专题02 基本不等式求最值的方法总结（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦基本不等式求最值专题，系统梳理了基本不等式概念、求最值方法总结及柯西不等式、权方和不等式等高阶内容，通过知识脑图搭建框架，分基础梳理与高阶思维分层突破考点。 清单以“题型深研+素养进阶”为特色，细分直接法、配凑法等7类题型，标注“一正二定三相等”等关键条件培养数学思维，设高考母题探究与新题对点练，如常数1代换题型配2026年上海静安三模典例及变式训练，助力学生自主构建解题范式，教师可据此精准定位重难点，提升备考效率。

专题02 基本不等式求最值的方法总结 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01基本不等式 考点02 求最值方法总结 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01柯西不等式 难点解读02 权方和不等式 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01直接法求最值 ▶考点聚焦・解法深研 题型01直接法或对勾函数求最值或范围 题型02 配凑法求最值或范围 题型03 常数1的代换求最值或范围 题型04 商式求最值或范围 题型05 消元法或换元法求最值或范围 题型06 齐次式求最值或范围 题型07 常见求不等式最值及不等式链的应用 ▶重难攻坚・考法深研 重难点01 柯西不等式求最值或范围 重难点02 权方和不等式求最值或范围 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 基本不等式 1、基本不等式的概念 （1） （2）基本不等式： （3）基本不等式的推广 2、对基本不等式的使用，需要满足以下条件 （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 注意：一定要验证取等条件，当取等条件不满足时，可以考虑用对勾函数求最值 3、重要不等式链： 即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 4、对勾函数 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线。形如的函数，由其图像的性质得名。 （1）当，函数单调递增，，函数单调递减，则在，函数 （2）当，函数单调递减，，函数单调递增，则在，函数 注意：在求最值或范围时，一定要注意定义域 【新题对点练】（多选）（2025·全国·模拟预测）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 考点02求最值方法总结 1、利用基本不等式求最值时： （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值，（简记为：积定和最小） （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值，（简记为：和定积最大） 注意：看题目条件，看能否配凑成积是定值，或者和是定值 2、常见的基本不等式求最值的方法 （1）配凑法（拆项、并项、配凑）：目标是相关代数式种的项能够构造出“积为定值”或“和为定值”的形式。 （2）常数1的代换：形如和的形式，可以让两个式子进行相乘构造出基本不等式的倒数结构 （3）消参法就是对应不等式中的两元问题，一般是二元二次问题（也有更高次），用一个参数去表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．尤其遇到双元分式问题，我们可以采用双换元的方法，分别运用两个分式的分母作为新的两个参数，再转化为新参数的不等关系． （4）齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 【新题对点练】（2025�上海�高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 难点解读01 柯西不等式 二维柯西不等式： 设，则，当且仅当时等号成立 1、分母的倍数和为常数 ，其中； 2、一高一低和式配凑类型 ，其中， 3、同次积式配凑类型 已知的值，求的最值，利用求最值． 难点破解（2025高三·全国·竞赛）若，满足，则函数的最大值是_____． 【答案】 【分析】运用柯西不等式进行求解即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以函数的最大值是． 故答案为： 难点解读02 权方和不等式 1、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用： 设，则，当且仅当时等号成立 2、多维变量 若则 当且仅当时，等号成立.为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 难点破解（2026高三上·全国·专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 【答案】52 【分析】先将转化为，然后根据权方和不等式计算. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为： 素养进阶·答题技法突破 题型01 直接法求最值 【典例1】（2026�上海�高考真题）若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 【典例2】（2024�上海�高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 题型01 直接法或对勾函数求最值或范围 1、使用基本不等式求最值的时候，要注意使用基本不等式的条件，一正二定三相等，要满足时才能使用。 2、先配凑成对勾形式，若范围包含顶点则用基本不等式直接得最值，若范围不包含顶点则用单调性求端点值。 【典例1】（2026�天津河西�一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 【典例2】（2026�贵州贵阳�二模）若，且，则ab的最小值是______． 【答案】4 【详解】因，则，整理得， 解得，即，当且仅当时取等， 故当时，ab取得最小值为4. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质依次判断即可. 【详解】对于A，，， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，异号时，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，当，则由， 当且仅当，即或，不满足的条件，故B错误； 对于C，若，则， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，若，则， 当且仅当或时等号成立，故D正确． 【变式2】（2026�北京海淀�二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由关系，结合基本不等式求结论. 【详解】，， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因此函数最小值为. 题型02 配凑法求最值或范围 通过恒等变形（加减常数、乘除因子、拆项、添项、换元等），将目标表达式配凑成定值形式，以便应用基本不等式或已知函数性质求解最值。 【典例1】（2026�河南开封�模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 【典例2】（2026�安徽合肥�模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】3 【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3. 【变式1】（2026�云南昆明�模拟预测）函数（）的最小值为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解． 【详解】由题得， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则函数（）的最小值为12． 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）函数的最小值为（   ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最小值为49. 故选：D. 题型03 常数1的代换求最值或范围 “常数1的代换”的本质是：利用已知的等于 1 的等式，将目标式中的 1 整体替换为已知等式，从而进行“拼凑”与“化简”，以便运用基本不等式。 1. 用已知等式表示 1：条件中含有等于1的代数式或者等于常数的代数式变成1。 2. 乘到目标式中：将目标式子里的常数项（常常是独立的 1 或可视为 1 的部分）替换成该表达式。 3. 变形合并：把目标式化为可以应用基本不等式的形式（通常凑出和定或积定）。 【典例1】（2026�上海静安�三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 【典例2】（2026�河南开封�模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即，结合得时等号成立， 的最小值为4． 【变式1】（2026�天津红桥�一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 【变式2】（2026�辽宁沈阳�三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 题型04 商式求最值或范围 对二次/二次、二次/一次、一次/二次、一次/一次这种商式求最值的问题中，我们可以通过除法分解，将问题转化为可运用基本不等式或函数性质处理的形式 1、 对于二次/一次，将其分解成“一次+分式”，然后运用基本不等式求最值 2、 对于一次/二次，将其看作为二次/一次的倒数，先按二次/一次来求最值，然后再参考倒数的最值。 3、 对于二次/二次，先分离常数，让其变成“常数+一次/二次”，然后再按二次/一次来求最值再参考倒数的最值。 4、 对于一次/一次，先分离常数，让其变成“常数+常数/一次”，按反比例函数的单调性来求最值。 【典例1】（2026�河南开封�模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 【典例2】（2026�北京昌平�一模）当时，函数的最小值为_____． 【答案】 【分析】由基本不等式进行求解． 【详解】因为，所以，等号成立时，， 故函数的最小值为． 【变式1】若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 【变式2】（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 题型05 消元法或换元法求最值或范围 消元后需注意新变量的取值范围（由原变量约束决定）；换元后新变量范围要准确对应；两种方法常结合使用。 【典例1】（2026�重庆万州�模拟预测）已知定义在上的函数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】先利用函数单调性可得，再令，对原式进行化简，利用两次基本不等式求最小值即可． 【详解】解：，，即， 又，， 函数在单调递增， ，即， 令，则， ，当且仅当时取等， 又，当时取等， 综上，时，取得最小值． 【典例2】（2026�河南南阳�模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解. 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 【变式1】（2026�福建南平�二模）若，，且，则的最小值为________. 【答案】5 【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解. 【详解】由得，所以， 因为，，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. 【变式2】（2026�贵州贵阳�模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 题型06 齐次式求最值或范围 在1的代换中，我们遇到的形式常是，求的形式，但是如果遇到求最值的这个格式不一致时，就需要先多次代换1，使要求的式子变成我们需要的格式 1、 可以把式子换成齐次式，可以使用基本不等式 2、 变成可以使用1的代换的式 【典例1】（2026�湖北武汉�模拟预测）已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可． 【详解】， 关于点对称，又， 在和单调递减，且时，时，， 又，， ， 又（当且仅当时取等）， 则. 【典例2】（2026�江苏常州�三模）已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性性质得到，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为随机变量 ，正态分布的概率密度曲线关于均值 对称， 因为，根据正态分布的对称性性质得 化简得，所以 所以 根据基本不等式,当且仅当 时，等号成立， 此时结合 ，，得, , 所以，当且仅当, , 等号成立， 所以 的最小值为 . 【变式1】（2026�广东清远�二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【变式2】（2026�湖南怀化�一模）已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用1的代换，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由 ，得 ，即 （）， 则， 当且仅当 ，即，再结合 ， 可解得 ，满足条件，因此的最小值为 . 题型07 常见求不等式最值及不等式链的应用 重要不等式链的应用： 即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 【典例1】（多选）（2026�黑龙江哈尔滨�模拟预测）（多选）已知正实数满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A选项， 因为，是正实数，所以，则， 又因为，所以， 故A选项正确. 对于B选项，根据基本不等式，， 已知，代入得， 两边平方得，即。 等号成立当且仅当，结合，解得，， 故B选项正确. 对于C选项，， 则因为均为正实数，所以由基本不等式得， 所以， 故C选项错误. 对于选项D， 由选项B知，所以， 因此， 即， 故D选项错误. 【典例2】（多选）（2026�陕西宝鸡�模拟预测）（多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】， ，解得， 指数函数单调递增， ，即，故A正确； 由基本不等式得， 两边平方得，解得，当且仅当时等号成立，故B错误； ， ， 当且仅当时取等号， ，故C正确； ，则， ， 由于函数的图象开口向上，对称轴， 故的最小值为，则，故D正确． 【变式1】（多选）（2026�贵州毕节�三模）（多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. 【变式2】（多选）（2026�河南�模拟预测）（多选）已知，，，下列说法正确的是（   ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．ab的最大值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A直接利用基本不等式；B利用基本不等式求的最值；C对利用基本不等式；D利用消元法求解. 【详解】对于A，因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时是最小值不是最大值，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，，所以，所以， 令，所以，即，所以， 所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为，所以， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即，所以时，等号成立，故D正确. 重难点01 柯西不等式求最值或范围 1、已知平方和定值，求线性式的最值，将线性式平方，用柯西放缩。 2、已知线性式和定值，求平方和的最值，将平方和乘上常数，用柯西反向。 3、分式最值（如  ​，已知 ），用柯西构造乘积定值。 配凑平方和与乘积和，写出柯西不等式，解出范围，最后验证取等条件是否满足题目限制。 【典例1】（2025高三·全国·竞赛）已知，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】利用柯西不等式证明，，由此可得结论. 【详解】由于， 同理可得．三式相加得 等号成立时．所以的最小值为． 故答案为： 【典例2】（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】/0.4 【分析】根据柯西不等式的性质计算即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 故答案为：. 【变式1】（2025高三·全国·竞赛）设．求证：，并确定等号成立的条件． 【答案】证明见解析， 【分析】本题利用柯西不等式，通过配凑，代入不等式，即可证明结论并推出等号成立的条件. 【详解】注意到 ，等号成立时． 于是， 等号成立时． 【变式2】（2025高三·全国·竞赛）已知为正实数．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，然后利用柯西不等式的性质证明即可. 【详解】先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 重难点02 权方和不等式求最值或范围 已知分母和（或分子和）为定值，求分式型表达式的最值。适用于分子为平方、分母为一次的分式求和。确保分母为正；取等条件需能同时成立；若结构不完全匹配，先通过变形（如提取系数、拆分项）配凑。 【典例1】（2026�广西南宁�二模）设，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】8 【详解】由. 从而原问题转化为求的最小值. 因为 ， （以上均为当且仅当时取等号）. 所以. 即实数的最大值为8. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 【答案】 27 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值. 【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故答案为： ；27 【变式1】（2025高三·全国·竞赛）已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用权方和不等式的性质计算即可. 【详解】应用权方和不等式，有 等号成立时． 所以的最小值是． 故答案为：. 【变式2】（2025高三·全国·竞赛）若锐角满足，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用权方和不等式的性质计算即可. 【详解】 ， 等号成立时． 附：权方和不等式的证明． (Hölder不等式)设， 则． 取，代入Hölder不等式得 ． 故答案为：. 优题精练·专题实战通关 1．（2026�广东江门�二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 2．（2026�内蒙古呼伦贝尔�模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 3．（2026�广东湛江�二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 4．（2026�湖北黄冈�三模）（多选）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，利用基本不等式，可得判定A不正确，B正确，C正确；由，化简得到，结合二次函数的性质，可判定D不正确. 【详解】对于A，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A不正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，所以B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C正确； 对于D，因为，，且，所以， 又因为，可得，所以D不正确. 5．（2026�云南昆明�模拟预测）设，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若取，但，不满足，故A错误； 对于B，若取，，则，不满足，故B错误； 对于C，因，当且仅当时取等， 即当时，取得最小值，而,故C错误； 对于D，令，则可看作关于的一元二次方程有正数解， 所以，整理得，此时可看作关于的一元二次不等式有正数解， 则，可得，因，则得，当时取等，故D正确. 6．（2026�山东聊城�模拟预测）（多选）已知正数满足，则（   ） A． B．的最小值为2 C．的最小值为9 D．的最小值为1 【答案】AC 【分析】先根据对数的运算法则对已知等式进行化简，得到的关系，然后根据基本不等式逐一验证. 【详解】， 解得，即，选项A正确； ，即，则，所以的最小值为4，选项B错误； ，则， ， 当且仅当，时等号成立，即，选项C正确； ，当且仅当时成立， 而，则，所以取不到，选项D错误. 7．（2026�黑龙江哈尔滨�模拟预测）（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】AC 【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. 8．（2026�天津南开�二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 9．（2026�福建漳州�二模）（多选）已知正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为27 C．的最大值为6 D．若，则的最小值为6 【答案】ABD 【分析】利用“1”的代换，完全平方公式，函数导数，三角代换法逐项分析即可. 【详解】对于A，由，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以 ， 令，则， 设， 所以 ， 由，所以，令，解得：， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当即时，的最小值为27，故B正确； 对于C，因为， 所以， 令， 则， 因为，所以， 当时取等号，此时由，得出， 因为，所以条件不满足，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 因为，所以 ， 当且仅当即等号成立，故D正确. 10．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： $函学科网·上好课 www,ZX×k,Com 上好每一堂课 专题02基本不等式求最值的方法总结 -◆分)的◆- 目录导航 @7知识脑图。核心脉络搭建一一梳理专题框架，搭建知识体系 @2考点深研知能分层突破一一 深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理·自主夯基 口高阶思维·探究拓展 考点01基本不等式 难点解读01柯西不等式 考点02求最值方法总结 难点解读02权方和不等式 @3素养进阶。答题技法突破一一提炼解题范式，提升答题素养 口高考解密·母题探究 题型04商式求最值或范围 题型01直接法求最值 题型05消元法或换元法求最值或范围 题型06齐次式求最值或范围 )考点聚焦·解法深研 题型07常见求不等式最值及不等式链的应用 题型01直接法或对勾函数求最值或范围 重难攻坚·考法深研 题型02配凑法求最值或范围 题型03常数1的代换求最值或范围 重难点01柯西不等式求最值或范围 重难点02权方和不等式求最值或范围 @4优题精练·专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 -------------◆》◆----- 1/11 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 小知识脑图核心脉络搭建 V瓜≤”生兰a>0b>Q当且收a一做，等号流)、一生意使用条件一正二定三得等 知识点01基本不等式 ≤va≤生sV 2 a,bcR 。厂一使用基本不等式的条件不满足时，考患使用对约函数求最值 对构数e-z+k>0)的调∈(-e,0,满数e一--v网-2We∈@，+，阴数e一=V周-2W乐 配淡法（拆项、并项、配凑）：目标是相关代数式种的项能够构造出“积为定 值”或“和为定值的形式。 常数1的代换：形如xy厂1和ax+b1的形式，可以让两个式子进行相乘构造出 基本不等式的倒数结构 基本不等式求最值 知识点02求最值方法总结 消参法就是对应不等式中的两元问题 一般是二元二次问题（也有更高次），用 一个参数去表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解 齐次化就是合有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体 然后转化为运用基本不等式进行求解： 难点01柯西不等式 设a,云>0，公2+的2+)之a任+，当仅当-时等号成立 难点02权方和不等式 1考点深研· 知能分层突破 基础梳理·自主夯基 一一核心必记 。考点01基本不等式 1、基本不等式的概念 （1)a2+b2≥2ab台b≤学(ab∈R当且仅当=b时，等号成] (2)基本不等式：Vab≤学(a>0,b>0,当且仅当a=b时，等号成立)】 (3)基本不等式的推广 Va1+2+…an≤3（当且仅当1=a2=…an时取等） 2、对基本不等式的使用，需要满足以下条件 (1)“一正二定三相等“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成 积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所 求的最值，这也是最容易发生错误的地方 注意：一定要验证取等条件，当取等条件不满足时，可以考虑用对勾函数求最值 3、重要不等式链： 异≤Vb≤学≤V些(abe*) 即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）， 4、对勾函数 2/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线。形如F(x)=x十低>0)的函数，由其图像的性质得 名。 (1)当x∈(o,风函数单调递增·x∈（压， 函数单调递减，则在x∈(-2,0)，函数 f(x)=f(k)=-2k (2)当x∈0，V瓜)，函数单调递减：x∈（及，十四函数单调递增，则在x∈(0，十函数 f(x)m=f()=2/k y=x+- 注意：在求最值或范围时，一定要注意定义域 【新题对点练】（多选）(2025·全国模拟预测)已知a,b>0,且a+b=1,则() A.b的最大值是 B。G2+6的最大值是号 C.+的最小值是4 D.√a+√b的最小值是√2 。考点02求最值方法总结 1、利用基本不等式求最值时： (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=V时，x十y有最小值，（简记为：积定和最小） (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时，y有最大值，（简记为：和定积最大） 注意：看题目条件，看能否配凑成积是定值，或者和是定值 2、常见的基本不等式求最值的方法 (1)配凑法（拆项、并项、配凑）：目标是相关代数式种的项能够构造出“积为定值”或“和为定值”的 形式。 3/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)常数1的代换：形如x+y=1和是+号=1的形式，可以让两个式子进行相乘构造出基本不等式的倒 数结构 (3)消参法就是对应不等式中的两元问题，一般是二元二次问题（也有更高次），用一个参数去表示另一 个参数，再利用基本不等式进行求解.尤其遇到双元分式问题，我们可以采用双换元的方法，分别运用两 个分式的分母作为新的两个参数，再转化为新参数的不等关系， (4)齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本 不等式进行求解 【新题欧对点练 】(225?上高考真题)设ab>0a+片1，则b+的最小值为 a 高阶思维·探究拓展一一悬想解玛 。难点解读01柯西不等式 二维柯西不等式： 设1，b,x,y>0,则(2+b2)(x2+y网)≥(ax+by)2,当且仅当兰时等号成立 1、分母的倍数和为常数 a+b程+)≥(m+回，其中a，b,m,nR 2、一高一低和式配凑类型 (x2+y2(m2+n习≥(mx+y)月，其申m,n∈R 3、同次积式配凑类型 已知的值，求(x+my+maeR)的最值，利用x+my+2(y+Vmn‘求最值 ◇难点破解(2025高三·全国竞赛)若x,八，z∈R,满足y+z+zx=1,则函数 f(x,,z)=Vy+5+Vz+5+V2x+5的最大值是 。难点解读02权方和不等式 1、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用： 设a,b,x,y>0,则髻+号≥，当且仅当是=吕时等号成立 x+y 2、多维变量 者a>04>0,m≥0.侧a+a++e≥么+0++a小 6)mTb2)"中(b)”(6+b2++bnm 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当且仅当4=马==a时，等号成立.m为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. bb bn ◇难点破解(2026高三上全国专题练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最 时有很广产泛的应用，其表述如下：设4，b,七，y>0,则2+。之T，当且仅当。=时等号 1 x+y 立根据权方和不等式。函数了到3江3+60<x< x+1-3x 的最小值为 小素养进阶。答题技法突破 高考解密·母题探究一一考法潮源 《。题型01直接法求最值◇ 【典例1】(2026？上海？高考真题)若a>0,b>0,且a+2b=4,则ab的最大值是 【典例2】(2024？上海？高考真题)已知ab=1,4a2+9b的最小值为 考点聚焦·解法深研一一核心归纳 。题型01直接法或对勾函数求最值或范围◇ 悟解题关键 1、使用基本不等式求最值的时候，要注意使用基本不等式的条件，一正二定三相等，要满足时才能使用。 2、先配凑成对勾形式，若范围包含顶点则用基本不等式直接得最值，若范围不包含顶点则用单调性求端 点值。 【典例1】(2026？天津河西？一模)已知a>0,b>0,且2a+b=1,则ab的最大值为() 1 A.1 B.4 C.3 D.9 【典例2】(2026？贵州贵阳？二模)若a>0,b>0,且ab=a+b,则ab的最小值是。 【变式1】(2026高三全国，专题练习)下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是() A.若a,beR,则b+≥2 b.a=2 a b a b B.若x>0,则由x+1 之2x+ -1=1知，x+1的最小值为1 x+1 x+1 4、。4 C.若x<0,则x+-≥-2，x二=-4 5/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.若xy=1,则x2+y2≥2y=2 【变式2】(226北京海淀？二模)函数国=G+的最小值为() A.2 B.4 C.3 D.6 。题型02配凑法求最值画或范用◇ 悟解题关健 通过恒等变形（加减常数、乘除因子、拆项、添项、换元等），将目标表达式配凑成定值形式，以便应 用基本不等式或已知函数性质求解最值。 【典例1】(2026？河南开封7模拟预测)若x>2y>0,则，x,+2的最小值为(） x-2y y A.3 B.6 C.9 D.12 【典例2】(2026？安微合肥？模拟预测)已知实数a,b满足ab>0,则2+4的最小值为 aa+b 【变式1】2026云南昆明2模拟预测)函数fx=3+(x>3)的最小值为(》 A.9 B.12 C.6+25 D.3+2V5 【变式2】(25-26高三·全国.一轮复习)函数f(x)= 3+160<x<)的最小值为() x"1-3x 3 A.16 B.25 C.36 D.49 《。题型03常数1的代换求最值或范围◆ 悟 解题关健 “常数1的代换”的本质是：利用己知的等于1的等式，将目标式中的1整体替换为已知等式，从而 进行“拼凑”与“化简”，以便运用基本不等式。 1.用已知等式表示1：条件中含有等于1的代数式或者等于常数的代数式变成1。 2.乘到目标式中：将目标式子里的常数项（常常是独立的1或可视为1的部分）替换成该表达式。 3.变形合并：把目标式化为可以应用基本不等式的形式（通常凑出和定或积定）。 1.3 【典例1】(2026？上海静安？三模)若x,y均为正数，且x+y=4,则一+二的最小值为 x y 【典例2】(2026河南开封P模拟预D已知正实数a,力满足2+1，则b+,的最小值为 6/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 1 【变式1】(2026？天津红桥？一模)己知a>0,b>0,若a+b=2,则 一十 的最小值为() 1+a1+b A.2 B D.2+√2 1+1 【变式2】(2026？辽宁沈阳？三模)已知正数x,y满足x+y=山，则2x+y十x+2 的最小值为 《。题型04商式求最值或范用◇ 悟 解题关健 对二次/二次、二次/一次、一次/二次、一次/一次这种商式求最值的问题中，我们可以通过除法分解， 将问题转化为可运用基本不等式或函数性质处理的形式 1、对于二次/一次，将其分解成“一次+分式”，然后运用基本不等式求最值 2、 对于一次/二次，将其看作为二次/一次的倒数，先按二次/一次来求最值，然后再参考倒数的最值。 3、 对于二次/二次，先分离常数，让其变成“常数+一次/仁次”，然后再按二次/一次来求最值再参考倒 数的最值。 对于一次/一次，先分离常数，让其变成“常数+常数/一次”，按反比例函数的单调性来求最值。 【典例1】(2026？河南开封？模拟预测)设x>1,则。-2x+3的最小值为 x-1 【典例2】(2026？北京昌平？一模)当x>0时，函数y=+1的最小值为 【变式1】若对xR恒有3r+2x+2>,则的取值范围是 x2+x+1 【变式2】(25-26高三上北京阶段检测)若x>1,则函数∫=-x+的最小值为，此时x= x-1 。题型05消元法或换元法求最值画或范用◇ 悟解题关健 消元后需注意新变量的取值范围（由原变量约束决定）；换元后新变量范围要准确对应；两种方法常结 合使用。 【典例1】(2026重庆万州？模拟预测)已知定义在(0，+0上的函数f=e满足2a>1,则 f(b) b(2a-b的最小值为() 4 a2+ A.4 B.8 C.12 D.16 7/11 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(2026？河南南阳？模拟预测)已知正数x,y满足4+y=上，则上+y的最小值为() A.7 B.9 C.10 D.12 【变式1】(2026？福建南平？二模)若a>0,6>0,且2+=1，则20+b的最小值为 a b b 【变式2】(2026？贵州贵阳？模拟预测)已知m> 3n>1,且3mn-3m-m=1,则，1+ 1 4的最小值 3m-1n- 是() A.2 B.4 C.25 D.2√2 《。题型06齐次式求最值或范用《◇ 悟 解关键 在1的代换中，我们遇到的形式常是x+y=1,求专+的形式，但是如果遇到求最值的这个格式不一 致时，就需要先多次代换1，使要求的式子变成我们需要的格式 1、 可以把式子换成齐次式等+安，可以使用基本不等式 2、 变成可以使用1的代换的定+式 【典例1】(2026？湖北武汉？模拟预测)已知函数f八到=2x2若正数a,6,满足/)+1川26-1， 则、ab 。2+26的最大值为() A. B. 2V2-1 c. D.22+1 8 7 7 【典例2】(2026？江苏常州？三模)已知随机变量X~N(2,3,正实数a,b满足 P(X≤3a+2=P(X≥4h-l,则泊+a+3 的最小值为 4a 【变式1】(20262广东清远？二模)已知实数a>0,6>0,且a+b=1,则0+1的最小值为（) ab A.5 B.4 C.2√2-2 D.2√2+2 【变式2】(20262湖南怀化？一模)已知6>0，且3.9=3，则+6的最小值为 2ba+3b 《。题型07常见求不等式最值及不等式链的应用◇ 悟解题关健 重要不等式链的应用： 异≤Vb≤学≤呼(abeR*) 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件） 【典例1】（多选)(2026？黑龙江哈尔滨？模拟预测)（多选)已知正实数x,y满足：x+2y=1,下列说 法正确的是() A0<y对 B.xs! e420 D.2+42s 2 【典例2】（多选）(2026？陕西宝鸡？模拟预测)（多选）已知正数m,n满足3m+2n=1,则() B.mns 1 2. A.1<4"<2 48 C.22≥16 D. 【变式1】（多选）(2026？贵州毕节？三模)（多选）已知正实数a,b满足a+b=2,则() A.ab≤1 B.√a+√b≤2 C.a2+b2≤2 D.+s1 a b 【变式2】（多选）(2026？河南？模拟预测)（多选）已知a>0,b>0,(2a+1)(b+1)=4,下列说法正 确的是（) 1 1 A. 2a+1b+1 的最大值为1 B.2a+b的最小值为2 C.ab的最大值为4 3 D (b+)的最小值为2 重难攻坚·考法深研一一妻点提炼 《◇重难点01柯西不等式求最值画或范围◇ 悟 破解袂窍 1、已知平方和定值，求线性式的最值，将线性式平方，用柯西放缩。 2、己知线性式和定值，求平方和的最值，将平方和乘上常数，用柯西反向。 3、分式最值（如罗+号，已知ax+by=1)，用柯西构造乘积定值。 配凑平方和与乘积和，写出柯西不等式，解出范围，最后验证取等条件是否满足题目限制。 【典例1】(2025高三全国竞赛)已知x,八2>0，则/=V+少++4：+2+16x 的最小值是 9x+3y+5z 【典例2】(2025高三全国竞赛)设2x+y-V5z=2,则x2+y2+z2的最小值为 【变式1】(2025高三全国竞赛)设a≥c,b2c,c>0.求证：Vc(a-c+Vc(b-c≤Vab,并确定等号 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 成立的条件。 【变式2】(2025高三全国·竞赛)已知a,b,c为正实数.证明：a2+2)b2+2(c2+2≥9(ab+bc+ca. 。重难点2权方和不等式求最值或范用◆ 悟破解袂窍 已知分母和（或分子和）为定值，求分式型表达式的最值。适用于分子为平方、分母为一次的分式求和。 确保分母为正；取等条件需能同时成立；若结构不完全匹配，先通过变形（如提取系数、拆分项）配凑。 【典例1】(2026？广西南宁？二模)设a>0,b>0,若不等式a(a+1)2+b(b+12≥ab恒成立，则实数2 的最大值为 【奥例2】2526高三全国轮复习D0>若a>0,6>0,且0十b+b1,则a+2b的最小值为 18 (2)已知正实数x,y满足x+y=1,则之+的最小值为 【变式1】(2025高三全国竞赛)已知x是一个锐角，那么8+1的最小值是 sinx cosx 【变式2】(2025高三·全国·竞赛)若锐角4，B,C满足sin2A+sinB+sinC=2,则 1 1 1 十 的最小值是 sin2AcosB sin2Bcos'C sin2Ccos4 小小优题精练。专题实战通关 1.(2026?广东江门？二模)已知a>1,b>1,且ab=a+b+3,则4a+b的最小值为() A.11 B.12 C.13 D.14 2.(2026?内蒙古呼伦贝尔？模拟预测)当a>0,b>0且满足a+b-ab=-3时，若ab>k2+k+7恒成立， 则k的取值范围为() A.（-0,-2U1,+0 B.（-1,2 C.-0,-1U2,+0 D.（-2,1 3.(2026?广东湛江？二模)已知正数x,y满足x+3y=8,则(x+1)(y+1)的最大值为 4.(2026?湖北黄冈？三模)（多选）若a>0,b>0,a+b=4,则() C.√a+√b≤2v2 D.12<a2+3b2<48 10/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2026?云南昆明？模拟预测)设a>0,b>0,则下列结论正确的是() A.a2+b2≥2(a+b B.a+b2 ≥ab a+b C b+2a≥22 a+b 1 D. aa+b a2+b2+22 2026?山东聊城2模拟预测)（多选）已知止数ab满足og,a+bo8,。=1a≠1，b≠，则( A.a+b=ab B.ab的最小值为2 C.a+4b的最小值为9 D.a-的最小值为1 7.(2026?黑龙江哈尔滨？模拟预测)（多选）已知a>0,b>0,且a+2b=1,则下列说法正确的有() A.b的鼓大恒为日 B.+的最小值为22 a b C.√a+√2b的最大值为√2 D.2°+4的最小值为4 8.(2026?天津南开？二模)已知x≠kπ时， 1.4 sin'x 2+cos2x 的最小值为() A. B.3 c. 9.(2026?福建漳州？二模)（多选)已知正数4，b满足a+b=1,则下列说法正确的是() A.8+2的最小值为9+4N5 a b B.81 a+6京的最小值为27 C.3√ā+√3b+6的最大值为6 D.若c∈R,则，8a 1 +2c2的最小值为6 bc2+b abc2+ab 10.(25-26高三上福建阶段检测)已知x+0且y≠0，则+2的最大值为一· 2x2+y2 11/11