3.2基本不等式第一课时课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式（√ab ≤ (a+b)/2）及其应用，通过赵爽弦图情境导入，从几何直观引出不等关系，衔接重要不等式（x²+y²≥2xy）到基本不等式的推导，结合自我诊断题和条件对比提醒，搭建知识递进的学习支架。 其亮点在于融合逻辑推理与数学建模，通过典型例题分层（理解、比较、证明）及母题探究变式训练，总结通性通法步骤。如用赵爽弦图渗透文化，证明题培养推理能力，助力学生提升逻辑思维与应用能力，为教师提供系统教学资源与分层训练素材。

3.2　基本不等式 新课程标准解读 核心素养 逻辑推理 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值 或最小值问题 数学建模 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 第一课时　基本不等式 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如图，是第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车. 【问题】　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　重要不等式与基本不等式 1. 重要不等式 对于任意实数 x 和 y ，有 ≥ xy ，当且仅当 时，等号 成立. x ＝ y 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 基本不等式 设 a ≥0， b ≥0，有 ≥ ，当且仅当 时，等 号成立. 其中， 称为 a ， b 的 ， 称为 a ， b 的几何 平均值. 基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数 的 平均值大于或等于它们的 平均值. a ＝ b 　 算术平均值　 算术　 几何　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　（1）不等式 a2＋ b2≥2 ab 与 ≥ 的比较：①两个不 等式 a2＋ b2≥2 ab 与 ≥ 成立的条件是不同的.前者要求 a ， b 是实数即可，而后者要求 a ≥0， b ≥0；②两个不等式 a2＋ b2≥2 ab 和 ≥ 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当 a ＝ b 时，等号成立”. （2）基本不等式的常见变形：① a ＋ b ≥2 ；② ab ≤ ≤ （其中 a ＞0， b ＞0，当且仅当 a ＝ b 时等号成立）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对于任意 a ， b ∈R， a2＋ b2≥2 ab . （　√　） （2） n ∈N＋时， n ＋ ＞2 . （　√　） （3） x ≠0时， x ＋ ≥2. （　×　） （4）若 a ＞0，则 a3＋ 的最小值为2 . （　×　） √ √ × × 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （多选）若 a ＞ b ＞0，则下列不等式成立的是（　　） A. ＞ ＜ C. ＞ 　 D. ＞ 解析：　由 a ＞ b ＞0，得 ＜ ，所以 ＜1，即 ＜ ，（ a ＋ b ）2＝ a2＋ b2＋2 ab ＞4 ab ，即 ＜ ，故选 项A、B、D均成立. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 若 x ＞0，则 y ＝ ＋ x 的最小值为 ⁠. 解析：∵ x ＞0， ＞0，∴ y ＝ x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝2时，等号成立，故 ymin＝4. 4　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 对基本不等式的理解 【例1】　给出下面三个推导过程： ①∵ a ， b 为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2； ②∵ a ∈R， a ≠0，∴ ＋ a ≥2 ＝4； ③∵ x ， y ∈R， xy ＜0，∴ ＋ ＝－［（－ ）＋ ］≤－2 ＝－2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 其中正确的推导为（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 解析：　①∵ a ， b 为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式 的条件，故①的推导正确.②∵ a ∈R， a ≠0，不符合基本不等式的条 件，∴ ＋ a ≥2 ＝4是错误的.③由 xy ＜0，得 ， 均为负数， 但在推导过程中将整体 ＋ 提出负号后， ， 均变为正 数，符合基本不等式的条件，故③正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 不等式 a ＋1≥2 （ a ＞0）中等号成立的条件是（　C　） A. a ＝0 C. a ＝1 D. a ＝2 C 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 利用基本不等式比较大小 【例2】若 a ， b ∈R，则下列不等式恒成立的是（　　） A. ≥ ＋ ≥2 C. ≥（ ）2　 D. （ a ＋ b ）（ ＋ ）≥4 解析：　令 a ＝－2， b ＝2，则A、B、D均错误.对于C，∵ a2＋ b2≥2 ab ，∴2 a2＋2 b2≥ a2＋ b2＋2 ab ，∴2（ a2＋ b2）≥（ a ＋ b ） 2，∴ ≥（ ）2，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，故C正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 运用基本不等式比较大小的注意点 （1）要灵活运用基本不等式，特别注意其变形； （2）应注意成立的条件，即 a ＋ b ≥2 成立的条件是 a ≥0， b ≥0，等号成立的条件是 a ＝ b ； a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ， b ∈R，等号成立的条件是 a ＝ b . 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 若0＜ a ＜ b ，则下列不等式一定成立的是（　　） 解析：　∵0＜ a ＜ b ，∴2 b ＞ a ＋ b ，∴ b ＞ ＞ .又∵ b ＞ a ＞0，∴ ab ＞ a2，∴ ＞ a .故 b ＞ ＞ ＞ a . 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 应用基本不等式证明不等式 【例3】　已知 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝1.求证： ≥8. 目录 数学·必修第一册（BSD） 证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝1， 所以 －1＝ ＝ ≥ ， 同理 －1≥ ， －1≥ . 上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘， 得 ≥ · · ＝8. 当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时，等号成立. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变设问）在本例条件下，求证： ＋ ＋ ≥9. 证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝1， 所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝3＋ ＋ ＋ ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 时，等号成立. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件，变设问）本例条件变为“ a ＋ b ＝1， a ＞0， b ＞0，” 求证： ≥9. 证明：∵ a ＋ b ＝1， a ＞0， b ＞0，∴ ＝ ＝ ＝5＋2 ≥5＋4 ＝ 9，当且仅当 a ＝ b ＝ 时，等号成立. ∴ ≥9. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性 质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题， 其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意 使用；③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成 基本不等式模型再使用. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知 a ， b ， c 为正数，且满足 abc ＝1.证明： ＋ ＋ ≤ a2＋ b2＋ c2. 证明：因为 a2＋ b2≥2 ab ， b2＋ c2≥2 bc ， c2＋ a2≥2 ac ，又 abc ＝1， 故有 a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ca ＝ ＝ ＋ ＋ .当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝1时，等号成立. 所以 ＋ ＋ ≤ a2＋ b2＋ c2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 下列不等式一定成立的是（　　） C. x2＋1≥2｜ x ｜（ x ∈R） 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　选项A中， x2＋ ≥ x ，当 x ＝ 时， x2＋ ＝ x ，故选项A 不正确；选项B中， sin x ＋ ≥2（ sin x ∈（0，1]）， sin x ＋ ≤－2（ sin x ∈[－1，0）），故选项B不正确；选项C中， x2－ 2｜ x ｜＋1＝（｜ x ｜－1）2≥0（ x ∈R），故选项C正确；选项D 中， ∈（0，1]（ x ∈R），故选项D不正确. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 下列不等式正确的是（　　） 解析：　∵ a2＞0，故 a2＋ ≥2成立. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. （多选）下列说法中正确的是（　　） A. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ≥0， b ≥0 B. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ， b ∈R 解析：　根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选 B、C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 下列不等式中，正确的是 （填序号）. ① a ＋ ≥4；② a2＋ b2≥4 ab ；③ ≥ ；④ x2＋ ≥2 . 解析： a ＜0，则 a ＋ ≥4不成立，故①错； a ＝1， b ＝1，则 a2＋ b2＜4 ab ，故②错； a ＝4， b ＝16，则 ＜ ，故③错；由基 本不等式可知④正确. ④　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $