奥数培优专题15 七巧板与图形拼组（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

本讲义聚焦七巧板与图形拼组核心知识点，系统梳理拼指定图形、分割重组、空间想象及图形运动变换内容，衔接后续图形运动与面积推导学习，通过知识体系梳理和方法图表搭建学习支架。 资料以分层精练和奥数思维提升为特色，结合动手操作与空间想象培养几何直观和推理意识，如用七巧板拼梯形训练有序尝试法，易错指南帮助规避边长匹配等问题，课中辅助教学互动，课后助力查漏补缺。

专题十五 七巧板与图形拼组 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：用七巧板拼指定图形（平行四边形、梯形等） 3 考点二：图形的分割与重组 4 考点三：几何图形的空间想象训练 5 考点四：图形的运动与变换初步（平移、旋转、轴对称） 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：拼图时忽略边长匹配，强行拼接 8 易错点 2：分割图形时位置错误，导致两部分不相等 8 易错点 3：旋转操作搞反方向和角度 8 易错点 4：空间想象漏解，认为只有一种拼法 9 易错点 5：误以为拼组后总面积会变化 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、基础夯实篇（8 题） 10 二、能力进阶篇（7 题） 10 三、思维跃迁篇（5 题） 11 第五部分 精准解析 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版四年级上册第五单元的几何实践培优内容，围绕七巧板操作与图形变换核心展开，涵盖七巧板拼指定图形、图形分割与重组、空间想象训练、图形运动变换四大考点，通过动手操作与想象推理结合，掌握平面图形的拼组规律，理解平移、旋转、轴对称在图形变换中的作用，提升空间观念与几何直观能力，为后续图形运动、面积推导学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 七巧板拼指定图形 七巧板的板块构成，拼平行四边形、梯形、长方形等基本图形 板块定位法、有序尝试法 混淆板块大小，用错三角形板块；忽略板块边长的匹配关系 图形分割与重组 规则图形的等分分割，剪拼转化为其他图形，面积不变性 分割逆推法、剪拼验证法 分割后图形大小不相等；剪拼时忽略边的长度匹配 空间想象训练 不操作预判拼组结果，判断板块组合的图形形状 想象验证法、特征匹配法 想象时遗漏板块组合方式；无法对应边与角的拼接关系 图形运动与变换 平移、旋转、轴对称在拼图中的应用，通过变换拼出新图形 运动变换法、对称构造法 旋转方向和角度判断错误；平移时对应边不对齐 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 板块定位法 七巧板拼基础图形 先确定大板块位置→补充小板块调整→验证图形特征 先放大三角，再补小板块，最后验形状 分割逆推法 图形分割问题 明确目标图形特征→反推分割线位置→验证分割结果 要想分的匀，先找中心点，连线验相等 空间想象法 预判拼组结果题 提取图形核心特征→匹配对应板块→组合验证 先想边角特征，再配对应板块 运动变换法 图形拼组变换题 确定变换方式→执行平移 / 旋转 / 轴对称→拼接成目标图形 平移对齐边，旋转绕顶点，对称找镜像 有序尝试法 多板块组合题 按板块数量从少到多→逐一尝试组合→筛选可行方案 按顺序，逐个试，不重复，不遗漏 三、奥数思维提升 1. 变换思想：运动中图形的变与不变 核心要点：图形拼组过程中，通过平移、旋转、轴对称改变图形的位置和方向，但图形的形状、大小始终不变，总面积保持恒定。七巧板无论拼成什么图案，总面积永远等于七块板的面积和。 示例：七巧板中的两个小三角形，通过旋转和平移，可以拼成正方形，也可以拼成平行四边形，还可以拼成一个大一点的三角形，形状变了，但总面积始终等于两个小三角形的面积和。 2. 转化思想：剪拼实现图形的等价转化 核心要点：通过剪一剪、拼一拼，可以将一种图形转化为另一种图形，转化前后总面积不变。这是几何中重要的转化思想，也是后续推导图形面积公式的核心思路。 示例：把一个梯形沿着两腰中点连线剪开，将上半部分旋转后和下半部分拼接，可以转化为平行四边形，图形形状变了，但总面积没有变化。 3. 有序思想：组合拼图的有序尝试 核心要点：用多块板块拼目标图形时，按照 “先大后小、先定边后补角” 的顺序有序尝试，能快速找到可行方案，避免盲目拼接浪费时间，也能避免遗漏组合方式。 示例：用七巧板拼梯形时，先把两个大三角形作为固定边，再依次尝试放入正方形、平行四边形、小三角形，有序调整就能快速拼出目标图形。 4. 空间想象思想：二维图形的立体建构 核心要点：通过观察平面的七巧板板块，在脑海中想象拼接的过程与结果，不用动手操作就能判断拼组后的图形形状，是空间想象能力的核心训练，也是几何学习的重要基础。 示例：给出七巧板中的一个正方形和两个小三角形，不用动手拼，就能想象出它们可以拼成一个梯形，也可以拼成一个大三角形。 5. 对称思想：轴对称图形的拼组构造 核心要点：七巧板的很多拼组图案都是轴对称图形，利用轴对称的性质，只需确定一半的拼法，就能镜像推出另一半的拼法，大幅简化拼图过程，是对称思想的直观应用。 示例：用七巧板拼一座对称的小房子，先拼好左边一半，右边按照轴对称的方式对应摆放板块，就能快速完成完整图案。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：用七巧板拼指定图形（平行四边形、梯形等） 典型例题 1（基础型）—— 两块板拼平行四边形 题目：七巧板中有两块完全一样的小三角形，只用这两块三角形，能拼出平行四边形吗？请说明拼法。 思路点拨： ① 明确平行四边形特征：两组对边分别平行且相等； ② 将两个小三角形长度相等的一条边反向对齐拼接，使两个三角形分别朝向两侧； ③ 拼接后两组对边分别平行且相等，符合平行四边形特征，因此可以拼出。 【答案】能拼出，将两个小三角形的等长边反向拼接即可 【知识点睛】两个完全相同的三角形，一定可以拼成一个平行四边形，这是三角形与平行四边形的重要拼组关系。 典型例题 2（提高型）—— 三块板拼梯形 题目：用七巧板中的正方形和两个完全相同的小三角形，能拼出一个梯形吗？请描述拼法。 思路点拨： ① 梯形特征：只有一组对边平行； ② 将两个小三角形的直角边，分别拼接在正方形的左右两条边上，三角形的斜边朝外； ③ 拼接后上下两条边互相平行，左右两条边不平行，符合梯形特征，拼法成立。 【答案】能拼出，两个小三角形分别接在正方形两侧 【知识点睛】通过在正方形两侧拼接三角形，可以改变边的方向，构造出只有一组对边平行的梯形。 典型例题 3（奥数型）—— 全套七巧板拼长方形 题目：用一副完整的七巧板，能不能拼出一个长方形？请写出拼组思路。 思路点拨： ① 先将两个大三角形的斜边对齐，拼成一个大正方形，作为长方形的一半； ② 将剩下的五块板（中三角形、两个小三角形、正方形、平行四边形）拼接成另一个同样大小的正方形； ③ 把两个正方形并排拼接，就得到一个长方形，长是宽的 2 倍。 【答案】可以拼出，先拼两个等大正方形再并排拼接 【知识点睛】七巧板可以拼出正方形、长方形、平行四边形、梯形等多种四边形，核心是利用板块的边长匹配关系拼接。 考点二：图形的分割与重组 典型例题 1（基础型）—— 长方形分割成两个梯形 题目：在一张长方形纸上剪一刀，分成两个完全一样的梯形，应该怎么剪？ 思路点拨： ① 两个梯形完全一样，需要上下底分别相等、高相等、腰相等； ② 在长方形的上边长上，从左端点量出一小段距离取点，在下边长上从右端点量出同样长度取点； ③ 沿着两个点的连线剪开，得到的两个梯形完全相同。 【答案】在上下对边上取对称偏移点连线剪开 【知识点睛】长方形剪两个相同梯形，核心是保证两个梯形的上下底之和相等，高等于长方形的宽。 典型例题 2（提高型）—— 正方形分割重组三角形 题目：把一个正方形分成四个完全一样的三角形，再用这四个三角形重新拼一个大三角形。 思路点拨： ① 分割：连接正方形的两条对角线，沿对角线剪开，得到四个完全一样的等腰直角三角形； ② 拼组：将其中两个三角形的直角边对齐，拼成一个中等三角形； ③ 将剩下两个三角形分别拼在中等三角形的左右两侧，斜边朝外，拼成一个大的等腰直角三角形。 【答案】沿对角线分割，再拼接直角边组成大三角形 【知识点睛】图形分割重组后，总面积不变，形状可以发生变化，体现了几何的等积变换。 典型例题 3（奥数型）—— 梯形剪拼平行四边形 题目：一个普通梯形，只剪一刀，拼成一个平行四边形，应该怎么剪拼？ 思路点拨： ① 分别找到梯形两条腰的中点，连接两个中点得到一条线段； ② 沿着这条线段将梯形剪成上下两个小梯形； ③ 将上面的小梯形绕腰的中点旋转 180°，和下面的小梯形拼接，就得到一个平行四边形。 【答案】沿两腰中点的连线剪开，旋转上半部分拼接 【知识点睛】梯形剪拼平行四边形是经典等积变换，后续梯形面积公式正是通过这种转化推导的。 考点三：几何图形的空间想象训练 典型例题 1（基础型）—— 预判板块组合形状 题目：不动手操作，判断：七巧板中的 1 个正方形和 2 个完全一样的小直角三角形，不可能拼出的图形是（ ） A. 梯形 B. 三角形 C. 长方形 D. 平行四边形 思路点拨： ① 逐个分析选项：两个三角形分放正方形两侧可拼梯形，两个三角形叠放正方形一侧可拼大三角形； ② 两个三角形分别放正方形上下，可拼长方形； ③ 这三块板无法拼出两组对边都倾斜的平行四边形，因此选 D。 【答案】 【知识点睛】通过空间想象预判组合结果，核心是抓住每个板块的边和角的特征，匹配目标图形。 典型例题 2（提高型）—— 数隐藏的图形个数 题目：一副标准七巧板中，一共有多少个三角形？多少个四边形？ 思路点拨： ① 分类数三角形：大三角形 2 个，中三角形 1 个，小三角形 2 个，合计个三角形； ② 分类数四边形：正方形 1 个，平行四边形 1 个，合计 2 个四边形； ③ 验证：5 个三角形 + 2 个四边形 = 7 块板，符合七巧板总数。 【答案】5 个三角形，2 个四边形 【知识点睛】七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成，牢记板块构成是空间想象的基础。 典型例题 3（奥数型）—— 最少板块拼正方形 题目：用七巧板的板块拼正方形，最少用几块？最多用几块（全套不算）？ 思路点拨： ① 最少情况：2 个完全相同的小三角形，斜边对齐可拼成正方形，最少用 2 块； ② 除全套 7 块外，最多情况：去掉 1 个最小的三角形，剩下 6 块无法拼成完整正方形；去掉平行四边形，剩下 6 块也不行； ③ 验证：3 块、4 块、5 块都无法拼成完整正方形，因此最少 2 块，除全套外无法用更多块拼成。 【答案】最少 2 块，除全套外无法用更多块拼成完整正方形 【知识点睛】空间想象需要结合边长、角度的匹配关系，不是板块越多越容易拼出目标图形。 考点四：图形的运动与变换初步（平移、旋转、轴对称） 典型例题 1（基础型）—— 平移在拼图中的应用 题目：将七巧板的两个小三角形，通过平移拼成一个平行四边形，描述平移的过程。 思路点拨： ① 先将第一个小三角形固定在平面上； ② 第二个小三角形保持方向不变，沿着水平方向平移，使它的一条直角边和第一个三角形的直角边对齐； ③ 平移后两个三角形组成平行四边形，过程中三角形的方向、大小均未改变。 【答案】保持方向不变，平移对齐直角边即可 【知识点睛】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，是拼图最常用的变换方式。 典型例题 2（提高型）—— 旋转在拼图中的应用 题目：两个完全一样的直角三角形，其中一个固定，另一个怎么旋转，能拼成一个长方形？ 思路点拨： ① 两个直角三角形有一条相等的直角边，将两个三角形的直角顶点重合； ② 把其中一个三角形绕直角顶点旋转 180°，使两条相等的直角边反向对齐； ③ 旋转后两个三角形的斜边分别在两侧，四个直角拼在一起，构成长方形的四个角。 【答案】绕直角顶点旋转 180°，对齐等长直角边 【知识点睛】旋转改变图形的方向和位置，不改变形状和大小，是拼接不同方向图形的核心方法。 典型例题 3（奥数型）—— 轴对称构造对称图案 题目：用七巧板拼一个轴对称的箭头图案，利用轴对称性质，只需要确定一半的拼法就能完成。请说明思路。 思路点拨： ① 先画出箭头的对称轴，箭头沿对称轴左右对称； ② 用七巧板的板块拼出对称轴左边的一半箭头，包含大三角形、小三角形、正方形各一块； ③ 以对称轴为轴，将左边的每一块都画出轴对称的对应板块，对应摆放右边的七巧板，完整图案就完成了。 【答案】利用轴对称，拼一半镜像出另一半 【知识点睛】轴对称图形两侧完全相同，利用对称性质可以大幅简化拼图过程，是几何构造的重要思想。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：拼图时忽略边长匹配，强行拼接 错误示例：用七巧板大三角形的直角边，去和小三角形的斜边拼接，认为只要边挨在一起就行。 正确分析：拼图时只有长度相等的边才能完全对齐拼接，边长不相等的边无法严丝合缝拼合。 修正方法：拼接前先对比两条边的长度，只有等长边才能对齐拼接，优先匹配等长边。 易错点 2：分割图形时位置错误，导致两部分不相等 错误示例：把长方形分成两个梯形，随便斜着剪一刀，认为都是梯形就一定相等。 正确分析：要分成完全一样的两部分，分割线必须经过图形的中心，保证两部分大小、形状完全相同。 修正方法：先找到图形的中心点，分割线经过中心点，才能保证分割后两部分全等。 易错点 3：旋转操作搞反方向和角度 错误示例：把三角形绕顶点顺时针旋转 90°，结果转成了逆时针，拼出的图形方向相反。 正确分析：旋转要明确旋转中心、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角度三个要素，缺一不可。 修正方法：旋转前先确定三个要素，想象旋转后的位置，再动手操作，避免方向错误。 易错点 4：空间想象漏解，认为只有一种拼法 错误示例：认为用两个三角形拼平行四边形只有一种拼法，忽略不同边拼接的情况。 正确分析：两个相同的三角形，分别用三条不同的等长边拼接，能拼出三种不同的平行四边形。 修正方法：考虑所有等长边的拼接可能，不局限于一种拼法，培养全面思考的习惯。 易错点 5：误以为拼组后总面积会变化 错误示例：把一个图形剪开再拼成另一个图形，认为形状变了面积也会变。 正确分析：图形分割拼组只是改变形状，总面积始终保持不变，这是等积变换的核心。 修正方法：牢记 “剪拼不改变总面积”，分割前后板块总数不变，面积就不会变。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 一副标准七巧板一共有_____________块板，其中三角形有_____________块。 2. 两个完全相同的直角三角形，可以拼成一个长方形，也可以拼成一个_____________。 3. 图形通过平移，_____________和大小不变，位置改变。 4. 正方形沿对角线剪开，可以得到两个完全一样的_____________三角形。 5. 轴对称图形沿对称轴对折后，两侧能够完全_____________。 6. 判断：七巧板只能拼出四边形，不能拼出三角形。（ ） 7. 判断：图形旋转后，形状和大小都不会改变。（ ） 8. 用七巧板的 2 个小三角形，能不能拼出一个正方形？ 二、能力进阶篇（7 题） 9. 用七巧板中的三块板，能不能拼出一个梯形？请描述一种拼法。 10. 把一张平行四边形纸剪一刀，分成两个完全一样的三角形，应该怎么剪？ 11. 两个完全一样的梯形，通过什么运动变换，可以拼成一个平行四边形？ 12. 一副七巧板中，最大的三角形面积是最小的三角形面积的几倍？ 13. 在长方形纸上剪一刀，分成一个三角形和一个梯形，应该怎么剪？ 14. 判断：用七巧板拼出的所有图案，面积都相等。（ ） 15. 将一个三角形绕它的一个顶点顺时针旋转 90°，图形的形状会改变吗？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 用七巧板拼一个大三角形，最少需要几块板？分别是哪几块？ 17. 一个正方形，剪一刀剩下的部分可能是几边形？分别画出来。 18. 用 3 个完全相同的小正方形，通过平移和旋转，能拼出几种不同的图形（相邻正方形必须边对齐）？ 19. 一副七巧板，如果去掉一块小三角形，剩下的板块能不能拼成一个长方形？为什么？ 20. 将一张长方形纸对折两次，沿折痕剪开，得到的四个小长方形，一共有几种不同的剪法？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】； 思路点拨： ① 七巧板由 7 块板组成； ② 包含 2 个大三角形、1 个中三角形、2 个小三角形，共 5 个三角形。 【知识点睛】七巧板的基本构成。 2. 【答案】平行四边形（或大三角形） 思路点拨： ① 两个相同直角三角形，对齐斜边可拼长方形； ② 对齐直角边可拼大三角形或平行四边形。 【知识点睛】相同三角形的多种拼组方式。 3. 【答案】形状 思路点拨： ① 平移的性质：只改变位置，不改变形状、大小和方向。 【知识点睛】平移的基本特征。 4. 【答案】等腰直角 思路点拨： ① 正方形四条边相等，四个角都是直角； ② 沿对角线剪开，得到的三角形两条直角边相等，有一个直角，是等腰直角三角形。 【知识点睛】正方形分割后的图形特征。 5. 【答案】重合 思路点拨： ① 轴对称图形的定义：沿对称轴对折，两侧完全重合。 【知识点睛】轴对称的基本性质。 6. 【答案】 思路点拨： ① 七巧板可以拼出三角形、四边形、多边形等多种图形。 【知识点睛】七巧板的拼组多样性。 7. 【答案】 思路点拨： ① 旋转只改变位置和方向，不改变形状和大小。 【知识点睛】旋转的基本性质。 8. 【答案】能 思路点拨： ① 两个小三角形都是等腰直角三角形； ② 将它们的斜边对齐拼接，就能得到一个正方形。 【知识点睛】两个相同等腰直角三角形可拼正方形。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】能，例如用 1 个正方形 + 2 个小三角形，三角形分放正方形两侧 思路点拨： ① 选择正方形和两个相同的小三角形； ② 将两个小三角形分别接在正方形的左右两条边上； ③ 拼接后只有上下一组对边平行，符合梯形特征。 【知识点睛】三块板拼梯形的基础方案。 10. 【答案】沿着平行四边形的一条对角线剪开 思路点拨： ① 平行四边形对角线将图形分成两个三角形； ② 平行四边形对边相等，因此两个三角形的三条边分别相等，完全一样。 【知识点睛】平行四边形的等分分割方法。 11. 【答案】将其中一个梯形旋转 180°，再平移对齐腰边 思路点拨： ① 先将一个梯形固定； ② 把另一个梯形翻转，绕腰的端点旋转 180°； ③ 平移使两个梯形的腰对齐，拼成平行四边形。 【知识点睛】梯形拼平行四边形的变换方式。 12. 【答案】4 倍 思路点拨： ① 把大三角形的两条直角边都平均分成 2 份，沿分点连线可以把大三角形分成 4 个完全相同的小三角形； ② 1 个大三角形包含 4 个小三角形，因此大三角形面积是最小三角形的 4 倍。 【知识点睛】七巧板中大小三角形的面积倍数关系，可通过分割计数的方法直观判断。 13. 【答案】过长方形的一个顶点，向对边（非顶点）斜剪一刀 思路点拨： ① 从长方形一个顶点出发，斜着向对边剪，不经过对边的顶点； ② 剪下的部分是三角形，剩下的部分是梯形。 【知识点睛】长方形分割为三角形和梯形的剪法。 14. 【答案】 思路点拨： ① 七巧板总面积固定，无论拼成什么图案，都是这 7 块板； ② 总面积始终等于 7 块板的面积和，因此都相等。 【知识点睛】拼组前后面积不变。 15. 【答案】不会改变 思路点拨： ① 旋转只改变图形的位置和方向； ② 图形的形状、大小都不会发生变化。 【知识点睛】旋转的性质。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】最少 2 块，两个大三角形 思路点拨： ① 两个大三角形是等腰直角三角形，斜边长度相等； ② 将两个大三角形的一条直角边对齐拼接，就能拼成一个更大的等腰直角三角形； ③ 用 2 块即可完成，是最少的板块数量。 【知识点睛】七巧板拼大三角形的最优方案。 17. 【答案】可能是三角形、四边形、五边形，共 3 种 思路点拨： ① 沿对角线剪，剩下三角形； ② 过一个顶点剪到对边上，剩下四边形； ③ 不过顶点，剪两条相邻的边，剩下五边形。 【知识点睛】多边形剪角的边数变化，分情况讨论。 18. 【答案】2 种 思路点拨： ① 第一种：三个正方形排成一条直线，形成长条形； ② 第二种：两个正方形并排，第三个接在其中一个的一侧，形成 L 形； ③ 通过旋转可以得到不同方向的同款图形，本质属于同一种拼法，因此共 2 种不同的图形。 【知识点睛】数不同拼组图形时，旋转后能完全重合的算同一种，需排除方向差异的干扰。 19. 【答案】不能，因为剩余板块无法同时满足长方形对边相等、四角为直角的边长匹配要求 思路点拨： ① 全套七巧板刚好能拼成长方形，去掉一块小三角形后，总边数和边长组合被打破； ② 剩余 6 块板的斜边数量过多，无法凑出长方形四条笔直的边和四个直角，因此无法拼成完整的长方形。 【知识点睛】判断能否拼成指定图形，既要考虑总面积，也要考虑边长和角度的匹配关系。 20. 【答案】3 种 思路点拨： ① 两次都沿长边对折，剪出细长小长方形； ② 两次都沿宽边对折，剪出偏正方形的小长方形； ③ 一次沿长、一次沿宽对折，剪出常规小长方形。 【知识点睛】折叠裁剪的不同方式分类讨论。 1 学科网（北京）股份有限公司 $