10.2 实数 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕实数的概念、分类、与数轴的一一对应关系及运算展开，通过计算器将有理数转化为小数，发现有限与无限循环小数特征，引出无理数，搭建从有理数到实数的学习支架。 其亮点在于结合动手操作（剪拼正方形表示√2在数轴上的点）和分类讨论（两种实数分类方式），以几何直观和推理意识培养数学眼光与思维，如“做一做”验证√2、巩固练习区分有理数无理数，助力学生构建知识体系，教师可提升教学效率。

10.2 实数 22251 1 了解无理数、实数的概念以及实数的两种分类，并能判断一个数是有理数还是无理数. 理解实数与数轴上的点一一对应的关系，知道实数的相反数、绝对值、运算法则以及运算律. 能对实数进行大小比较和四则混合运算. 学习目标 22251 2 利用计算器，把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？ 发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数. 除了有限小数和无限循环小数，还有什么其它类型的小数吗？ 新课导入 22251 2. 利用平方运算验算第 1 题中所得的结果. 1. 用计算器求 . 用计算器求 ，显示结果为1.414213562.再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2.这是因为计算器求得的只是的近似值. 做一做 22251 用计算机计算 ，你会发现： 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835… 在数学上已经得知，没有一个有理数的平方等于 2，也就是说， 不是一个有理数. 新知讲解 22251 那么， 是怎样的数呢？ 我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，也就是有限小数或者无限循环小数，例如： 不是一个有理数，它是一个无限不循环小数. 类似地， 、圆周率π等，它们都是无限不循环小数. 新知讲解 22251 无限不循环的小数叫做无理数. 有理数和无理数统称为实数 常见的无理数的形式： ①开方开不尽的数，如 ， 等； ②π 及化简后含 π 的数，如 π、2π 等； ③有规律但不循环的无限小数，如 0.1010010001...(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)． 归纳 22251 实数的分类1： 实数 有理数 分数 整数 正整数 0 负整数 自然数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 有限小数及无限循环小数 无限不循环小数 （1）含π的数； （2）开方开不尽的数； （3）有规律但不循环的无限小数. 归纳 22251 实数的分类2： 实数 正实数 0 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 归纳 22251 1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 有理数集合 无理数集合 0.315 4.96 3.14159 -5.2323332… 123456789101112… 注意：对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简， 然后根据最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数． 巩固练习 22251 试一试 每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么有理数能不能将数轴排满？ 无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？ 你能在数轴上找到表示 的点吗？ 思考 22251 如图所示，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 . 即边长为1的正方形的对角线长是 .利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图所示. 发现：每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 22251 数轴上的每一个点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上的一个点来表示. 实数与数轴上的点一一对应. 能说＂有理数和数轴上的点一 一对应＂吗？为什么？ 不能．因为＂一一对应＂包含着两层含义： ① 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数． 22251 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.例如： 与 互为相反数 与 互为倒数 新知讲解 22251 3.下列说法是否正确？为什么？ (1)两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是一个无理数； (2)任意一个无理数的绝对值都是正数. 解：(1)不正确.如分数 ，是无限循环小数，是有理数. (2)正确. 2. 的相反数是 　，绝对值是 .　　　 巩固练习 22251 涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行. 试比较与 π 的大小. 解：用计算器求得 ≈3.14626437 而 π≈3.141592654， 因此＞π 例1 典例精析 22251 4.比较下列各对数的大小： (1) 和 ； (2) 和 . 解：(1)因为 而12＜18， 所以 (2)因为 ，而1.323＞1.047， 所以-1.323＜-1.047，即 巩固练习 22251 计算： （精确到0.01） 解： 于是 取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位. 例2 注：由于 ，所以 原式 由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算. 典例精析 22251 5.计算：(结果精确到0.01) 解：原式= = ≈ 1.414+0.333+6.284 = 8.031 ≈ 8.03 巩固练习 22251 实数 概念：有理数和无理数统称实数. 实数的分类： 实数与数轴上的点的关系：一一对应 实数的大小比较与运算 课堂小结 22251 1.判断下列的说法是否正确？ (1)实数不是有理数就是无理数. （ ） (2)无理数都是无限不循环小数. （ ） (3)无理数都是无限小数. （ ） (4)带根号的数都是无理数. （ ） (5)无理数一定都带根号. （ ） (6)两个无理数之积不一定是无理数. （ ） (7)两个无理数之和一定是无理数. （ ） √ √ √ × × √ × 随堂小练 ▷▷基础 22251 3.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 ． ˖ ˖ A B 2.在 -3， ，－3.14 ， 这四个实数中，最小的是（ ） A. -3 B. C. －3.14 D. D 2 -π -π 随堂小练 22251 4.比较 与 的大小. 解：因为 故 随堂小练 ▷▷提升 22251       = 1.14；     = 19.763 172 ≈ 19.76. 随堂小练 ▷▷提升 22251 $