4.1一元二次函数同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、能力提升、拓展探究三层设计，实现一元二次函数从概念理解到综合应用的递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|函数平移、对称轴、顶点坐标等单一概念|选择题（1-6）、填空题（7-9）聚焦定义辨析与基本运算，如平移变换（题1、3）| |提升层|图象性质、单调性、最值综合应用|解答题（10-13）结合图象分析，如单调性判断（题11）、区间最值（题12）| |拓展层|函数探究与创新问题|开放题（15-16）考查分类讨论与模型构建，如存在性问题（题16）培养推理能力|

4.1　一元二次函数 1.二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（　　） A.y＝2（x＋1）2＋2　 B.y＝2（x－1）2＋2 C.y＝2（x＋1）2－2　 D.y＝2（x－1）2－2 2.已知函数y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，并且函数的图象经过点A（－1，7），则a，b的值分别是（　　） A.2，4　 B.－2，4 C.2，－4　 D.－2，－4 3.将函数图象上的所有点向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到的函数解析式为y＝2x2＋7x＋4，则原函数的解析式为（　　） A.y＝2x2＋11x＋11　 B.y＝2x2＋3x＋7 C.y＝2x2＋3x＋1　 D.y＝2x2＋11x＋5 4.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0，其中正确的个数是（　　） A.0　 B.1 C.2　 D.3 5.（多选）若所求的一元二次函数图象与一元二次函数y＝2x2－4x－1有相同的顶点，则所求一元二次函数可以为（　　） A.y＝－x2＋2x＋4　 B.y＝－x2－2x－3 C.y＝－5x2＋10x－8　 D.y＝x2－2x－2 6.（多选）在平面直角坐标系中，对于一元二次函数y＝（x－2）2＋1，下列说法中正确的是（　　） A.y的最小值为1 B.图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2 C.当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D.它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 7.将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，则a＝　　　　，b＝　　　　，c＝　　　　. 8.已知x∈（－2，5），则y＝（2＋x）（5－x）的最大值为　　　　. 9.已知函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则实数t的值是　　　　. 10.已知一元二次函数y＝－（x＋1）2－1. （1）画出这个函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点； （2）抛物线y＝－x2经过怎样的变换可以得到抛物线y＝－（x＋1）2－1. 11.已知函数y＝ax2＋bx＋3，在（－∞，－1]上函数值y随自变量x的增大而增大，在[－1，＋∞）上函数值y随自变量x的增大而减小，则（　　） A.b＞0且a＜0　 B.b＝2a＜0 C.b＝2a＞0　 D.a，b的正负不定 12.已知抛物线y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为（　　） A.[2，＋∞）　 B.[0，2] C.[2，4]　 D.（－∞，4] 13.若函数y＝ax2＋2x－4的图象位于x轴下方，则实数a的取值范围是　　　　. 14.已知函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且＋＝.若该函数的图象是由y＝－3（x－1）2的图象向上平移k个单位长度得到的，求实数k的值，并写出此函数的解析式. 15.某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2｜x｜的图象和性质进行了探究，探究过程如下： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表： x … －3 － －2 －1 0 1 2 3 … y … 3 m －1 0 －1 0 3 … 其中，m＝　　　　； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分； （3）观察函数图象，写出一条性质：　　　　； （4）进一步探究函数图象发现： ①方程x2－2｜x｜＝0有　　　　个实数根； ②关于x的方程x2－2｜x｜＝a有4个实数根时，a的取值范围是　　　　. 16.是否存在实数a，使函数y＝x2－2ax＋a在区间[－1，1]上的取值范围为[－2，2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 4.1　一元二次函数 1.B　将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y＝2x2＋2的图象，再向右平移1个单位长度得函数y＝2（x－1）2＋2的图象，故选B. 2.C　由题意，可得⇒故选C. 3.C　可设原函数为y＝g（x），根据将y＝g（x）函数图象上的所有点向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到y＝2x2＋7x＋4的图象，那么将y＝2x2＋7x＋4函数的图象上所有点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度可得到y＝g（x）的图象，所以g（x）＝2（x－1）2＋7（x－1）＋4＋2，化简可得g（x）＝2x2＋3x＋1，故选C. 4.C　由图象可知开口向下，a＜0，所以①错误；图象与y轴交于正半轴，可知c＞0，所以②正确；图象与x轴有两个交点，可得b2－4ac＞0，所以③正确，所以正确的有2个，故选C. 5.CD　因为y＝2x2－4x－1＝2（x－1）2－3，y＝－x2＋2x＋4＝－（x－1）2＋5，y＝－x2－2x－3＝－（x＋1）2－2，y＝－5x2＋10x－8＝－5（x－1）2－3，y＝x2－2x－2＝（x－1）2－3，所以所求一元二次函数可以为选项C、D中的函数. 6.ABD　一元二次函数y＝（x－2）2＋1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x－2）2的图象，再向上平移1个单位长度得到y＝（x－2）2＋1的图象，故选项D的说法正确. 7.1　－6　6　解析：∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝（x－1）2，∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为（1，0）.根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点（1，0）平移至（3，－3）处.∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是（3，－3），即y＝（x－3）2－3＝x2－6x＋6，∴a＝1，b＝－6，c＝6. 8.　解析：由题意，函数y＝（2＋x）（5－x）图象开口向下，且对称轴为x＝＝，所以当x＝时，ymax＝（2＋）（5－）＝. 9.－4　解析：因为函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝16－4×（－1）×t＝0，得t＝－4. 10.解：（1）图象如图所示，抛物线y＝－（x＋1）2－1的开口向下、对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是（－1，－1）. （2）把抛物线y＝－x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线y＝－（x＋1）2－1. 11.B　由函数值的变化趋势，可知函数为一元二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴∴b＝2a＜0. 12.C　∵y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴当x＝2时，y取得最小值，最小值为－1；当y＝3时，有x2－4x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝4，∴当x＝0或4时，y＝3.又∵当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，∴2≤m≤4. 13.　解析：当a＝0时，函数y＝2x－4表示一条直线，不满足题意；当a≠0时，要使函数y＝ax2＋2x－4的图象位于x轴下方，则需满足a＜0且Δ＝22－4a×（－4）＜0，解得a＜－.综上，实数a的取值范围是. 14.解：由题意可知所求函数的解析式为y＝－3（x－1）2＋k，即y＝－3x2＋6x－3＋k. 由题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝. 又＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝， 所以4－＝，解得k＝， 所以该函数的解析式为y＝－3（x－1）2＋， 即y＝－3x2＋6x－. 15.（1）0　（2）见解析图　（3）当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）　（4）①3　②（－1，0） 解析：（1）x＝－2时，m＝（－2）2－2｜－2｜＝0. （2）图象如图所示. （3）由函数图象知：x＞1时，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称（答案不唯一）. （4）①由图知：图象与x轴有三个交点，所以方程x2－2｜x｜＝0有3个实数根. ②由函数图象知：关于x的方程x2－2｜x｜＝a有4个实数根时，a的取值范围是（－1，0）. 16.解：存在，理由如下：y＝x2－2ax＋a＝（x－a）2＋a－a2. 当a＜－1时，函数在 [－1，1]上y随x的增大而增大，∴解得a＝－1（舍去）； 当－1≤a≤0时，解得a＝－1； 当0＜a≤1时，a不存在； 当a＞1时，函数在[－1，1]上y随x的增大而减小， ∴a不存在； 综上可知存在实数a＝－1满足题意. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $