1.3勾股定理的应用 练习题 2026-2027学年北师版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，通过基础情境、综合应用、拓展探究三层设计，实现从公式直接计算到实际问题建模的进阶，培养几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-5、填空11-13）|勾股定理直接计算|如探宝路径、折竹问题等生活情境，巩固公式应用| |提升层（选择6-8、填空14-15、解答16-18）|方向角与立体展开|如东北-东南方向距离、长方体表面最短路径，发展空间观念| |拓展层（选择9-10、解答19-23）|动态与综合建模|如动点等腰三角形、台风影响时间，提升推理能力与模型意识|

勾股定理的应用 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，某人到岛上去探宝，从处登陆后先往北走，又往东走，再向北走，往西一拐，仅走就找到宝藏，则登陆点与宝藏埋藏点之间的距离是(    ) A. B. C. D. 2.如图，九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何意思是：一根竹子，原高一丈丈尺，折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为(    ) A. B. C. D. 3.如图，一艘轮船以海里时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 4.如图，由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树在折断前的高度不包括树根是(    ) A. B. C. D. 5.如图，原来从村到村，需要沿路绕过两地间的一片湖，在，间建好桥后，就可直接从村到村若，，那么，建好桥后从村到村比原来减少的路程为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行(    ) A. B. C. D. 8.如图，在底面周长约为的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方从点到点，为的中点，若石柱刻有雕龙部分的柱身高约，则雕龙在石柱上的长度至少为  (    ) A. B. C. D. 9.如图所示，有一个长、宽各，高为且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点要沿外表面爬到顶点，那么这只昆虫爬行的最短路程为  (    ) A. B. C. D. 10.如图，图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图现测得，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接即根据安全标准需满足，则该婴儿车          填“符合”或“不符合”安全标准． 12.如图，铁路和公路在点处交会，公路上点与点之间的距离为，与铁路的距离是若火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，则当火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是           13.如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，则小巷的宽度为           14.如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为          ． 15.如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，，按照此规律继续下去，则的值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长． 17.本小题分 如图，在一棵树的高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树的池塘，而另一只则爬到树顶后直扑池塘如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高 18.本小题分 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，求的值． 19.本小题分 某工厂的大门如图所示，其中四边形是长方形，上部是以为直径的半圆，其中米，米，现有一辆装满货物的卡车，高米，宽米，这辆卡车能否通过厂门？请说明理由． 20.本小题分 年，第号台风“贝碧嘉”月日登陆后的影响还在持续，第号台风“普拉桑”和第号台风“苏力”又于日登陆市接到台风警报时，台风中心位于距离市的处即，正以的速度沿直线方向移动已知市到的距离． 请问台风中心从点移动到点经过多长时间 如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么市受到台风影响的时间是多长 21.本小题分 陕西省的地势南北高、中间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形某工程队现需穿过某座大山修一条隧道，如图，为了测量隧道的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点，在隧道的延长线上取了一点，测量得知，，，，请你求出隧道的长． 22.本小题分 剪纸面塑、年画风筝、中医问诊在某市“欢乐周末非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客、市民看花了眼、”迷”住了心小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：如图，先测得放飞点与风筝的水平距离为，根据手中余线长度，计算出的长度为，牵线放风筝的手到地面的距离为 已知点，，，在同一平面内． 求风筝离地面的垂直高度 在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，能否成功请说明理由． 23.本小题分 如图，滑竿在机械槽内运动，为直角已知滑竿长，顶端在上运动，量得滑竿下端距点的距离为当端点向右移动时，滑竿顶端下滑了多少米 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】【分析】 东北方向和东南方向的夹角刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【解答】 解： 在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地， ， ， ，， ． 故选B． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】符合  【解析】略 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论． 【解答】 解：如图所示，在中， ，，， ． 在中， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为． 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】  【解析】略 17.【答案】解：由题意知，设，则树高由题意知，，在中，，由勾股定理，得，即，解得．答：这棵树有高．  【解析】略 18.【答案】解：在中，， 由勾股定理，得，． 当时，， ，，； 当时，，； 当时，设， 在中，由勾股定理，得， ，，． 综上所述，的值为或或．   【解析】略 19.【答案】解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：  如图，设点为半圆的圆心，在上取一点，使，过点作，交半圆于点，交于点，连接，则为半圆的半径．  因为直径， 所以半径，  所以在中，，则  根据题意易得，  所以米米．  所以这辆卡车能通过厂门．  【解析】略 20.【答案】【小题】 在中，，，，，，即台风中心从点移动到点需要 【小题】 以点为圆心，为半径画弧，交于，两点，则市在台风中心到达点开始受到影响，离开点恰好不受影响如图．，，在中，，，由勾股定理，得，，．，市受到台风影响的时间为   【解析】 略  略 21.【答案】解：，C.，，，．，，，答：隧道的长为．  【解析】略 22.【答案】【小题】   【小题】 不能成功理由略   【解析】 略  略 23.【答案】解：由题意，得，，，． 在中，由勾股定理，得，．，． 在中，由勾股定理，得，，，答：滑竿顶端下滑了   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $