上指向点；电子带负电，从向运动时，所受电场力方向从指向，与运动方向同向，电场力一直做正功，因此电子电势能一直减小，若不考虑电子重力，只有电场力做功，动能一直增大，AB错误； C．A点固定后，B、C两点的在P点的场强大小相等、方向相反，合场强为0，故P点总场强仅由A处的产生，设正三角形边长为，则， 点的电场强度大小 B、C的在O点产生的场强大小相等，夹角为，故合场强沿向上，大小与分场强大小相等，则 A处的在O点产生的场强也沿向上，大小为 所以总场强，C错误。 D．A、B两点固定的是两个等量异种电荷，是连线的中垂线，根据等量异种电荷周围电势分布，可知 点的在、两点产生的电势 所以 即点的电势高于点的电势，D正确。 故选D。 8．（25-26高二下·浙江杭州·期中）两个的电荷和一个的电荷附近的电场线分布如图所示，是两负电荷连线的中点，两点到中间负电荷的距离相等，则（　　） A．点与点的电势相等 B．点与点电场强度相同 C．将负试探电荷从点移到点电场力做正功 D．负试探电荷的电势能点比点小 【答案】D 【详解】A．电场线方向是电势降低的方向，从电场线分布可知，c点所在的等势面电势高于d点，故A错误； B．b、e两点关于连线上下对称，沿电场线方向的切线方向为电场的方向，故b、e两点的电场强度大小相同、方向不同，因此点与点电场强度不相同,故B错误； C．从a点移到e点，电势降低，根据可知，负电荷的电势能增大，故将负试探电荷从a点移到e点电势能增大，根据功能关系可知，该过程电场力对该电荷做负功，故C错误； D．a点电势比b点高，根据可知，负电荷在a点电势能比b点小，故D正确。 故选D。 二、多选题 9．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）为电场中一直线上的两个点，带正电的点电荷只受电场力的作用，从点以某一初速度做直线运动到点，其电势能随位移的变化关系如图所示。则从到过程中，下列说法正确的是（     ） A．点电荷的动能先减小后增大 B．空间电场是某一负点电荷形成的 C．电荷所受电场力先减小后增大 D．各点的电势先降低后升高 【答案】AC 【详解】ABD．只受电场力做功，动能和电势能之和不变，由电势能Ep随位移x的变化关系图可知，电势能先增大后减小，所以动能先减小后增大；正电荷在电势能大的地方电势高，所以从A到B各点的电势先升高后降低，则空间电场不是某一负点电荷形成的，故A正确，BD错误； C．电势能Ep随位移x的变化关系图的斜率表示电场力，由图可知，Ep-x图的斜率先减小，后增大，所以电荷所受电场力先减小后增大，故C正确； 故选AC。 10．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）如图所示，在正四面体的顶点B与顶点C分别固定一个等量正点电荷，M、N、P分别为棱AB、AC、BC的中点。下列说法正确的是（     ） A．P点的电场强度为零 B．M、N两点的电场强度相同 C．正点电荷在M点的电势能大于在D点的电势能 D．将负点电荷从P点移到A点，该过程中电场力不做功 【答案】AC 【详解】A．根据电场的叠加可知，两电荷在P点产生的场强等大反向，所以P点的电场强度为零，A正确； B．根据等量同种电荷周围电场线分布特点可知，M、N两点的电场强度大小相等，但方向不同，B错误； C．根据，M点距离两正电荷更近，根据电势叠加原理可知，M点的电势高于D点的电势，因此正点电荷在M点的电势能大于在D点的电势能，C正确； D．根据C选项分析，同理可知P点的电势高于A点的电势，将负点电荷从P点移到A点，根据可知，电势能增大，该过程中电场力做负功，D错误。 故选AC。 11．（25-26高二下·河北石家庄·期中）电场某一区域的电场线与x轴平行，x轴上各处电势φ变化的图像如图所示，间图线为直线。将带负电粒子（不计重力）从处由静止释放，下列说法正确的是（     ） A．粒子释放后先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动 B．粒子将在坐标原点到间往返运动 C．粒子将会运动至处 D．粒子在处的动能小于在处的动能 【答案】BD 【详解】A．因图像中直线斜率的大小表示场强，电势沿x轴正方向均匀减低，场强恒定，则加速度恒定，场强方向沿x轴正方向，带负电粒子受到的电场力沿x轴负方向，粒子从处由静止释放先沿x轴负方向先做匀加速直线运动到处；图像越来越陡，场强变大，加速度变大，场强方向沿x轴负方向，粒子受到的电场力沿x轴正方向，与运动方向相反，做变减速直线运动， 故粒子先做匀加速直线运动，后做变减速直线运动，故A错误； BC．因，电势差为0，由动能定理 故粒子到处速度刚好减为零，即粒子将在坐标原点到间往返运动，故B正确，C错误； D．由图像易知， 电势差为负，电场力对负电粒子做正功，故其动能增大，即粒子在处的动能小于在处的动能，故D正确。 故选BD。 12．（25-26高二下·云南玉溪·期中）静电纺纱是利用高压静电场使单纤维两端带等量异种电荷，在电场力作用下使纤维伸直、平行排列和凝聚的纺纱工艺。如图所示为其电场线分布简图，、为直线中垂线上两点，、关于、连线对称。下列说法正确的是（　　） A．、两点的电势相等 B．、两点电场强度相同 C．点的电势小于点的电势 D．负电荷在点的电势能大于其在点的电势能 【答案】AD 【详解】A．根据等量异种电荷的电势分布特点可知，A、B两点电势相等，故A正确； B．由图可知C、D两点的电场强度大小相等，方向不同，故B错误； C．根据沿着电场线方向电势不断降低，可知B点的电势小于D点的电势，故C错误； D．根据沿着电场线方向电势不断降低，可知C点的电势小于A点的电势，故负电荷在C点的电势能大于其在A点的电势能，故D正确。 故选AD 。 13．（25-26高二上·云南普洱·期中）空间中存在方向平行于x轴的静电场，其电势随x的变化关系如图所示。现将一电子从处由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴运动。已知电子的电荷量为e，重力不计。下列说法正确的是（　　） A．处的电场强度大于处的电场强度 B．电子向右运动的最大位置为处 C．电子在运动过程中电势能与动能之和保持不变 D．电子运动过程中的最大动能为2eV 【答案】CD 【详解】A．在图像中，图线斜率的绝对值表示电场强度的大小，即 在处，该区间的电场强度大小为 在处，该区间的电场强度大小为 因为，所以处的电场强度小于处的电场强度，故A错误； BC．电子从处由静止释放，根据题图可知，处的电势为，则电子的初始电势能为 由于电子的初动能为0，故电子的总能量为 电子仅在电场力作用下运动，因此电子的动能与电势能之和是守恒的。当电子向右运动到速度为零的位置时，其动能为0，则此时电子的电势能等于总能量，即 则此时所在位置的电势为 根据题图可知，在区域的电势随变化的函数关系为（其中单位为cm，单位为V） 令，解得 所以电子向右运动的最大位置为处，故B错误，C正确； D．电子在运动的过程中，动能和电势能相互转化，总能量守恒，故当电势能最小时，动能最大；根据电势能的表达式可知，由于电子带负电，所以在电势最高处，其电势能最小。根据题图可知，电势最高点在处，最大电势为，则此时电子的电势能最小，为 则根据能量守恒定律可得电子的最大动能为，故D正确。 故选CD。 三、解答题 14.（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，ABC表示光滑绝缘轨道，其中轨道的BC部分是半径为R的圆弧，轨道的水平部分与圆弧相切。整个轨道竖直固定在水平向右的匀强电场中，将带电小球从水平轨道上A点由静止释放。已知重力加速度为g，A、B间的距离为R，小球的质量为m、带正电且电荷量为q，电场强度大小为，求： (1)小球从A到C点过程中，电势能的变化量； (2)小球到达C点的速度大小； (3)小球在C点时，轨道受到的压力大小。 【答案】(1)4mgR (2) (3)8mg 【详解】（1）（1）小球从A到C，电场力做功 （或者） 由电场力做功与电势能变化的关系可知，电势能减少4mgR （2）设小球在C点的速度大小是，则对于小球由A→C的过程中 由动能定理得：   解得 （3）小球在C点时受力分析如图 由牛顿第二定律得：，解得   牛顿第三定律可知，小球对轨道压力大小 15.（25-26高二上·河北衡水·期中）长为L的细杆AB的底端A固定在水平地面上，细杆与水平地面的夹角θ＝30°，C点为细杆AB的中点，C点与水平地面上D点的连线垂直于细杆。D点处固定有电荷量为Q的正点电荷。质量为m的带电小球（可视为点电荷）穿在细杆上，并从细杆顶端B点由静止开始沿杆下滑，小球经过C点时受到细杆的弹力恰好为0，小球经过C点、A点时速度大小分别为v、2v。已知小球与细杆间的动摩擦因数处处相同，重力加速度为g，静电力常量为k。求： (1)小球带的电荷量q； (2)小球从顶端B点运动到底端A点的过程中克服摩擦力做的功； (3)小球从B点运动到C点，小球的电势能的变化量。 【答案】(1) (2) (3)电势能增加了 【详解】（1）小球过C点时弹力为0，库仑力沿CD（垂直于AB），故垂直杆方向受力平衡，又 解得 （2）D是正点电荷，B和A到D的距离相等（几何关系可证），因此 B、A 在同一等势面上，库仑力在B到A过程中做功为0。 设小球从顶端B点运动到底端A点的过程中克服摩擦力做的功，根据动能定理 解得 （3）小球经过细杆上关于C点对称的位置时受到的支持力大小相等，摩擦力大小相等，因此，小球从B点运动到C点过程中，克服摩擦力做功 B点运动到C点过程中，设静电力做功W，根据动能定理 解得，静电力做负功，电势能增加，所以小球的电势能增加了 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $