奥数培优专题12 最优方案与省钱策略（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

本讲义聚焦小学数学“最优方案与省钱策略”核心知识点，系统梳理买赠满减促销、团购散购对比、方案数学建模、枚举法筛选四大考点，构建“场景识别—方案枚举—计算对比—择优决策”的完整解题逻辑，为后续统筹优化问题学习奠定基础。 资料以知识体系表格化梳理、解题方法口诀化记忆为特色，通过分层进阶练习和易错避坑指南，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言），课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

专题十二 最优方案与省钱策略 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：促销问题中的最划算购买方案设计 3 考点二：团购与个人购的对比 4 考点三：多种方案比较的数学建模 5 考点四：枚举法在方案选择中的应用 6 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：买赠问题按总数量算总价，赠送部分也付费 8 易错点 2：满减只减一次，忽略多次满减叠加 8 易错点 3：方案对比只算两种，漏掉混合最优方案 8 易错点 4：枚举无序，遗漏可行方案 8 易错点 5：只算单价便宜，忽略数量限制 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、基础夯实篇（8 题） 10 二、能力进阶篇（7 题） 10 三、思维跃迁篇（5 题） 11 第五部分 精准解析 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版四年级上册第四单元的应用拓展培优内容，围绕生活场景中的最优省钱决策展开，涵盖买赠满减促销设计、团购与散购对比、方案数学建模、枚举法筛选四大考点，建立 “场景识别 — 方案枚举 — 计算对比 — 择优决策” 的完整解题逻辑，掌握统筹规划、有序枚举、模型套用等核心方法，培养理性决策与数学应用能力，为后续统筹问题、优化问题学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 买几送几与满减促销 买赠活动实际单价计算，满减规则下最优凑单，不同促销方式性价比对比 买赠折算法、满减凑单法 误将赠送数量计入付费数量；满减只算一次忽略多次叠加 团购与个人购对比 单人票与团体票费用计算，人数临界值判断，混合购票最优组合 临界值法、混合搭配法 只对比全散购和全团购，漏掉混合购票最优方案 多方案比较建模 租车、租船、购票类标准化方案模型，总费用公式化计算 模型套用法、公式计算法 模型套用错误，人数、限载量对应关系混乱 枚举法方案选择 有序罗列所有可行方案，逐一计算总费用，筛选最低值 有序枚举法、逐项对比法 枚举无序，遗漏可行方案，导致最优解判断错误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 折算单价法 买赠类促销题 算实际付费数量→总价除以总数量→得实际单价对比 买赠不算赠，折算真单价，越低越划算 满减凑单法 满减类促销题 看满减门槛→算能满减几次→总价减优惠额 满减多凑单，优惠最大化，省钱不浪费 方案罗列法 多方案对比题 列出所有可行方案→分别算总费用→对比选最低 所有方案都算全，数字最小最省钱 有序枚举法 租车租船类题 从多租大车 / 大船开始→依次减少数量→算总价找最低 从大到小依次试，不重不漏找最优 临界判断法 团购散购对比题 算团购与散购费用相等的临界人数→根据人数选方案 低于临界买单票，高于临界买团体 三、奥数思维提升 1. 统筹优化思想：最低成本的决策逻辑 核心要点：同一需求存在多种实现方案时，通过计算对比所有可行方案，选择总花费最少的一种，用最低成本达成目标，这是统筹优化思想的核心，也是数学在生活决策中的重要应用。 示例：采购 30 本笔记本，单买每本 8 元，10 本装每包 70 元。分别计算全单买 240 元、3 包 210 元，对比后选整包购买更省钱。通过对比筛选最优方案，实现花费最小化。 2. 建模思想：同类问题的通用公式 核心要点：租车、购票、买赠等不同场景的最优问题，本质都符合 “总费用 = 单价 × 数量−优惠” 的通用模型。掌握模型后，同类问题直接套用公式计算，不用从零分析，实现学一题通一类。 示例：租车问题总费用 = 大车数量 × 大车租金 + 小车数量 × 小车租金；购票问题总费用 = 成人票总价 + 学生票总价。场景不同，但都是分项求和算总费用的统一模型。 3. 有序枚举思想：不重不漏的方案罗列 核心要点：方案数量有限时，按照从多到少或从少到多的固定顺序逐一罗列所有可行方案，每算一个记录一个，保证不重复、不遗漏，完整筛选后才能找到真正的最优解。 示例：租船问题，从全租大船开始，依次减少 1 条大船、补上对应小船，直到全租小船，每组都算总费用，有序枚举后对比，就能确保找到最便宜的方案。 4. 转化思想：促销规则的数学化表达 核心要点：“买几送几、满几减几” 等生活化促销规则，都可以转化为数学中的数量关系和计算式，把生活语言翻译成数学算式，就能用计算对比得出结论，体现转化思想。 示例：“买 3 送 1” 转化为数学表达：付 3 件的钱得到 4 件，实际单价 = 原价 ×3÷4；“满 100 减 20” 转化为：每满 100 元就减去 20 元，总优惠 = 满减次数 ×20。 5. 极值思想：边界情况的验证判断 核心要点：判断方案是否最优时，可以通过计算最高花费、最低花费两个边界值，快速锁定范围，验证结论的合理性；也可以通过临界值判断不同方案的适用场景，培养极值推理能力。 示例：团购票 10 人共 90 元，单人票每张 10 元，9 人时全买单票 90 元和团购价一样，这就是临界值。人数超过 9 人选团购划算，少于 9 人选单票划算，临界值就是两种方案的分界点。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：促销问题中的最划算购买方案设计 典型例题 1（基础型）—— 买几送几总价计算 题目：超市促销，酸奶买 4 盒送 1 盒，每盒酸奶 6 元。买 20 盒酸奶一共需要花多少钱？ 思路点拨： ① 买 4 送 1，即 5 盒为一组，每组只需付 4 盒的钱； ② 20 盒可分几组：20÷(4+1)=4 组； ③ 实际付费盒数：4×4=16 盒，总价：16×6=96 元。 【答案】96 元 【知识点睛】买赠问题先算组数，求出实际付费数量，再用单价乘付费数量算总价。 典型例题 2（提高型）—— 满减与买赠对比 题目：同一款书包单价 80 元，A 店 “买 3 送 1”，B 店 “满 200 减 50”，买 4 个书包，哪家店更便宜？ 思路点拨： ① A 店：买 3 送 1，付 3 个的钱得 4 个，总价：3×80=240 元； ② B 店：4 个总价 4×80=320 元，满 200 减 50，可减 1 次，实付 320−50=270 元； ③ 对比：240＜270，A 店更便宜。 【答案】A 店更便宜 【知识点睛】不同促销方式分别计算实际总花费，再横向对比数值，花费少的更划算。 典型例题 3（奥数型）—— 多次满减最优凑单 题目：文具店满 100 减 30，钢笔每支 25 元，买 8 支钢笔最少需要花多少钱？ 思路点拨： ① 8 支钢笔原价：8×25=200 元； ② 满 100 减 30，200 元可以满减 2 次； ③ 实付总价：200−2×30=140 元。 【答案】140 元 【知识点睛】满减活动要算清总金额里包含几个满减门槛，优惠可多次叠加，不是只能减一次。 考点二：团购与个人购的对比 典型例题 1（基础型）—— 两种方案直接对比 题目：公园门票单人票每张 15 元，10 人团体票每张 120 元。30 人去游玩，全买团体票比全买单人票省多少钱？ 思路点拨： ① 全买单人票总价：30×15=450 元； ② 全买团体票：30÷10=3 张，总价：3×120=360 元； ③ 节省金额：450−360=90 元。 【答案】省 90 元 【知识点睛】分别计算两种方案总费用，相减即可得到差价。 典型例题 2（提高型）—— 混合购票最优方案 题目：科技馆门票成人票每张 30 元，学生票每张 15 元，10 人团体票每张 200 元。2 名老师带 8 名学生，怎么买票最省钱？ 思路点拨： ① 方案 1：分开买，2×30+8×15=60+120=180 元； ② 方案 2：全买团体票，10 人刚好 1 张，总价 200 元； ③ 对比：180＜200，分开买更省钱。 【答案】分开买成人票和学生票最省钱 【知识点睛】团购不一定总最便宜，要和分票购买对比，混合方案也可能是最优解。 典型例题 3（奥数型）—— 人数不足团购拼单 题目：景区团体票 10 人共 180 元，单人票每张 20 元。7 个游客一起游玩，怎么买票最划算？ 思路点拨： ① 方案 1：全买单人票，7×20=140 元； ② 方案 2：多买 3 张凑 1 张团体票，总价 180 元； ③ 对比：140＜180，买 7 张单人票更划算。 【答案】买 7 张单人票最划算 【知识点睛】人数接近团购门槛时，要对比实际人数购票和凑团购的费用，不是凑团购就一定省钱。 考点三：多种方案比较的数学建模 典型例题 1（基础型）—— 租车方案建模 题目：大巴车限乘 30 人，租金 600 元；中巴车限乘 20 人，租金 450 元。80 人出行，建立总费用模型并计算全租大巴和全租中巴的费用。 思路点拨： ① 总费用模型：总租金 = 大车数量 × 大车单价 + 小车数量 × 小车单价； ② 全租大巴：80÷30≈3 辆，总价 3×600=1800 元； ③ 全租中巴：80÷20=4 辆，总价 4×450=1800 元。 【答案】全租大巴 1800 元，全租中巴 1800 元 【知识点睛】租车问题通用模型：总费用等于各类车辆租金之和，车辆数需向上取整保证载够所有人。 典型例题 2（提高型）—— 最优方案筛选 题目：如上题条件，80 人出行，怎么租车最省钱？ 思路点拨： ① 先算单人成本：大巴单人 20 元，中巴单人 22.5 元，优先多租大巴； ② 租 2 辆大巴坐 60 人，剩 20 人刚好租 1 辆中巴； ③ 总费用：2×600+1×450=1650 元，为最低值。 【答案】租 2 辆大巴、1 辆中巴最省钱 【知识点睛】优先租单人成本低的车型，剩余人数搭配小车，空位最少时通常最省钱。 典型例题 3（奥数型）—— 方案临界值建模 题目：书店会员卡办卡费 30 元，买书每本省 6 元；不办卡直接按原价买。买多少本书时，两种方式花费一样多？ 思路点拨： ① 办卡需要先花 30 元，但每本书能省 6 元； ② 当省下的总钱数刚好等于办卡费时，两种方式花费相同； ③ 计算需要买的本数：30÷6=5本。 【答案】5 本 【知识点睛】先算出每次消费的差价，再用固定成本除以单次差价，就能得到两种方案花费相等的临界值。 考点四：枚举法在方案选择中的应用 典型例题 1（基础型）—— 租船有序枚举 题目：大船限坐 6 人，租金 30 元；小船限坐 4 人，租金 24 元。22 人租船，写出所有可行方案并找最便宜的。 思路点拨： ① 从全租大船开始有序枚举：4 条大船坐 24 人，120 元；3 条大船 + 1 条小船，坐 22 人，114 元；2 条大船 + 3 条小船，坐 24 人，132 元；1 条大船 + 4 条小船，坐 22 人，126 元；0 条大船 + 6 条小船，144 元； ② 所有方案中，3 大 1 小总费用最低； ③ 验证刚好坐满无空位，费用 114 元为最优。 【答案】租 3 条大船 1 条小船最便宜 【知识点睛】有序枚举从多租大船开始，依次递减，保证所有可行方案都被覆盖。 典型例题 2（提高型）—— 采购方案枚举 题目：笔记本大包装 10 本 25 元，小包装 5 本 15 元。买 35 本笔记本，有几种不同买法？哪种最省钱？ 思路点拨： ① 按大包装数量从多到少枚举：3 大 1 小，35 本，90 元；2 大 3 小，35 本，95 元；1 大 5 小，35 本，100 元；0 大 7 小，35 本，105 元； ② 共 4 种可行买法； ③ 3 大 1 小花费最少，最省钱。 【答案】4 种买法，买 3 包大包装 1 包小包装最省钱 【知识点睛】包装类组合问题，固定大包装数量有序枚举，筛选所有符合总量的方案。 典型例题 3（奥数型）—— 多约束条件枚举 题目：用 100 元买钢笔和笔记本，钢笔每支 10 元，笔记本每本 5 元，两种都要买，钱刚好花完，一共有多少种不同的买法？ 思路点拨： ① 按钢笔数量从 1 到 9 有序枚举，对应算笔记本数量，确保总金额 100 元； ② 钢笔 1 支时，笔记本 18 本；钢笔 2 支时，笔记本 16 本…… 依此类推，钢笔 9 支时，笔记本 2 本； ③ 共 9 种不同买法。 【答案】9 种 【知识点睛】双变量不定方程问题，通过有序枚举可以找出所有整数解，做到不重不漏。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：买赠问题按总数量算总价，赠送部分也付费 错误示例：买 3 送 1，买 4 件商品，直接用 4 乘单价算总价，把赠送的 1 件也算成付费。 正确分析：买几送几，只有 “买” 的部分需要付钱，“送” 的部分免费，要先算出实际付费数量。 修正方法：先算组数，每组中只有购买数量付费，赠送数量不计入付费总额。 易错点 2：满减只减一次，忽略多次满减叠加 错误示例：满 100 减 20，总价 300 元，只减 20 元，漏掉另外两次满减。 正确分析：每满一个门槛就减一次，满减可以多次叠加，有几个满 100 就减几个 20。 修正方法：用总价除以满减门槛，算出满减次数，再乘单次优惠额得到总优惠。 易错点 3：方案对比只算两种，漏掉混合最优方案 错误示例：团购和散购对比，只算全团购和全散购，忽略部分团购、部分散购的混合方案。 正确分析：最优方案可能是两种方式的组合，比如部分人买团体票、部分买单人票，必须纳入对比。 修正方法：列出所有可能的购票 / 租车组合，包括混合方案，全部计算后再择优。 易错点 4：枚举无序，遗漏可行方案 错误示例：租船问题随便列举 2 种方案，就得出最优结论，漏掉更便宜的组合。 正确分析：枚举必须按照固定顺序逐一罗列，覆盖所有可行情况，才能保证找到真正的最优解。 修正方法：从多租大车 / 大船开始，依次减少 1 个，补上对应小车 / 小船，有序列表计算。 易错点 5：只算单价便宜，忽略数量限制 错误示例：认为大包装单本价格更低，就全买大包装，忽略总数量需求，造成浪费。 正确分析：最优方案不仅要看单价，还要结合购买总量，避免买太多造成闲置，总花费最低才是真省钱。 修正方法：所有方案都按实际需求总量计算，多余的数量也要计入成本，综合对比总花费。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 买 3 送 1，就是付________件的钱，得到________件商品。 2. 满 100 减 15，买 200 元的商品，实际需要付________元。 3. 判断：买团购票一定比买单人票便宜。（ ） 4. 找最优方案时，列出所有可行方案逐一对比的方法叫做________法。 5. 大包薯片 10 元 3 包，小包 4 元 1 包，买 7 包最少花________元。 6. 租船问题中，优先租单人成本更________的船，通常更省钱。 7. 买 5 送 2，买 14 件商品，实际需要付________件的钱。 8. 判断：满减活动中，总价越高，享受的优惠一定越多。（ ） 二、能力进阶篇（7 题） 9. 文具店促销，钢笔买 4 支送 1 支，每支 12 元，买 20 支钢笔需要花多少钱？ 10. 超市满 80 减 20，牛奶每箱 35 元，买 3 箱牛奶实际要花多少钱？ 11. 游乐园成人票每张 40 元，儿童票每张 20 元，10 人团体票每张 280 元。3 名老师带 7 名学生，怎么买票最省钱？ 12. 大车限坐 40 人，租金 800 元；小车限坐 25 人，租金 600 元。115 人出行，怎么租车最省钱？ 13. 判断：买 3 送 1，相当于每件商品打七五折。（ ） 14. 书店促销，每本 25 元，买 4 本送 1 本，买 32 本最少需要多少钱？ 15. 用 50 元买 4 元的铅笔和 6 元的钢笔，钱刚好花完，两种都买，有几种买法？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 商场有两种促销：A 方案满 200 减 50；B 方案每满 100 元减 22 元。买 240 元的商品，选哪种方案更省钱？ 17. 学校采购 60 个足球，商家有三种包装：2 个装 50 元，3 个装 70 元，5 个装 100 元。怎么买最省钱？最少花多少钱？ 18. 某游泳馆办年卡 360 元，每次入场再付 5 元；不办卡每次入场 20 元。一年去多少次时，两种方式花费一样多？ 19. 45 人租船，大船限坐 8 人租金 72 元，小船限坐 5 人租金 50 元，全部坐满，怎么租最省钱？ 20. 水果店卖苹果，零售每千克 8 元，10 千克装每箱 70 元。买 26 千克最少花多少钱？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】3；4 思路点拨： ① 买 3 送 1，付费 3 件，赠送 1 件，共得到 4 件。 【知识点睛】买赠问题的基础含义。 2. 【答案】170 思路点拨： ① 200 元包含 2 个 100，可减 2 次 15 元； ② 实付：200−2×15=170 元。 【知识点睛】多次满减的基础计算。 3. 【答案】× 思路点拨： ① 人数较少时，凑团购可能比单买更贵，不是一定便宜。 【知识点睛】团购方案的理性判断。 4. 【答案】枚举 思路点拨： ① 逐一列出所有方案对比筛选，是枚举法的核心特征。 【知识点睛】枚举法的概念认知。 5. 【答案】24 思路点拨： ① 2 份大包 6 包 6 元，加 1 小包 4 元，共 7 包； ② 总花费：2×10+4=24 元。 【知识点睛】基础组合方案选择。 6. 【答案】低 思路点拨： ① 单人成本越低，同等人数下总费用越少，优先选择。 【知识点睛】租车租船的择优原则。 7. 【答案】10 思路点拨： ① 买 5 送 2，7 件一组，14÷7=2 组； ② 每组付费 5 件，共付费 2×5=10 件。 【知识点睛】多组买赠的付费数量计算。 8. 【答案】× 思路点拨： ① 不满门槛的部分不享受优惠，并非总价越高优惠就线性增加。 【知识点睛】满减规则的边界理解。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】192 元 思路点拨： ① 买 4 送 1，5 支一组，20÷5=4 组； ② 每组付费 4 支，共付费 4×4=16 支； ③ 总价：16×12=192 元。 【知识点睛】买赠促销总价计算。 10. 【答案】85 元 思路点拨： ① 3 箱原价：3×35=105 元； ② 满 80 减 20，可减 1 次； ③ 实付：105−20=85 元。 【知识点睛】满减促销实际花费计算。 11. 【答案】分开买成人票和儿童票最省钱 思路点拨： ① 分开买：3×40+7×20=120+140=260 元； ② 团体票：刚好 10 人，1 张 280 元； ③ 260＜280，分开买更省钱。 【知识点睛】团购不一定总最便宜，要和分票购买对比后再选择最优方案。 12. 【答案】租 3 辆大车最省钱，总费用 2400 元 思路点拨： ① 先算单人成本：大车单人800÷40=20元，小车单人600÷25=24元，优先多租大车； ② 方案 1：租 3 辆大车，可坐3×40=120人，总费用3×800=2400元； ③ 方案 2：租 2 辆大车 + 2 辆小车，可坐2×40+2×25=130人，总费用2×800+2×600=2800元； ④ 对比得 2400 元更低，租 3 辆大车最省钱。 【知识点睛】优先选择单人成本低的车型，空位较少时总费用更低。 13. 【答案】√ 思路点拨： ① 付 3 件钱得 4 件，实际单价 = 3× 原价 ÷4=0.75× 原价，即七五折。 【知识点睛】买赠活动的折扣折算。 14. 【答案】650 元 思路点拨： ① 买 4 送 1，5 本一组，32÷5=6 组余 2 本； ② 6 组付费 24 本，得 30 本，剩余 2 本单买； ③ 总价：24×25+2×25=650 元。 【知识点睛】非整组买赠的最优购买方案。 15. 【答案】4 种 思路点拨： ① 钢笔 1 支时，铅笔 11 支；钢笔 2 支时，铅笔 不行；钢笔 3 支时，铅笔 支；钢笔 4 支时，(50-24)/4=26/4 不行；钢笔 5 支时，(50-30)/4=20/4=5 支；钢笔 6 支时， 不行；钢笔 7 支时， 支； ② 共 4 种买法。 【知识点睛】不定方程枚举求解。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】A 方案更省钱 思路点拨： ① A 方案：240 元满 200 减 50，实付元； ② B 方案：240 元包含 2 个 100，可减元，实付元； ③ ，A 方案更省钱。 【知识点睛】 【知识点睛】不同促销方式分别计算实际总花费，再横向对比选出更省钱的方案。 17. 【答案】买 12 份 5 个装最省钱，最少花 1200 元 思路点拨： ① 先算单价比：5 个装单价最低，优先多买； ② 60÷5=12 份，刚好买 12 份 5 个装； ③ 总价：12×100=1200 元。 【知识点睛】多包装采购最优方案。 18. 【答案】24 次 思路点拨： ① 办卡后每次比不办卡少花元； ② 当省下的总钱数刚好等于 360 元办卡费时，两种方式花费相同； ③ 计算次数：次。 【知识点睛】用固定成本除以单次差价，即可求出两种方案花费相等的临界次数。 19. 【答案】租 5 条大船、1 条小船最省钱 思路点拨： ① 大船单人 9 元，小船单人 10 元，优先大船且坐满； ② 有序枚举：5 条大船坐 40 人，剩 5 人刚好 1 条小船，总费用 5×72+50=410 元； ③ 验证全部坐满，为最优方案。 【知识点睛】无空位租船最优解。 20. 【答案】最少花 188 元 思路点拨： ① 10 千克装单价更低，优先买整箱； ② 买 2 箱 20 千克，花费 2×70=140 元； ③ 剩余 6 千克零售，6×8=48 元，合计 140+48=188 元。 【知识点睛】整箱 + 零售混合购买最优方案。 1 学科网（北京）股份有限公司 $