北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高一数学试卷

2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学 2026．07 考生须知 1．答题前、考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码. 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚. 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效. 4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若平面向量与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 某中学合唱比赛中，位评委对某班级的评分分别为、、、、、、，称这些评分为原始评分，将原始评分去掉一个最高分和一个最低分后所得评分称为有效评分，则下列有效评分的特征量和原始评分的特征量保持不变的是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数 4. 掷一枚质地均匀的骰子，观察正面向上的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为的倍数”，则与的关系为（ ） A. 相等 B. 相互独立 C. 互斥 D. 互为对立 5. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知棱长为的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 正棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面 B. 棱台的侧棱所在直线交于一点，侧面都是等腰梯形 C. 底面直径与母线长相等的圆柱，其侧面积等于其表面积的一半 D. 底面半径为1，高为3的圆锥，其侧面积为 8. 为倡导低碳绿色出行方式，以点滴文明举动助力丰台区文明城区建设，某校举行“文明出行，绿色通勤”打卡活动．在活动期间，随机抽取了100名学生，统计他们的日均通勤时长（单位：分钟），并将所得的数据按照、、、、分组，得到如图所示的频率分布直方图（假设每个组内的数据在组内均匀分布）：若该校共有名学生，用样本估计总体，则下列说法正确的是（ ） A. 该校日均通勤时长在分钟以内的学生数超过 B. 该校日均通勤时长不少于分钟的学生数约为 C. 该校学生日均通勤时长的平均数大于中位数 D. 该校学生日均通勤时长的第百分位数约为 9. 丽泽SOHO大厦（以下简称“大厦”）是位于北京市丰台区丽泽金融商务区的超高层国际5A级写字楼，总建筑面积17万平方米，钢结构用量达1.83万吨（相当于2.5个埃菲尔铁塔）．某校一项目学习小组开展数学建模活动，测量大厦的高度．为不妨碍道路交通，选取与大厦底部B在同一水平面内的两个观测点C，D．测得，，，在观测点C处测得大厦顶部A的仰角为，则大厦的高约为（ ） （参考数据：，） A. 147m B. 207m C. 254m D. 293m 10. 在直三棱柱中，，，点M在三棱柱的表面上运动，且满足、则下列结论错误的是（ ） A. 点M可以是线段BC的中点 B. 点M的轨迹长度为 C. 存在点M，使得点B到平面的距离为 D. 任意点平面，都有平面 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 某旅游景区为调查游客满意度，按青年、中年、老年分层，通过分层随机抽样的方法，抽取样本，得到各年龄段占比如图所示．若样本中的老年人人数为，则样本中的青年人人数为______． 12. 若复数满足，则______． 13. 如图1，底面水平放置的透明直三棱柱容器内有一些水，已知，，，水深为．若固定该容器底面一边于水平面，再将该容器倾斜，当倾斜到如图2所示位置时（水面形状恰好为），则直三棱柱容器的高为______． 14. 如图，正方体的棱长为，经过直线的平面与棱、分别交于点、（、不重合），则直线与所成角的大小为______；当为棱中点时，直线与平面所成角的正弦值为______． 15. 如图，“六芒星”由两个中心重合于点O的正三角形AEI和CGK组成，且，，，，若动点P在“六芒星”的边界上（实线部分），给出下列结论： ①； ②在上的投影向量为； ③若，则； ④的取值范围是． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知平面向量，，． （1）求； （2）设与的夹角为，求的值； （3）若，求实数的值． 17. 如图，在三棱柱中，E，F分别为AC，的中点． （1）求证：∥平面； （2）若平面平面，，求证：． 18. 随着科技的不断发展，无人机技术越来越成熟，无人机配送已在全国多地实现常态化运营．某调查小组为了解某平台的无人机配送准点率（准点率），在、两个城市的不同区域进行抽样调查，所得数据如下表： 城市 城市 区域 配送单数 准点单数 区域 配送单数 准点单数 （1）从个样本区域中随机选择个，求该区域无人机配送准点率超过的概率； （2）从、两个城市的样本区域中各随机选取个，求这两个区域中至少有个区域无人机配送准点率超过的概率； （3）设城市个样本区域无人机配送准点率的方差为，城市个样本区域无人机配送准点率的方差为，两个城市个样本区域无人机配送准点率的方差为，试比较、、的大小．（结论不要求证明） 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． （1）求证：F是棱PD的中点； （2）求证：平面； （3）求点P到平面的距离． 21. 设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． （1）直接写出中的所有元素； （2）对于，若，求证：并直接写出，； （3）求，并写出中相应的所有元素． 2025～2026学年度第二学期期末练习 高一数学 2026．07 考生须知 1．答题前、考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码. 2．本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚. 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效. 4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①②④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明：取中点，连接， 因为，所以为的中位线，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 在三棱柱中，四边形为平行四边行，又，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面∥平面， 又平面，所以∥平面； （2）证明：因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面， 所以. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）选条件①（或条件③）时最长边上的高为，条件②不符合要求. 【20题答案】 【答案】（1）因为底面是菱形，所以， 而面，面，可得面， 又因为面，面面， 所以，因为E是棱PC的中点，所以F是棱PD的中点. （2）设，连接， 因为底面是菱形，所以O是AC的中点，， 因为E是棱PC的中点，所以. 因为平面，所以平面， 又面，可得， 因为，，面，所以平面. （3）. 【21题答案】 【答案】（1） （2）证明：因为均为正整数，且，所以 又所以 下面求和． 固定数组的项数，若其中两个数相差至少，把较小的数增加、较大的数减少，则各项之和不变，而乘积增大． 反复调整可知：固定时，乘积最大当且仅当各项之差不超过． 对于，分别比较不同项数下的最大乘积： 2 3 4 5 6 对应数值依次为． 当时，最优数组中的各项只能为或，故 因此取得最大值的数组为和． 对于 ，同理有 2 3 4 5 6 7 对应数值依次为 ． 当 时， 因此. （3）中相应的元素为和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $