第13讲 中心对称（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第13讲中心对称 目录 知识点1 中心对称的定义（两个图形） 2 知识点2 中心对称图形的定义（一个图形） 2 知识点3 中心对称五大核心性质（必考） 2 知识点4 原点对称坐标变换规律（秒杀公式） 2 知识点5 中心对称、轴对称、旋转对称 3 题型1 成中心对称 3 题型2 画已知图形关于某点对称的图形 5 题型3 画两个图形的对称中心 8 题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 11 题型5 中心对称图形的识别 14 题型6 判断中心对称图形的对称中心 16 题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 18 题型8 求关于原点对称的点的坐标 20 题型9 已知两点关于原点对称求参数 21 题型10 判断两个点是否关于原点对称 22 题型11 按图形的变换要求画出两一个图形 24 1. 知识目标：精准区分中心对称（两个图形）与中心对称图形（一个图形）的定义与区别；熟练掌握中心对称的核心性质、作图规则；熟记平面直角坐标系中原点对称的坐标变换公式，掌握常见中心对称图形类别与特征。 2. 能力目标：能准确判断中心对称关系、识别中心对称图形；熟练完成对称作图、找对称中心、方格补图；掌握利用中心对称性质求边长、角度、面积；精通原点对称坐标计算、参数求解、图形变换综合题型。 3. 素养目标：建立图形变换、数形结合、对称建模思想，提升识图、作图、规律归纳、坐标运算能力，夯实中考旋转与对称类几何基础题型与综合题型。 知识点1 中心对称的定义（两个图形） 把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点中心对称。该定点称为对称中心，重合的对应点称为关于中心的对称点。 核心区分：中心对称描述两个图形的位置关系，是特殊的旋转（旋转角固定180°）。 知识点2 中心对称图形的定义（一个图形） 把一个图形绕着自身某一定点旋转180°后，能够与自身完全重合，该图形为中心对称图形，定点为对称中心。 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、偶数边正多边形。 易错警示：奇数边正多边形（正三角形、正五边形）不是中心对称图形。 知识点3 中心对称五大核心性质（必考） 1. 成中心对称的两个图形全等，边长、角度、周长、面积完全相等； 2. 任意一组对称点的连线经过对称中心； 3. 对称中心平分所有对称点连线（中心为连线中点）； 4. 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； 5. 经过对称中心的直线，可将中心对称图形分为全等的两部分。 知识点4 原点对称坐标变换规律（秒杀公式） 平面内点 关于原点对称的点为：。 口诀：原点对称，横纵坐标全部变号。 核心判定：两点横、纵坐标均互为相反数 ⇔ 两点关于原点对称。 知识点5 中心对称、轴对称、旋转对称 1.中心对称图形与旋转对称图形的比较： 2.中心对称图形与轴对称图形比较： 注意：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提. 题型1 成中心对称 【典例1】．《哪吒之魔童闹海》创造中国动画电影的神话，推动我国国产动画电影发展，提升中国文化影响力．如图，对哪吒图片的变换，下列描述正确的是（     ） A．中心对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【答案】D 【详解】解：由图可知，两个哪吒的图片成轴对称. 【变式1】．如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质，点是线段的中点，利用数轴上两点间的距离公式列方程求解即可； 【详解】解：设点对应的实数为， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∵ 点关于点的对称点为点， ∴ 点是线段的中点，即， ∴， 解得， 即点C所对应的实数为． 【变式2】．在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，点P是点A和点B的中点，应用中点公式进行列式计算，求解点B的坐标，即可作答． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵点与点B关于点成中心对称， ∴点是的中点 ∵点，点， ∴横坐标：，纵坐标： ∴，． ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【变式3】．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点成中心对称，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的变换，二次函数图象上点的坐标特征，中心对称的性质，根据抛物线顶点坐标的对称性表示出抛物线的顶点坐标是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，结合中心对称的性质，求得抛物线顶点坐标，进而得到抛物线的解析式，整理对比得到、、的值，进而可求得代数式的值． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线与抛物线关于点成中心对称， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线的解析式为， ，，， ， ． 故答案为： ． 题型2 画已知图形关于某点对称的图形 【典例2】．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 【变式1】．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 【变式2】．如图，已知平面直角坐标系内有三点，分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)直接写出把绕点顺时针旋转后，点旋转后对应点的坐标． 【答案】(1)如图所示 (2) 【分析】（1）根据网格结构找出点、、旋转后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点绕点顺时针旋转后的位置，然后写出坐标即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由旋转的性质及网格特征可得，点的坐标为． 【变式3】．如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都为，请用无刻度直尺按要求在方格纸中作图． (1)在图中画出关于点成中心对称的图形，点、的对应点分别为点、； (2)在图中画出以为边，面积为的菱形，点、均在格点上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中心对称的意义，作图即可； （2）根据菱形的判定和性质，结合题意，画图即可； 【详解】（1）略 （2）略 题型3 画两个图形的对称中心 【典例3】．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称；坐标与图形性质；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点．    观察图形知，． 故选：C． 【变式2】．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例4】．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 【变式2】．如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是____________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得，进而得到，，，求出的长，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ， ，，， ， 在中，由勾股定理得：． 【变式3】．如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； (2)42 【分析】（1）首先由中心对称的性质得到，，然后推出，即可得到四边形是平行四边形； （2）取的中点，连接，证明是的中位线，得到，，，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取的中点，连接， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 题型5 中心对称图形的识别 【典例5】．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 【变式1】．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 【变式2】．请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形：_________． 【答案】圆（答案不唯一） 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，找出同时满足两个定义的几何图形即可． 【详解】解：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；平面内将一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合的图形是中心对称图形． 圆沿任意过圆心的直线折叠，直线两旁的部分都可完全重合，且圆绕圆心旋转后能与自身重合，符合要求． 故答案为：圆（答案不唯一）． 【变式3】．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 【答案】①⑤ 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念. 在平面内，若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形；在平面内，若把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形是中心对称图形；根据两个概念逐一判断各图形即可． 【详解】解：①线段，沿线段的垂直平分线或线段所在直线折叠都能重合，是轴对称图形，绕线段中点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求； ②角，沿角平分线所在直线折叠能重合，是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ③等边三角形，是轴对称图形，旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； ④平行四边形，绕对角线交点旋转能与原图形重合，是中心对称图形，不存在直线使折叠后重合，不是轴对称图形，不符合要求； ⑤正六边形，有多条对称轴，是轴对称图形，绕中心旋转能与原图形重合，是中心对称图形，符合要求． 故答案为①⑤． 题型6 判断中心对称图形的对称中心 【典例6】．如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 【变式1】．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 【变式2】．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 【变式3】．如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【典例7】．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【答案】C 【详解】解：把正方形添加在区域3处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形． 【变式1】．如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】先找到网格的对称中心，也就是第2行第2列、第2行第3列、第3行第2列、第3行第3列这四个小正方形的公共顶点；再找原阴影中列的中点作为旋转中心．依次将每个白色小正方形作为涂黑候选，将涂黑后的整体图形绕对称中心旋转，判断旋转后的图形是否和原图形完全重合，统计符合条件的候选数量． 【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方形①或选取小正方形②，这样的涂法共2种． 【变式2】．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 【变式3】．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】2 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形与原图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，将A方格涂黑或将B方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形，共2个方格． 题型8 求关于原点对称的点的坐标 【典例8】．点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点关于原点对称， 点关于原点对称的点的坐标为． 【变式1】．已知的对角线交点恰好落在原点，若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到点与点关于原点中心对称，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线交点落在原点， ∴原点是对角线的中点，即点与点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 【变式2】．在平面直角坐标系中，的对角线的交点恰好与坐标系原点重合，顶点的坐标为，那么，顶点的坐标为_______________． 【答案】 【分析】由平行四边形对角线交点与原点重合，可得点与点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标关系即可求出顶点的坐标． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点与坐标原点重合， ∴原点是线段的中点， ∴点与点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴顶点的坐标为． 【变式3】．在平面直角坐标系中，已知点．将点绕坐标原点旋转得到点．点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，点绕原点旋转后得到的点与点关于原点成中心对称，利用关于原点中心对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：根据关于原点成中心对称的点的坐标特征，横，纵坐标均互为相反数， 已知点的坐标为，可得点的坐标为． 题型9 已知两点关于原点对称求参数 【典例9】．已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 【答案】D 【分析】利用关于原点对称的点的坐标性质，先求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 【变式1】．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，利用“关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数”的性质即可计算出和的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴，， 即，． 【变式2】．已知点与点关于原点对称，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 【变式3】．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 题型10 判断两个点是否关于原点对称 【典例10】．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 【变式1】．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 【变式2】．平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出B与D关于原点对称，得出，解出即可． 【详解】解：∵平行四边形的四个顶点坐标分别是， ∴点A与点C关于原点对称， ∴点B与点D关于原点对称， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，坐标与图形性质是解题的关键． 【变式3】．和点关于______对称． 【答案】原点 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握两个点关于原点对称，则横纵坐标均互为相反数． 根据和点横纵坐标均互为相反数，即可确定和点关于原点对称． 【详解】解：∵和点横纵坐标均互为相反数， ∴和点关于原点对称， 故答案为：原点． 题型11 按图形的变换要求画出两一个图形 【典例11】．如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； 【详解】（1）由对称的性质A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求； （2）绕原点顺时针旋转， 旋转后，A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求． 【变式1】．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2)作图见解析， 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2）解：如图即为所求； ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】．如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【详解】（1）解∶如图，线段、即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（     ） A．通过一次平移变换即可实现 B．通过一次轴对称变换即可实现 C．通过一次中心对称变换即可实现 D．上述单一变换都无法实现 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质确定两个三角形的位置关系，再依次判断平移、轴对称、中心对称三种变换能否一次完成重合，选出正确选项． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ 点与点、点与点关于点中心对称， ∴ 绕点旋转（一次中心对称变换）可与完全重合， 平移、一次轴对称变换无法使两个三角形重合， 故正确的是C项． 3．给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平移、轴对称、旋转、中心对称的性质，逐个判断四个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：①根据平移的性质，平移前后对应点的连线段平行或共线且长度相等，因此对应点的连线段一定相等，①是真命题； ②成轴对称的两个图形，对称轴是对应点连线的垂直平分线，命题将二者关系颠倒，②是假命题； ③根据旋转的性质，旋转前后所有对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角，因此都相等，③是真命题； ④根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，命题描述正确，④是真命题； 综上，真命题共个． 4．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称， 点是线段的中点， 设，则， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 解得， 点的坐标为． 5．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形性质和中心对称性，确定为及中点，过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出长，进而求出长； 【详解】四边形和均为正方形， 图形关于点中心对称，，，共线， ， ，， ，，， 点是的中点， ， 过点作于点，则为中点，， 设， ， ，，， ， 在中，， ， 解得：（负值已舍去）， ，， 在中，， ，，，共线， ． 6．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析即可． 【详解】解：如图，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有3种： 7．下列说法正确的是（    ） A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小 B．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 C．在平面直角坐标系中，一点向右平移a个单位长度，则该点的纵坐标加a D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行 【答案】B 【分析】分别利用图形平移以及旋转的性质，中心对称图形的性质，分别判断即可． 【详解】A.平移不改变图形的形状和大小，旋转也不改变图形的形状和大小，故此选项错误； B.在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，此选项正确； C.在平面直角坐标系中，一点向右平移a个单位长度，则该点的横坐标加a，故此选项错误； D.在平移过程中，对应角相等，对应线段相等且平行，在旋转过程中，对应线段有可能不平行，故此选项错误． 故选：B 【点睛】此题主要考查了图形几何变换的类型，利用平移的性质分析是解题的关键． 8．一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点，关于原点对称，可求出的值，即可求出反比例函数的表达式． 【详解】解：A与B关于坐标原点对称， ， 解得， ， 设这个反比例函数的表达式为， 把代入可得， ， 解得， 所以这个反比例函数的表达式为． 9．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ， ，， ，， ，， 如图，与关于原点对称，，，，，，，……， 观察可知，点到点为一个变换周期，，即点的坐标为． 11．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点是坐标原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，得出点A与点C关于原点对称，再根据关于原点对称点的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线交点是坐标原点O， ∴点A与点C关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标是． 12．如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 13．如图，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是__________． 【答案】 【分析】矩形是中心对称图形，因为过中心对称图形对称中心的直线会将图形分成面积相等的两部分，所以该直线必过矩形的对称中心．利用矩形对角线互相平分且相等的性质，根据B点坐标计算矩形对角线交点即对称中心的坐标．将对称中心的坐标代入直线解析式，求解得到参数的值，即可得到直线的函数解析式． 【详解】解：∵原点，顶点， ∴的中点坐标为． ∵矩形是中心对称图形，过矩形对称中心（对角线交点）的直线可以把矩形面积分成相等的两部分， ∴ 直线过对称中心． 将坐标代入解析式： ， 解得． ∴直线的函数解析式为． 14．如图，已知与关于点成中心对称，若，则=______． 【答案】/6厘米 【分析】根据中心对称的性质可得点是线段的中点，即，进而可得出的长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称， ∴， 又， ∴， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为． 由题意得． ，； ，， ． ，， 根据勾股定理 同时，， 则点的坐标为，点的坐标为， 同理可得，， 如图，与关于原点对称， 则，接着，，，，，…， 观察可知，点到点为一个变换周期， 因为，余数为2，说明点的坐标与的坐标相同，即点的坐标为． 16．如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 【答案】(1)如图所示即为所求， (2) 如图所示即为所求， (3) ． 【分析】对于（1），根据点的平移规则：横坐标右移加、纵坐标下移减，计算出A、B、C平移后的对应点坐标，再顺次连接三点得到平移后的三角形． 对于（2），先确定旋转中心，再根据绕定点逆时针旋转的坐标变换规则，分别计算A、B、C旋转后的对应点坐标，顺次连接三点得到旋转后的三角形． 对于（3），因为关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以直接根据点A的坐标计算其中心对称点的坐标． 【详解】（1）解：根据平移规则，点向下平移4个单位、向右平移1个单位后坐标变为， 计算得各顶点坐标：，，， 在坐标系中描点顺次连线即可得到所求三角形． （2）解：将各顶点与旋转中心连接， 将线段绕旋转中心逆时针旋转，得到各顶点坐标：， 描点顺次连线即可得到． （3）解：关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴各顶点坐标为， 描点顺次连线即可得到， 的坐标为． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将经过平移后得到，使得点的对应点的坐标为，请画出；（点、的对应点分别为点、） (2)画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求． 【分析】（1）先由点和点确定平移方式为点向下平移3个单位，向左平移2个单位，再由平移方式确定平移后的点坐标，即可作图； （2）分别作出点、、的对应点、、，再顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．仅用无刻度直尺在如图所示的方格纸中作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)沿方向平移，使点落在点处，画出平移后的．其中，的对应点是，的对应点是； (2)在（1）的条件下，若连接，，则线段与线段的关系 ； (3)画出关于点对称的．其中，的对应点是，的对应点是； (4)在（1）（3）的条件下，与成中心对称，请作出对称中心点； (5)在上作一点，使最短． 【答案】(1)如图所示 (2)连接，如图，；相等且平行 (3)如图所示 (4)如图，点即为所求 (5)如图，点即为所求 【分析】（1）依据平移的定义，确定平移方向与平移距离，分别平移点、点得到对应点、，顺次连接三点得到平移后的三角形． （2）根据平移的性质，直接得出平移对应线段的数量与位置关系． （3）取格点、，顺次连接、、，则是的对称三角形． （4）根据中心对称图形对称中心的作图方法，连接，连接，两条连线的交点即为对称中心点． （5）利用轴对称求最短路径原理，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时最短，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 19．如图，在边长为1的正方形网格中，顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： (1)画出平移后的，使得C点的对应点是点． (2)画出关于点O成中心对称的． (3)点E、F是直线l上的动点，连接，若，当最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出的最小值． 【答案】(1)如图：即为所求． (2)如图：即为所求． (3)如图：点F即为所求，的最小值为 【分析】（1）由C点的对应点是点可知：将向右移动一个单位、再向上平移两个单位得到，据此作图即可； （2）先利用中心对称的性质求得的对应点，然后顺次连接即可； （3）如图：将点向右移动一个单位、向上移动一个单位得到，则，连接与直线l的交点F即为所求；然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：将点向右移动一个单位、向上移动一个单位得到，则，连接与直线l的交点F即为所求， ∴的最小值是， ∴的最小值为，即． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，求出点B的坐标为；则可求出直线的函数表达式为；设点P的坐标为，则点Q的纵坐标为，故；可证明；则可证明，据此可得答案； （3）当点E在点B上方时，设交x轴于点H，可证明，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程推出，则直线的函数表达式为，联立，解得或（舍去），则点E的纵坐标为2；当点E在点B下方时，可证明，即轴，则点E的纵坐标为． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点Q 在中，当时，， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的横坐标为p， ∴点Q的纵坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设交x轴于点H， ∵，点C与点D关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点E的坐标为， ∴点E的纵坐标为2； 如图3-2所示，当点E在点B下方时， 同理可得， ∴，即轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为； 综上所述，点E的纵坐标为或2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲中心对称 目录 知识点1 中心对称的定义（两个图形） 2 知识点2 中心对称图形的定义（一个图形） 2 知识点3 中心对称五大核心性质（必考） 2 知识点4 原点对称坐标变换规律（秒杀公式） 3 知识点5 中心对称、轴对称、旋转对称 3 题型1 成中心对称 3 题型2 画已知图形关于某点对称的图形 4 题型3 画两个图形的对称中心 6 题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 7 题型5 中心对称图形的识别 8 题型6 判断中心对称图形的对称中心 9 题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 10 题型8 求关于原点对称的点的坐标 11 题型9 已知两点关于原点对称求参数 11 题型10 判断两个点是否关于原点对称 12 题型11 按图形的变换要求画出两一个图形 12 1. 知识目标：精准区分中心对称（两个图形）与中心对称图形（一个图形）的定义与区别；熟练掌握中心对称的核心性质、作图规则；熟记平面直角坐标系中原点对称的坐标变换公式，掌握常见中心对称图形类别与特征。 2. 能力目标：能准确判断中心对称关系、识别中心对称图形；熟练完成对称作图、找对称中心、方格补图；掌握利用中心对称性质求边长、角度、面积；精通原点对称坐标计算、参数求解、图形变换综合题型。 3. 素养目标：建立图形变换、数形结合、对称建模思想，提升识图、作图、规律归纳、坐标运算能力，夯实中考旋转与对称类几何基础题型与综合题型。 知识点1 中心对称的定义（两个图形） 把一个图形绕着某一个定点旋转180°，如果能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形关于该点中心对称。该定点称为对称中心，重合的对应点称为关于中心的对称点。 核心区分：中心对称描述两个图形的位置关系，是特殊的旋转（旋转角固定180°）。 知识点2 中心对称图形的定义（一个图形） 把一个图形绕着自身某一定点旋转180°后，能够与自身完全重合，该图形为中心对称图形，定点为对称中心。 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、偶数边正多边形。 易错警示：奇数边正多边形（正三角形、正五边形）不是中心对称图形。 知识点3 中心对称五大核心性质（必考） 1. 成中心对称的两个图形全等，边长、角度、周长、面积完全相等； 2. 任意一组对称点的连线经过对称中心； 3. 对称中心平分所有对称点连线（中心为连线中点）； 4. 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； 5. 经过对称中心的直线，可将中心对称图形分为全等的两部分。 知识点4 原点对称坐标变换规律（秒杀公式） 平面内点 关于原点对称的点为：。 口诀：原点对称，横纵坐标全部变号。 核心判定：两点横、纵坐标均互为相反数 ⇔ 两点关于原点对称。 知识点5 中心对称、轴对称、旋转对称 1.中心对称图形与旋转对称图形的比较： 2.中心对称图形与轴对称图形比较： 注意：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提. 题型1 成中心对称 解题技巧（180°旋转判定法）：1. 看对象：必须是两个独立图形；2. 做变换：绕定点旋转180°，观察是否完全重合；3. 验性质：对应点连线交于同一点、且被该点平分；4. 排除干扰：翻转、平移、任意角度旋转均不属于中心对称。 秒杀口诀：两图旋转一八零，完全重合即对称。 【典例1】．《哪吒之魔童闹海》创造中国动画电影的神话，推动我国国产动画电影发展，提升中国文化影响力．如图，对哪吒图片的变换，下列描述正确的是（     ） A．中心对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【变式1】．如图，数轴上两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点C所对应的实数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在平面直角坐标系中，点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是______． 【变式3】．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点成中心对称，则________． 题型2 画已知图形关于某点对称的图形 解题技巧（四步标准作图法）：1. 取关键点：选取图形顶点、端点等核心关键点；2. 作对称点：连接关键点与对称中心，延长相同长度，得到对应对称点；3. 顺次连线：按原图形顺序连接所有对称点；4. 规范收尾：保留辅助线，图形轮廓与原图全等。 核心原理：对称中心是每一组对应点连线的中点。 【典例2】．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．   B．   C．   D．     【变式1】．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【变式2】．如图，已知平面直角坐标系内有三点，分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)直接写出把绕点顺时针旋转后，点旋转后对应点的坐标． 【变式3】．如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都为，请用无刻度直尺按要求在方格纸中作图． (1)在图中画出关于点成中心对称的图形，点、的对应点分别为点、； (2)在图中画出以为边，面积为的菱形，点、均在格点上． 题型3 画两个图形的对称中心 解题技巧（双线交点法）：1. 选取两组对应点，分别连接成对对应点；2. 作出两条对应点连线的中点，或直接作连线；3. 两条连线的交点即为对称中心；4. 验证：其余对应点连线均过该点，可核验答案。 最简套路：两组连线，交点为中心，一步锁定。 【典例3】．如图，若与关于某个点对称，则这个点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）    A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 题型4 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 解题技巧（全等等量代换法）：1. 边长角度：利用中心对称图形全等，直接对应相等代换；2. 周长面积：对称前后图形周长、总面积不变；3. 阴影面积：利用中心对称等积替换，将不规则图形转化为规则图形；4. 复杂图形：分割为对称小块，利用对称均分性质快速求解。 核心结论：中心对称只变位置，不变大小、角度、面积。 【典例4】．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【变式1】．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【变式2】．如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是____________． 【变式3】．如图，与关于点O成中心对称，点E、F在线段上，且，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点F是的中点，，，，求四边形的面积． 题型5 中心对称图形的识别 解题技巧（自转判定法）：1. 判定对象：仅限单个图形；2. 模拟旋转：图形绕中心旋转180°，与原图完全重合即为中心对称图形；3. 快速排除：奇数条边正多边形、普通等腰图形、单向图案直接排除；4. 熟记常考图形：平行四边形、圆、矩形、菱形、正方形必是中心对称图形。 【典例5】．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．请写出一个既是中心对称又是轴对称的几何图形：_________． 【变式3】．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是___________.（填序号） ①线段；  ②角；  ③等边三角形；  ④平行四边形.  ⑤正六边形． 题型6 判断中心对称图形的对称中心 解题技巧（中点定位法）：1. 规则图形：线段中点、平行四边形对角线交点、圆心即为对称中心；2. 未知图形：连接两组对应点，连线交点即为对称中心；3. 文字判定：图形唯一中心点、所有对称连线公共中点。 【典例6】．如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【变式1】．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【变式2】．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【变式3】．如图，与成中心对称，则对称中心是____． 题型7 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 解题技巧（定点补形法）：1. 先找中心：确定方格图形的对称中心点；2. 逐点对称：找出已有关键点的180°对称位置；3. 补全格子：根据对称点位补画对应方格；4. 整体核验：整体旋转180°与原图重合，确保无错漏。 得分关键：方格补图必须点对点对称，保证图形全局均衡。 【典例7】．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【变式1】．如图，在正方形网格中，阴影部分是5个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式2】．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 【变式3】．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 题型8 求关于原点对称的点的坐标 解题技巧（公式秒杀）：1. 固定公式：；2. 直接变号：横坐标、纵坐标同时取相反数；3. 全象限通用，无需画图、无需计算；4. 特殊点核验：坐标轴上点对称后仍在坐标轴上。 【典例8】．点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知的对角线交点恰好落在原点，若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．在平面直角坐标系中，的对角线的交点恰好与坐标系原点重合，顶点的坐标为，那么，顶点的坐标为_______________． 【变式3】．在平面直角坐标系中，已知点．将点绕坐标原点旋转得到点．点的坐标为________． 题型9 已知两点关于原点对称求参数 解题技巧（双向相反数列方程）：1. 横坐标互为相反数，列等式方程；2. 纵坐标互为相反数，列等式方程；3. 分别求解参数值；4. 双向检验：横、纵坐标必须同时满足相反数关系，缺一不可。 易错提醒：必须横纵双向同时满足，不可只看单一坐标。 【典例9】．已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 【变式1】．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 【变式2】．已知点与点关于原点对称，则的值为_______． 【变式3】．若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 题型10 判断两个点是否关于原点对称 解题技巧（双条件核验法）：1. 看横坐标：两点横坐标是否互为相反数；2. 看纵坐标：两点纵坐标是否互为相反数；3. 双条件同时成立 ⇔ 关于原点对称；4. 任一条件不满足，直接判定不对称。 秒杀口诀：横反纵也反，原点对称准无误。 【典例10】．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【变式2】．平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 【变式3】．和点关于______对称． 题型11 按图形的变换要求画出两一个图形 解题技巧（变换分类作图法）：1. 审题定变换：区分中心对称、轴对称、旋转、平移；2. 定点找点：按对应变换规则求出所有关键点对应点；3. 描点连线：按原图顺序连接，保证图形结构一致；4. 多变换综合：分步变换，先对称后平移、先旋转后对称，分步操作不混乱；5. 保留作图痕迹，规范答题格式。 【典例11】．如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【变式1】．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【变式3】．如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，要通过一次变换使与完全重合，下列说法正确的是（     ） A．通过一次平移变换即可实现 B．通过一次轴对称变换即可实现 C．通过一次中心对称变换即可实现 D．上述单一变换都无法实现 3．给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 7．下列说法正确的是（    ） A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小 B．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分 C．在平面直角坐标系中，一点向右平移a个单位长度，则该点的纵坐标加a D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行 8．一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 9．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点是坐标原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是__________． 12．如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 13．如图，四边形是矩形，点的坐标为．若直线把矩形的面积分成相等的两部分，则直线的函数解析式是__________． 14．如图，已知与关于点成中心对称，若，则=______． 15．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是__________． 16．如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将经过平移后得到，使得点的对应点的坐标为，请画出；（点、的对应点分别为点、） (2)画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标．（点、、的对应点分别为点、、） 18．仅用无刻度直尺在如图所示的方格纸中作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)沿方向平移，使点落在点处，画出平移后的．其中，的对应点是，的对应点是； (2)在（1）的条件下，若连接，，则线段与线段的关系 ； (3)画出关于点对称的．其中，的对应点是，的对应点是； (4)在（1）（3）的条件下，与成中心对称，请作出对称中心点； (5)在上作一点，使最短． 19．如图，在边长为1的正方形网格中，顶点均在格点上，请按要求画图并解答下列问题： (1)画出平移后的，使得C点的对应点是点． (2)画出关于点O成中心对称的． (3)点E、F是直线l上的动点，连接，若，当最小时，在图中画出点F的位置，并直接写出的最小值． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $