精品解析：广东汕头市潮阳区棉城中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期棉城中学高二级期末考试（数学试题） 2026.7 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 向量，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的通项公式为，则数列的公比是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 16 4. 函数的极小值点是（ ） A. 0 B. C. -1 D. 5. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 6. 过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 B. 若变量x，y具有线性相关关系，且，，其经验回归方程为，则实数的值是 C. 若，，，则事件与事件相互独立 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 8. 牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ） A. 1.438 B. 1.417 C. 1.416 D. 1.375 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为 B. 与的等比中项为 C. D. 当取得最大值时，或6 10. 某高中打算采购一批教室挂钟，现有甲、乙两种品牌的挂钟，已知甲乙使用一年后它们的走时误差分别为X和Y（单位：秒），其分布列如下，则下列选项正确的是（ ） 甲品牌的走时误差分布列 x 0 1 P 0.1 0.6 a 乙品牌的走时误差分布列 x 0 1 2 P 0.1 0.2 b 0.4 0.1 A. ， B. C. 若，则 D. 甲乙两种品牌中乙的质量更稳定 11. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则z的虚部为____. 13. 某学校组织趣味运动会，一共设置了4个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从4个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为X，则X的所有可能取值为________，数学期望_________. 14. 已知函数（）在区间上恰有两个零点和两个最大值点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角A的大小： （2）设的面积为，外接圆的面积为，求. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间与极值； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 17. 体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校200名学生，得到的统计数据如下表所示： 喜欢室外运动项目 喜欢室内运动项目 合计 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （1）试根据的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联？ （2）用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室外运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差； （3）小明每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为.已知小明第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率. 附：，. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点. （1）证明：； （2）若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 19. （本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期棉城中学高二级期末考试（数学试题） 2026.7 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 所以， 所以 2. 向量，下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，由向量平行、垂直的充要条件逐一验算各个选项即可. 【详解】对于A，因为，所以不成立，故A错误； 对于B，因为，所以不成立，故B错误； 对于C，因为，且，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D． 3. 已知数列的通项公式为，则数列的公比是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列公比的定义即可得出答案. 【详解】已知，则数列的公比为，故C正确. 4. 函数的极小值点是（ ） A. 0 B. C. -1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的导数，令，解得， 当，，函数单调递减； 当，，函数单调递增. 故函数的极小值点为. 5. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 6. 过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】过点且倾斜角为的直线，即． ∵圆，即， ∴圆心坐标为，圆心到直线l的距离， ∴直线被圆截得的弦长. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 B. 若变量x，y具有线性相关关系，且，，其经验回归方程为，则实数的值是 C. 若，，，则事件与事件相互独立 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则、经验回归方程的性质、事件独立的判定条件、正态分布的对称性逐项分析判断即可. 【详解】对于A，该组数据共10个，，为整数，则第80百分位数为排序后第8项与第9项数据的平均值，即，A错误. 对于B：经验回归直线必过样本中心点， 将，代入回归方程，得，解得，B正确. 对于C：由条件概率公式可得， 又，满足，故事件A与B相互独立，C正确. 对于D：随机变量，正态曲线关于对称，故， 因此，故D正确. 8. 牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ） A. 1.438 B. 1.417 C. 1.416 D. 1.375 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义按照牛顿迭代法依次计算作答. 【详解】由，求导得，而，则，又， 于是函数的图象在横坐标为的点处的切线方程为， 令，得，则，， 因此函数的图象在横坐标为的点处的切线方程为，令，得， 所以约为1.417. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为 B. 与的等比中项为 C. D. 当取得最大值时，或6 【答案】ACD 【解析】 【详解】A.设等差数列的公差为，由，得 解得，A正确； B.∵，，∴与的等比中项为， 而，B错误； C.由等差数列求和公式得，C正确； D.∵，,对称轴为，开口向下，∴当取得 最大值时，或6，D正确. 10. 某高中打算采购一批教室挂钟，现有甲、乙两种品牌的挂钟，已知甲乙使用一年后它们的走时误差分别为X和Y（单位：秒），其分布列如下，则下列选项正确的是（ ） 甲品牌的走时误差分布列 x 0 1 P 0.1 0.6 a 乙品牌的走时误差分布列 x 0 1 2 P 0.1 0.2 b 0.4 0.1 A. ， B. C. 若，则 D. 甲乙两种品牌中乙的质量更稳定 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据分布列概率和为的性质求出的值；再分别计算的期望判断选项B；接着计算，结合方差的性质计算判断选项C；最后计算，通过比较方差大小判断稳定性． 【详解】对于A，由分布列所有概率之和为， 对甲的分布列：，解得， 对乙的分布列：，解得，A正确； 对于B，， ， 所以，B正确； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，， 所以，即甲乙两种品牌中甲的质量更稳定，D错误． 11. 函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导可得，分类讨论的取值情况，得出函数对应的单调性，结合选项即可求解. 【详解】因为，所以． 当时，，可能是A中的图象； 当时，恒成立， 所以在上单调递增，可能是B中的图象； 当时，令，得或，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 可能是C中的图象，但不可能是D中的图象． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则z的虚部为____. 【答案】 【解析】 【详解】设复数，则， 所以，解得即z的虚部为． 13. 某学校组织趣味运动会，一共设置了4个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从4个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为X，则X的所有可能取值为________，数学期望_________. 【答案】 ①. 0，1 ②. 【解析】 【详解】由题意得X的取值可能为0，1．依题意可知服从超几何分布， 则，， 故． 14. 已知函数（）在区间上恰有两个零点和两个最大值点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角与辅助角公式将函数化为正弦型，换元后根据零点与最大值点分别对应正弦取与，按给定区间内恰有两次出现建立端点的限制不等式，取交集得参数范围. 【详解】利用二倍角公式和辅助角公式化简得 ， 当，时，令，则. 题目要求恰有两个零点，恰有两个最大值点. 零点满足，即，的解为， 要恰有2个解，需，解得. 最大值点满足，的解为， 要恰有2个解，需，解得. 两个范围的交集为，即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求角A的大小： （2）设的面积为，外接圆的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由余弦定理得, 又，∴. 【小问2详解】 ∵的面积为， 则， 又外接圆的面积为，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即， 则，. 16. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间与极值； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，当时，求出函数的导函数，判断导函数的符号，推出函数的单调区间和极值即可. （2）由题意得到在上恒成立，分离参数后，构造，，求出最值，可得答案. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， 而，令，可得，令，可得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由题意得，， 因为在上单调递增，则在上恒成立， 即，故在上恒成立， 设，．在上恒成立， 故在单调递减， 所以在区间上，， 所以，故实数的取值范围是. 17. 体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校200名学生，得到的统计数据如下表所示： 喜欢室外运动项目 喜欢室内运动项目 合计 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （1）试根据的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联？ （2）用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室外运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差； （3）小明每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为.已知小明第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率. 附：，. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能认为该学校学生喜欢室内外运动项目与性别有关联 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）计算统计量与对应的临界值比较，判断是否拒绝原假设； （2）确定服从二项分布，代入二项分布的期望、方差公式求解； （3）分第二天选择室内、室外两类情况，用全概率公式计算第三天选择室内的概率. 【小问1详解】 假设：该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别无关联. 由列联表得，，，，， 代入卡方公式：， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为喜欢室内外运动项目与性别有关联. 【小问2详解】 用频率估计概率，该校学生喜欢室外运动项目的概率， 抽取10名学生中喜欢室外运动的人数服从二项分布. 由二项分布期望公式得：； 由二项分布方差公式得：. 【小问3详解】 设事件为“小明第二天选择室内运动”，则为“小明第二天选择室外运动”，设事件为“小明第三天选择室内运动”. 由题意得，，，. 由全概率公式：， 故小明第三天选择室内运动的概率为. 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点. （1）证明：； （2）若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）如图，取的中点，连接、. 因为是正三角形，为中点，所以； 因为是等腰直角三角形，，为中点，所以. 又，平面，故平面. 因为平面，所以. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）取 中点 ，由正三角形和等腰直角三角形的性质得 、，从而 平面 ，故 ； （2）① 由垂直关系得外接球球心为中点，用等体积法分别求到平面 的距离和到平面的距离，球心到平面的距离为后者的一半； ② 建立空间直角坐标系，由垂直关系确定坐标，分别求两平面法向量，用夹角公式得二面角余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①当 时，由 ，则 ， 取的中点 ，连接 . 故到四点的距离相等，故为三棱锥 外接球的球心， 因为，故 ， 设到平面 的距离为，到平面 的距离为， 由等体积法可得 而，由于 ，故. 所以， 从而，故到平面 的距离为. ②由①知 ，且 . 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，设. 由，即，得；由，即，得 ； 又 ，故，所以. 平面中，， 其法向量满足，可取； 平面 中，， 其法向量满足，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. （本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A,B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图6所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间． 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【详解】解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为， 当时，由题意知. 当时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上.此时短半轴长.因而其方程为. 故考察区域边界曲线（如图）的方程为 . （Ⅱ）设过点的直线为，过点的直线为， 则直线，的方程分别为. 设直线平行于直线，其方程为 则 或 当时直线与的公共点到直线的距离最近， 此时直线的程为，与之间的距离为. 又直线到和的最短距离，而，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3. 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为年，则由题设及等比数列求和公式， 得，所以. 故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $