精品解析：辽宁大连市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

大连市2025~2026学年度下学期期末考试 高一数学 考试时间：（120分钟满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1. （ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将化小为，然后利用角的终边与单位圆的交点坐标求解余弦值. 【详解】， 而为第四象限角，且其终边与单位圆的交点坐标为， 故． 故选：A. 【点睛】本题考查利用单位圆求三角函数值，属于基础题. 2. 已知复数（其中i为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的四则运算并结合复数的模即可求解. 【详解】， 则. 3. 设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，，，则或异面，故A错误； 若，，则或相交或，无法推出，故B错误； 若，，，，若相交，则， 若，则无法判断，故C错误； 若，，，过直线作平面，， ，，过直线作平面，， ，，，，， ，，故D正确． 4. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. 13 B. C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【详解】，若与垂直，则， 即：，解得：. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化为，根据同角三角函数基本关系，切化弦，即可得出结果。 【详解】因为，所以， 因此. 故选：C. 6. 某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像，可得，结合周期公式可求得，代入最高点坐标可求得，即可得函数解析式. 【详解】根据函数图像可知， 周期，所以， 所以，将最高点坐标代入可得 ，所以， 解得， 当时，， 所以. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得，而， 得到，在中，，， 由余弦定理得，解得，故B正确. 故选：B. 8. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点 构造平面，通过线面垂直判定证明平面，结合在面内确定轨迹为线段，再由中位线求出 长度得到轨迹长. 【详解】如图，取棱PD的中点G，连接FG，EG． 因为F，G分别是棱AD，PD的中点，所以． 因为平面ABCD，所以平面ABCD． 因为平面ABCD，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面EFG，平面EFG，， 所以平面EFG，则平面EFG． 因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段EG． 因为，所以． 因为E，G分别是棱CD，PD的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确； 故选：ABD 10. 已知平面向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系判断选项；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项；根据向量夹角为锐角可得数量积大于，验证共线时的的取值，即可判断选项. 【详解】解：选项A，， ， 又，，， 解得，A正确； 选项B，，， ，解得，B正确； 选项C，在上的投影向量为，则，所以， 代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误； 选项D，与夹角为锐角，，解得， 若与共线，则，解得， 而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确. 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 又，、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数定义求出，然后利用二倍角公式可得. 【详解】由题可得，所以. 13. 将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由图象的平移变换可得到的表达式，结合其对称轴，即可求得的表达式，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以， 函数的图像关于直线对称，则， 解得，又，所以，. 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】第一空，利用余弦定理角化边，再化简计算即得；第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，由及余弦定理，得 ，因此； ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：3； 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数， （1）求函数的单调递减区间 （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数为正弦型标准式，再结合正弦函数单调递减区间解不等式得到的单调减区间； （2）先根据范围求出内层角范围，得到值域，再将绝对值恒成立不等式转化为关于的不等式组，解出的取值范围. 【小问1详解】 由，， 解得，， 故函数的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由得， 则， 所以． 由得在上恒成立， 所以 解得，即m的取值范围是． 16. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【答案】（1） 在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 平面. （2） 7∶17 【解析】 【分析】（1）由正方体的性质及线面平行的判定定理可得； （2）利用平面基本事实3，作出与的交点可得平面和底面ABCD的交线，求出正方体被平面分得的三棱台的体积，根据正方体的体积，求得另一部分的体积，即可得两部分体积比. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方形中，直线与直线相交. 延长，交于点，连接， ，平面，则平面. ，平面，平面. 平面平面，则平面和底面ABCD的交线为， 设，则如图平面和底面ABCD的交线为， 连接，则为平面和平面的交线. 由为的中点，得为的中点，. 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台. 解法一：设正方体的棱长为2. . 另一部分几何体的体积为. 两部分的体积比为7∶17. 解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 所以. 另一部分几何体的体积为， 两部分的体积比为7∶17. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求． （2）若，且 边上的中线长为，求的面积． （3）若角的平分线长为，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）在中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解； （3）由，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理，又， 代入可得： ， 又，故 【小问2详解】 记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 化简可得：，解得或（舍）， 所以. 【小问3详解】 设角平分线交于，， 由得：  ， 化简得 ，由基本不等式得， 解得： ，当且仅当 时等号成立， 故面积最小值. 18. 如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面平面 （3）设是中点，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）法一：取中点H，连接HG，HF， ，H，F分别为，和中点． ，，，从而， 平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC， 平面ABC，平面ABC，平面HGF，平面HGF， 与HF在平面HGF内且相交，平面平面ABC， 平面HGF，平面. 法二：连接， 为中点，为中点，为中点，， 平面ABC，平面ABC，平面ABC． （2）在直棱柱中，平面ABC， 平面ABC，， 不妨设，，，， ，， 又与在平面内且相交，平面， 平面，平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）法一：取中点H，连接，，利用线面平行的判定定理证得平面，平面，进而利用面面平行的判定定理得平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明即可； 法二：连接，根据中位线的性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用棱柱性质得，根据勾股定理得，进而利用线面垂直的性质定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）连接，，利用线面角的定义得即为所求的线面角，在直角三角形中求解正弦值即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接MB，， 平面ABC，直线BM为直线在平面ABC内的射影， 是与平面ABC所成的角， 在中，， ， 故． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. （1）若，，求C； （2）求证：； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） ， 当且仅当时等号成立； 因为，所以 此时，当且仅当是等边三角形时等号成立 则，即. （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式结合题意可得，据此可得答案； （2）由基本不等式，三角函数值域，利用作差法可完成证明； （3）由结合正弦定理和余弦定理可得，然后由（2）中结论可得答案. 【小问1详解】 由， ，联立得 则，因为，， 所以，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 所以. 当且仅当是等边三角形时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连市2025~2026学年度下学期期末考试 高一数学 考试时间：（120分钟满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1. （ ）． A. B. C. D. 2. 已知复数（其中i为虚数单位），则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 3. 设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 4. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. 13 B. C. 11 D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 8. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________． 13. 将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数， （1）求函数的单调递减区间 （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 16. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求． （2）若，且 边上的中线长为，求的面积． （3）若角的平分线长为，求的面积的最小值． 18. 如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面平面 （3）设是中点，求直线与平面所成角的正弦值 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. （1）若，，求C； （2）求证：； （3）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $