精品解析：辽宁辽阳市2025-2026学年高一下学期7月学情评估数学试题

辽阳市2025—2026（下）高一学情评估试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】，所以所在的象限为第二象限． 2. 若复数满足，则复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系，结合充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】已知，若，则， 所以“”可以推出“”； 已知，若，则， 所以“”不能推出“”； 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，，则，可能平行、相交或异面，故A错误： 对于B，若，则与可能相交或平行，故B错误； 对于C，若，则与无公共点，又，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，由，，可得，又，可得，故D正确． 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】，， ， 又，， ，A正确. 6. 在中，，，边，的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求角，再根据余弦定理求边. 【详解】已知，则．由，得，解得． 由余弦定理：，． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式求解即可. 【详解】. 8. 已知正三棱台，上底面正三角形边长为2，下底面正三角形边长为8，侧棱长为，则此三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用侧棱长求出棱台的高，然后利用棱台的体积公式求解即可. 【详解】在正三棱台中，设上底面中心为，下底面中心为，连接，， 过作交于, 因为，，则， ，， 又易知平面，所以平面， 又易得，所以，则， 在直角三角形中，， 则，即棱台的高. 故， 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A.由余弦定理得，所以，A正确； B.因为，且，所以，B错误： C.由正弦定理得，C正确; D.，D正确． 10. 关于函数的叙述中，正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【详解】A. ， 则的最小正周期为，A正确; B.当时，，又在 上为增函数，所以在区间内单调递增，B正确； C.当时，，此时， 即的图象关于点对称，C错误； D.， 令，则， 故是偶函数，D正确. 11. 在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则（ ） A. B. 与所成角为 C. 与平面所成角为 D. 与平面所成角的正切值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面得，结合正方形对角线，推出平面，从而，即可判断A；因，两直线所成角为，不为，即可判断B；由平面及可证平面，故与平面所成角为，即可判断C；取中点，证明平面，则线面角为，在直角三角形中计算正切值得，即可判断D． 【详解】因为平面，平面，所以． 因为四边形是正方形，所以，又，，平面SBD， 所以平面SBD，又平面，所以，故选项A正确，选项B错误； 因为平面，平面，所以． 因为四边形是正方形，所以，又，，平面，所以平面，所以与平面所成角为，因为四边形是正方形，所以，选项C正确； 如图，取中点，连接，，因为平面，平面，所以． 因为四边形是正方形，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以． 因为，所以，又，，平面，所以平面，所以与平面所成角为． 不妨设，所以，，在中，得，则，故选项D正确． 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 已知复数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法计算得到，然后利用模长公式求解即可. 【详解】由得， 所以． 13. 已知向量，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】，，． ． 14. 已知等边三角形的边长为2，，（），交于点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由得为的重心，再利用即可. 【详解】由，知此时为的重心，所以，分别是和的中点， 所以. 因为是边长为2的等边三角形，所以. 所以． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，，，． （1）求向量在上的投影的数量． （2）求向量与的夹角． （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用投影向量的公式求解即可； （2）求出，利用向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）由向量垂直公式即可求解. 【小问1详解】 向量在上的投影的数量为； 【小问2详解】 由，， 则， ， 所以， ， ； 【小问3详解】 由，，可得， 由（2）得， 所以，解得． 16. 在四棱锥中，平面，、分别为、中点，且，． （1）证明：、、、四点共面． （2）求直线与直线夹角正弦值． 【答案】（1）证明：因为面，面，面面，所以， 又因为，分别为，中点，则，所以，所以四点共面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行性质可证，即可得四点共面； （2）先通过平移将直线与直线放到一个三角形中去，再求直线与直线夹角的余弦值，最后由求正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，由（1）知， 则四边形为平行四边形，所以，． 因此直线与直线夹角即为与直线夹角， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 所以直线与直线夹角正弦值为. 17. 已知函数（），． （1）求的值． （2）求函数的对称中心． （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ， ， ，. 【小问2详解】 由得， 的对称中心是. 【小问3详解】 由得：， 解得：，的解集是. 18. 如图，在长方体中，，，为线段的中点． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）连接，交于， 因为是线段的中点，所以，所以 因为与均为直角三角形， 所以，即， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过相似三角形证明，结合线面垂直性质得到，利用线面垂直判定定理证得平面，进而推出. （2）依据二面角平面角定义锁定为所求平面角，借助相似三角形、勾股定理求出对应边长，再利用余弦定理计算平面角余弦值. （3）结合的结论，只需在上找点满足即可使平面，通过相似直角三角形对应边成比例求得线段比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，连接， 因为平面，平面，所以， 由（1）知，因为平面，平面， 故即为二面角的平面角， 因为，所以， 因为，，， 所以，即，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以，，所以，， 所以， 即二面角的余弦值为． 【小问3详解】 由（1）知，，因为平面，平面，所以， 故在中作斜边上的高，交线段于点，即有， 又因为，，平面，所以平面， 此时的点即为所求， 因为，故，即，故， 所以线段上存在点，此时 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，其面积为, 若 ． （1）求角的大小． （2）若． ①为锐角三角形，求面积的取值范围； ②的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理将题设等式化简，借助于特殊角的三角函数即得； （2）①由正弦定理将边表示成关于的三角函数，借助于三角形面积公式与三角恒等变换将面积表示成正弦型函数，根据角的范围与正弦函数的性质即可求其范围； ②由等面积求得，由（1）的结论，结合基本不等式与三角形边的关系推得，化简的表达式，利用对勾函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因的面积为，又， 由余弦定理，，则得， 代入上式得，，即， 又，所以； 【小问2详解】 ①由正弦定理得，，， 因是锐角三角形，则，解得， 所以 ， 由得，所以， 所以， 所以S的取值范围是； ②由. 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为，所以． ， 因为在上递增， 所以，即的最大值为3， 故线段长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽阳市2025—2026（下）高一学情评估试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若复数满足，则复数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 8 D. 12 6. 在中，，，边，的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台，上底面正三角形边长为2，下底面正三角形边长为8，侧棱长为，则此三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 关于函数的叙述中，正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 是偶函数 11. 在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则（ ） A. B. 与所成角为 C. 与平面所成角为 D. 与平面所成角的正切值为 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 已知复数，则________． 13. 已知向量，，若，则的值为________． 14. 已知等边三角形的边长为2，，（），交于点，且，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，，，． （1）求向量在上的投影的数量． （2）求向量与的夹角． （3）若，求实数的值． 16. 在四棱锥中，平面，、分别为、中点，且，． （1）证明：、、、四点共面． （2）求直线与直线夹角正弦值． 17. 已知函数（），． （1）求的值． （2）求函数的对称中心． （3）求不等式的解集． 18. 如图，在长方体中，，，为线段的中点． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在中，角，，所对的边分别为，，，其面积为, 若 ． （1）求角的大小． （2）若． ①为锐角三角形，求面积的取值范围； ②的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $