精品解析：湖北荆州市2025-2026学年高一下学期7月质量检测数学试卷

荆州市2025—2026学年度高一年级质量检测 数学试卷 2026.7 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项； 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 3. 样本数据，，，，，，，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面，，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若且，则 5. 已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱台中，上下底面边长之比为，高为，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，， 的所有零点之和是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 若函数，则下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 的值域为 D. 在定义域内有个零点 11. 在中，已知，，点，满足，，线段和相交于点．若，则下列命题中正确的有（ ） A. B. C. 直线，所成角的余弦值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在区间上，与终边相同的角为____________． 13. 若，，都是正实数，则的最小值为____________． 14. 如图，该图是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，侧面由个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的底面棱长为，侧棱长为，则该多面体外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，都是实数，方程的一个根为（为虚数单位）． （1）求，的值； （2）求． 16. 已知函数是R上的奇函数． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； （2）若，求实数的取值范围． 17. 某科技公司研发新一代智能芯片，为测试芯片综合性能，实验室对批量芯片进行性能评分（满分分，最低分），并将所有芯片的性能得分整理，绘制得到频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）求该芯片性能得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）设该芯片性能得分的平均值为，若按得分是否在区间内进行分层抽样，且抽取枚芯片进行性能测试，得分在区间内的至少抽取枚，试估计的最小值（保留两位小数）． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，二面角的平面角大小为． （1）若，证明：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出；若不存在请说明理由； （3）设，三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，，求的值 19. 如图，在平面四边形中，，为线段上一点，且，． （1）若，求； （2）记，，， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州市2025—2026学年度高一年级质量检测 数学试卷 2026.7 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项； 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，则 2. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】复数（为虚数单位）为纯虚数，则且，所以. 3. 样本数据，，，，，，，的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】数据已经从小到大排列：， 样本量， ， 因为不是整数时，所以取第项的数据，第项的数据为， 所以第百分位数是，则选项B正确. 4. 已知平面，，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若且，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，则或，故A错误； 若，则或是异面直线，故B错误； 若，，则或是异面直线或相交，故C错误； 若且，结合已知可得，， 所以，故D正确. 5. 已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，，是两个单位向量，所以 ，又，所以， 所以， 即，则向量与向量的夹角为. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】因为， 则. 7. 正四棱台中，上下底面边长之比为，高为，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据上下底面边长之比设出上下底面边长，再结合高和侧棱长的关系求出上下底面边长，最后根据正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】设正四棱台的下底面边长，因为上下底面边长之比为，所以上底面边长，取上下底面的中心分别为，连接，作 于，如图： 则， ，在中，由勾股定理， ，代入可得，解得， 则上底面面积，下底面面积， 所以该正四棱台的体积. 8. 已知函数，， 的所有零点之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断含糊的对称性以及函数的单调性，数形结合，可判断出函数的零点，即可求解.. 【详解】由， 可得， 故，即的图象关于点对称； 由于单调递增，故在R上单调递增，且增加的趋势较平缓， 当时，，当时，， 为增函数，其图象也关于点对称， 作出函数的图象如图： 由此可知的图象有唯一的交点， 所以1是的唯一零点， 所以函数的所有零点之和是1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求解集合，再分析充分不必要条件判断结果； 【详解】不等式 等价于解得 因为是的充分不必要条件则对应的集合必须是集合的真子集， 所以ABC符合题意，D不符合题意； 10. 若函数，则下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 的值域为 D. 在定义域内有个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，根据偶函数的定义求解；选项B，去掉绝对值得到的表达式，根据在时，函数值的变化规律在不同区间不同，结合是偶函数和图像，根据周期函数的定义得到结论；选项C，由是偶函数得到只需研究，在这个范围内，分别讨论和范围内的的表达式，利用表达式结合图像求出值域，从而得到结论；选项D，利用奇偶函数的定义求出是偶函数，只需分析，利用对称得到的零点，的零点个数就是函数的交点个数，在同一坐标系内画出的图像，结合图像和偶函数的定义得到结论. 【详解】选项A函数定义域为，关于原点对称， 因为， 所以， 所以是偶函数，A正确. 选项B，， 当时，， 当时，即时， ， 当时，即时， ， 因为在时，函数值的变化规律在不同区间不同，且是偶函数， 如图： 所以不存在非零常数，使得对于都成立， 所以不是周期函数，B错误. 选项C，因为是偶函数，只需研究， 当时，， 当时，即时， ，值域， 当时，即时， ，值域， 综上可知，的值域是，不是，C错误. 选项D，，定义域为， ， 则是偶函数， 由偶函数性质，只需分析，再利用对称得到的零点， 时，，解得， 则的零点个数就是函数的交点个数， 因为都是偶函数， 所以只需考虑时，函数的交点个数， 当时，， 在同一坐标系内画出的图像，如图所示： 由图像可知，当时，函数有个零点， 即有个零点， 由偶函数对称性，也有个零点，一共个零点，D正确. 11. 在中，已知，，点，满足，，线段和相交于点．若，则下列命题中正确的有（ ） A. B. C. 直线，所成角的余弦值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，，选择作为一组基底，通过向量的线性运算表示和，根据平面向量基本定理求参数，即可判断AB；用向量夹角公式求两条直线的夹角的余弦值，即可判断C；通过共线向量间的比例关系求面积间的比例关系，即可判断D. 【详解】因为，所以，则. 设，则， 又因为，所以， 设，则， 因为，所以， 所以，解得， 所以，，选项A错误；选项B正确； ， ， ， 所以直线，所成角的余弦值为，选项C正确. 由得，则. 因为，所以，所以， 由得，则, 因为，所以，所以. 所以，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在区间上，与终边相同的角为____________． 【答案】 【解析】 【详解】与终边相同的角为， 在区间上的角为. 13. 若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】将分子拆分分组后，对两组项分别应用基本不等式放缩，凑出与分母线性相关的结果，验证等号成立条件后即可得到最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号， 即的最小值是. 14. 如图，该图是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，侧面由个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的底面棱长为，侧棱长为，则该多面体外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对称性确定外接球球心在上下底面中心连线中点，先求出两底面间距，再结合勾股定理算出外接球半径，最后代入表面积公式求解. 【详解】如图，设的中点在下底面上的射影为H， 上、下两底面间的距离为d，外接球的半径为R， 则，，且A到的距离为2， 所以，， 可得外接球的表面积为， 即所求外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，都是实数，方程的一个根为（为虚数单位）． （1）求，的值； （2）求． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数相等的条件求解即可； （2）根据复数模的定义求解. 【小问1详解】 将代入方程整理得：， 因为，，所以， 所以，. 【小问2详解】 由（1)知，， 所以， 所以. 16. 已知函数是R上的奇函数． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），函数在R上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义进行判断； （2）由奇函数及函数的单调性求解． 【小问1详解】 由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. 【小问2详解】 由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 17. 某科技公司研发新一代智能芯片，为测试芯片综合性能，实验室对批量芯片进行性能评分（满分分，最低分），并将所有芯片的性能得分整理，绘制得到频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）求该芯片性能得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）设该芯片性能得分的平均值为，若按得分是否在区间内进行分层抽样，且抽取枚芯片进行性能测试，得分在区间内的至少抽取枚，试估计的最小值（保留两位小数）． 【答案】（1） （2）74 （3）15.43. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求各组频率，结合频率和1运算求解； （2）同一组中的数据用该组区间的中点值代替，结合平均值的公式求解； （3）要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚，则得分在区间内的频率不低于0.75，进行求解． 【小问1详解】 由，解得. 【小问2详解】 . 即平均值为74. 【小问3详解】 由（2）可知. 要使抽取的100枚芯片的得分在内的不低于75枚，则得分在区间内的频率不低于0.75. 若，则 频率； 若，则， 频率； 当b最小时，， 且， 解得，即b的最小值约为15.43. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，二面角的平面角大小为． （1）若，证明：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出；若不存在请说明理由； （3）设，三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，，求的值 【答案】（1）若，则平面平面，平面平面， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）存在是上一点，使得平面PBC， （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，由平面平面，推出平面，再结合平面证得； （2）先通过直角三角形射影定理算出，取靠近的四等分点得，结合，利用面面平行判定证平面平面，进而推出平面； （3）先确定底面直角三角形外心位置，由二面角得线线夹角，取各边中点构造二面角平面角，利用外接球球心到两平面垂线构建直角三角形，结合三角函数关系求出、，最终代入式子完成求值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在是上靠近点的四等分点，使得平面，理由如下： 过点作，因为，所以是直角三角形， 所以，由，即，得， 所以，所以，平面，平面， 所以平面. 又，平面，所以， 又平面，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 【小问3详解】 因为，所以是直角三角形，外心为斜边中点， 二面角的大小为，因为，由，可知， 所以 分别取的中点，连接， 因为为三棱锥的外接球球心，故平面，平面， 因为平面，所以，而为中位线，所以， 所以，又，平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是二面角的平面角，即，同理可证， 因为平面，所以，又平面，所以， 所以，即，所以 在直角三角形中，，同理， 所以在直角三角形中，， 即，得， 又，所以， 所以 【点睛】 19. 如图，在平面四边形中，，为线段上一点，且，． （1）若，求； （2）记，，， （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）在中由余弦定理得，同理可得， 在中 在中， 因为，所以， 又因，故 （ⅱ） 【解析】 【分析】(1) 先在三角形中算出两个内角，直接套用正弦定理，一步列式求解边长； (2)(i)先用余弦定理表示等腰三角形腰长，再利用等腰三角形底边公式写出，结合，再代入完成恒等变形； (ii)把角的关系式代入第一问等式，利用三角积化和差公式化简，直接凑出并求值. 【小问1详解】 由题意可得，在中，，，， 由正弦定理得，解得 【小问2详解】 （ⅰ)略 （ⅱ)由（ⅰ)知，又，所以， 因此， 由积化和差公式可得， 所以， 化简得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $