1.4.2 充要条件课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过“老张请客”的情境问题导入，承接充分条件与必要条件基础，引导学生从生活实例抽象数学概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境导学结合问题链驱动，运用定义法、集合法培养逻辑推理素养，通过充要条件证明、参数范围求解等例题训练提升数学运算能力。课堂小结系统梳理条件关系类型，助力学生构建知识体系，教师可直接用于逻辑推理与数学运算素养的教学实践。

1.4　充分条件与必要条件 1.4.2　充要条件 第一章　集合与常用逻辑用语 1 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 2 情境导学·探新知 NO.1 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 3 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 4 p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 5 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 7 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 8 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 9 合作探究·释疑难 NO.2 类型1　充分、必要、充要条件的判断 类型2　充要条件的证明 类型3　充要条件的应用 10 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 11 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 13 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 18 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 21 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 23 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 24 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 25 当堂达标·夯基础 NO.3 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 26 1 2 3 4 5 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 27 1 2 3 4 5 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 28 1 2 3 4 5 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 29 1 2 3 4 5 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 30 5 1 2 3 4 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 31 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 32 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 33 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 34 点击右图进入… 课 后 素 养 落 实 1.4.2　充要条件 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 1 2 3 课后素养落实 4 35 谢谢观看 THANK YOU! 36 学 习 任 务 核 心 素 养 1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(重点、难点) 2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养. 老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去． 问题：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？ 知识点　充要条件 (1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作______，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为_____条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为_____条件． 命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p； ②充分不必要条件，即p⇒q且qp. ③必要不充分条件，即pq且q⇒p. ④既不充分也不必要条件，即pq且qp. “p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ [提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________． (2)“x<5”是“x<3”的________． (1)充要条件　(2)必要不充分条件　[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B, 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．] 类型1　充分、必要、充要条件的判断 【例1】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等； (3)p：a＞b；q：ac＞bc. [解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b， 故p是q的既不充分也不必要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． eq \a\vs4\al([跟进训练]) 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1)p：x2>0，q：x>0； (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. [解]　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0， 故p是q的必要不充分条件． (2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除， 故p是q的充分不必要条件． (3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 故p是q的必要不充分条件． (4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件． 类型2　充要条件的证明 【例2】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. [解]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0. ②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向． eq \a\vs4\al([跟进训练]) 2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 类型3　充要条件的应用 【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 联想必要不充分条件的概念，由此思考命题p与命题q对应集合间存在怎样的包含关系． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.)) 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 所以AB. 解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9， 即实数m的取值范围是m≥9. 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． A　[由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．] 1．“x>0”是“x≠0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.] 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[因为“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，故a≤－1.] 3．若“x<a”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　) A．a≥3　　　　 B．a≤－1 C．－1≤a≤3 D．a≤3 m＝－2　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－eq \f(m,2)＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．] 4．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． [答案]　两组对边分别平行　一组对边平行且相等 5．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①________；充要条件②________. 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分必要条件间存在怎样的关系？ [提示]　 条件p与结论q的关系 结　论 p⇒q，且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p，且pq p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 pq，且qp p是q的既不充分也不必要条件 2.要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？ [提示]　需要证明充分性和必要性两个方面． $