精品解析：江苏省徐州市第八中学2021-2022学年下学期八年级3月考试数学试卷

2021-2022-2阶段性测试 八年级数学试题 （全卷共120分，考试时间90分钟） 一、选择题（每小题3分，共8题，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合用普查的是 （ ） A. 新学期开始，我校调查每一位学生的体重 B. 调查某品牌电视机的使用寿命 C. 调查我市中学生的近视率 D. 调查长江中现有鱼的种类 3. 要反映台州市某一周每天的最高气温的变化情况，宜采用（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图 4. 如图，所提供的信息正确的是（ ） A. 七年级学生最多 B. 九年级的男生是女生的两倍 C. 九年级学生女生比男生多 D. 八年级比九年级的学生多 5. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）． A. 60° B. 75° C. 85° D. 90° 6. 如图，中，的平分线交于E，，，则的长（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 7. 如图的两个统计图，女生人数多的学校是（ ） A. 甲校 B. 乙校 C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定 8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共10题，共30分） 9. 在一篇文章中，“的”、“地”、“和”三个字共出现50次，已知“的”和“地”出现的频率之和是0.7，那么“和”字出现的频数是______． 10. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45°，则∠EDF的度数是__________度． 11. 如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_______； 12. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼． 13. 根据预测，21世纪中叶我国劳动者构成比例绘制成扇形统计图如图所示，则第一、二产业劳动者的构成比例是_______． 14. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____． 15. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______． 16. 如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为8，的周长为22，则的长为_________． 17. 在平行四边形ABCD中，AE平分交边BC于E，DF平分交边BC于F．若AD＝11，EF＝5，则AB＝_________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，试找出另一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标_______． 三、解答题 19. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的． 20. 某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 时间（小时） 　频数（人数） 　频率 2≤t＜3 4 0.1 3≤t＜4 10 0.25 4≤t＜5 a 0.15 5≤t＜6 8 b 6≤t＜7 12 0.3 合计 40 1 （1）表中的a=　 　，b=　 　； （2）请将频数分布直方图补全； （3）若该校共有1200名学生，试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名？ 21. 某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题： （1）该校对多少名学生进行了抽样调查？ （2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？ （3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？． 22. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 23. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 24. 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC． （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，则DF=　． 25. 如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线． （1）求证：AE⊥BE； （2）若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积． 26. 如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． （1）求的长（用含的代数式表示）． （2）当四边形是平行四边形时，求的值． （3）当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022-2阶段性测试 八年级数学试题 （全卷共120分，考试时间90分钟） 一、选择题（每小题3分，共8题，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 【详解】解：A选项：图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；  B选项：图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  C选项：图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；  D选项：图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列调查中，适合用普查的是 （ ） A. 新学期开始，我校调查每一位学生的体重 B. 调查某品牌电视机的使用寿命 C. 调查我市中学生的近视率 D. 调查长江中现有鱼的种类 【答案】A 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】A、新学期开始，我校调查每一位学生的体重适合抽样调查，故A正确； B、调查某品牌电视机的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误； C、调查我市中学生的近视率适合抽样调查，故C错误； D、调查长江中现有鱼的种类适合抽样调查，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 要反映台州市某一周每天的最高气温的变化情况，宜采用（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，要求直观反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图． 故选：C. 4. 如图，所提供的信息正确的是（ ） A. 七年级学生最多 B. 九年级的男生是女生的两倍 C. 九年级学生女生比男生多 D. 八年级比九年级的学生多 【答案】B 【解析】 【分析】从条形统计图中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，七年级的学生人数最少，故选项A错误； B、九年级的男生人数为20人，女生为10人，故九年级的男生是女生的两倍，正确； C、九年级的男生比女生多，故选项C错误； D、八年级的学生人数为人，九年级的学生人数为人，故两个年级的学生人数相同，故选项D错误； 故选B． 【点睛】本题考查条形统计图，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． 5. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）． A. 60° B. 75° C. 85° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°， 根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°． ∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°， ∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°， 即∠BAC的度数为85°． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 6. 如图，中，的平分线交于E，，，则的长（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得出内错角相等，从而证得为等腰三角形，求出的长，进而利用线段的和差关系求出的长即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴. 7. 如图的两个统计图，女生人数多的学校是（ ） A. 甲校 B. 乙校 C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，一般不能直接从图中得到具体的数量， ∴甲校女生人数甲校总人数，乙校女生人数乙校总人数， ∵题目中未给出甲、乙两校的学生总人数， ∴无法计算并比较两校女生的具体人数. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，DO=BO， ∴EO=FO， ∵AE=CF， ∵DO=BO， ∴四边形DEBF是平行四边形； ②由E＝BF无法证明四边形DEBF是平行四边形； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，AD=BC， ∴∠DAE=∠BCF， ∵∠ADE＝∠CBF， ∴△ADE≌△CDF， ∴∠AED=∠CFB， ∴∠DEO=∠BFO， ∴DE//BF， ∴四边形DEBF是平行四边形； ④同理可证当∠ABE＝∠CDF时，四边形DEBF是平行四边形； ∴只有①③④可以， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共10题，共30分） 9. 在一篇文章中，“的”、“地”、“和”三个字共出现50次，已知“的”和“地”出现的频率之和是0.7，那么“和”字出现的频数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据所有对象的频率之和为，先求出“和”字出现的频率，再根据频数=频率×数据总数，计算得到“和”字的频数. 【详解】解：由频率的性质可知，所有对象出现的频率之和为， ∴“和”字出现的频率为：， ∵三个字出现的总次数即数据总数为， ∴“和”字出现的频数为：. 10. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45°，则∠EDF的度数是__________度． 【答案】45 【解析】 【详解】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠EDF=∠EBF=45°． 故答案为45． 11. 如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_______； 【答案】72° 【解析】 【详解】五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为=72°. 故答案为72°. 12. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼． 【答案】1200 【解析】 【详解】试题分析：先打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有30条鱼做上标记，即可得出答案． 解：∵打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条， ∴有标记的鱼占×100%=2.5%， ∵共有30条鱼做上标记， ∴鱼塘中估计有30÷2.5%=1200（条）． 故答案为1200． 考点：用样本估计总体． 13. 根据预测，21世纪中叶我国劳动者构成比例绘制成扇形统计图如图所示，则第一、二产业劳动者的构成比例是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出第一产业所占圆心角，即可得出结果. 【详解】解：由图可知，第二产业所占圆心角为，第三产业所占圆心角为， 故第一产业所占圆心角为； 则第一、二产业劳动者的构成比例是. 14. 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD， ∵AC+BD=16， ∴OB+OC=8， ∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14， 故答案为14． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】6 【解析】 【详解】∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2， ∴AB=2， ∴阴影部分的面积之和为3×2=6． 故答案为：6． 【点睛】考点：中心对称． 16. 如图，平行四边形中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，点A正好落在上的点F，若的周长为8，的周长为22，则的长为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】由平行四边形可得对边相等，由折叠，可得，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得的长，本题可解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质得， ∵的周长为8，的周长为22， ∴，， ∴， 解得． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；解决翻折问题的关键是找到相等的边，利用等量关系列出方程求得答案． 17. 在平行四边形ABCD中，AE平分交边BC于E，DF平分交边BC于F．若AD＝11，EF＝5，则AB＝_________． 【答案】8或3 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，得出AB＝BE＝CF＝CD，分两种情况，即可得到结论． 【详解】解：①如图1， 在▱ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD， ∴AB＝BE＝CF＝CD ∵EF＝5， ∴BC＝BE＋CF－EF＝2AB－EF＝2AB－5＝11， ∴AB＝8； ②如图2， 在▱ABCD中，∵BC＝AD＝11，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB， ∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF， ∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF， ∴AB＝BE，CF＝CD， ∴AB＝BE＝CF＝CD ∵EF＝5， ∴BC＝BE＋CF＝2AB＋EF＝2AB＋5＝11， ∴AB＝3； 综上所述：AB的长为8或3. 故答案为：8或3. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出AB＝BE＝CF＝CD． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，试找出另一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况，结合平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 若为对角线，则 ，解得：， 此时点D的坐标为； 若为对角线，则 ，解得：， 此时点D的坐标为； 若为对角线，则 ，解得：， 此时点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 三、解答题 19. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的． 【答案】 （1）如图所示，即为所求， 点的坐标为； （2）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得； 分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 20. 某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间，在本校随机抽取了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 时间（小时） 　频数（人数） 　频率 2≤t＜3 4 0.1 3≤t＜4 10 0.25 4≤t＜5 a 0.15 5≤t＜6 8 b 6≤t＜7 12 0.3 合计 40 1 （1）表中的a=　 　，b=　 　； （2）请将频数分布直方图补全； （3）若该校共有1200名学生，试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名？ 【答案】（1）6，0.2；（2）补图见解析；（3）估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为780名． 【解析】 【分析】（1）根据2≤t＜3这一组的频数以及频率可求得样本容量，根据统计表中的数据列式计算即可求得a、b； （2）根据b的值画出直方图即可； （3）用锻炼时间至少4小时的频率乘以1200即可得. 【详解】（1）调查总人数=4÷0.1=40， ∴a=40×0.15=6，b==0.2， 故答案为6，0.2； （2）频数分布直方图如图所示： （3）由题意得，估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为1200×（0.15+0.2+0.3）=780名． 【点睛】本题考查了频数分布统计表、频数分布直方图，读懂统计图表、从中获取必要的信息是解题的关键；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21. 某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题： （1）该校对多少名学生进行了抽样调查？ （2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？ （3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？． 【答案】（1）50名；（2）18人；36%；（3）160人 【解析】 【分析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加可得答案； （2）根据表中的数据计算可得答案； （3）用样本估计总体，按比例计算可得． 【详解】（1）由图1知：（名） 答：该校对50名学生进行了机样调查． （2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人． ∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%． （3） （人） （人） 答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥DC， ∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB， ∵AB=CD，FD=BE， ∴CF=AE， 在△COF和△AOE中， ∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB， ∴△COF≌△AOE， ∴OE=OF． 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论． 【详解】略 23. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵DF∥BE， ∴∠DFE=∠BEF． 又∵AF=CE，DF=BE， ∴△AFD≌△CEB（SAS）． （2）证明：由（1）知△AFD≌△CEB， ∴∠DAC=∠BCA，AD=BC， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【解析】 【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB． （2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD//BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键． 24. 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC． （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，则DF=　． 【答案】（1）见解析； （2）图②中：AC+DF=DE；图③中：AC+DE=DF． （3）2或10 【解析】 【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得． （2）与（1）的证明方法相同． （3）根据（1）（2）中的结论直接求解． 【详解】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∴AF=DE． ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∴∠FDB=∠C． ∴DF=BF． ∴DE+DF=AB=AC． （2）图②中：AC+DF=DE；图③中：AC+DE=DF． 理由如下：如图②所示，同理可证四边形AEDF是平行四边形， ∴AF=DE， ∵， ∴∠B=∠CDF， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， 又∵∠ACB=∠FCD， ∴∠FCD=∠FDC， ∴FC=FD， ∴AC+DF=AC+CF=AF=DE； 如图③同理可证AC+DE=DF； （3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2； 当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10． 25. 如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线． （1）求证：AE⊥BE； （2）若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形ABCD的面积为6． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质，得到，从而得到结论； （2）根据三角形面积公式可以得到，得到，从而求得平行四边形的面积． 【详解】（1）证：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵、分别平分和， ∴， ∴， 即； （2）解：根据三角形面积公式可以得到 ∵ ∴， ∴ 所以平行四边形的面积为6． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及面积计算，熟练掌握应用平行四边形的性质是解题的关键． 26. 如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． （1）求的长（用含的代数式表示）． （2）当四边形是平行四边形时，求的值． （3）当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角线平分、对边平行的性质，证明与全等，得出，再结合的长度，用减去表示出； （2）根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合的条件，列的方程求解； （3）由垂直平分线的性质得，先通过勾股定理算出的长度，再结合的长度，用勾股定理列方程求 ． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 由题意得， ． ， ． 【小问2详解】 解：， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 故当四边形是平行四边形时，的值为． 【小问3详解】 解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，． ，， ， ． ， ， 易得． 是的垂直平分线， ，． 由勾股定理，得， 即， （负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质与勾股定理的应用，掌握平行四边形的边与对角线性质、全等三角形的判定方法，及垂直平分线和勾股定理的综合应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $