2026--2027学年北师大版九年级数学开学考试卷（陕西专版）

**基本信息** 立足开学检测，融合文化传承（如刺绣图案对称）与现实应用（新能源充电桩），梯度设计考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|图形对称、因式分解、分式性质|以刺绣图案考轴对称与中心对称，结合几何作图（角平分线）| |填空题|5/15|函数解集、旋转性质、等边三角形|原创一次函数图像题，考查数形结合思想| |解答题|13/81|方程不等式、几何证明、实际应用|27题中位线探究，通过剪切拼接培养空间观念；26题充电桩问题，体现模型意识与应用能力|

······· 2026年秋季九年级数学开学考试（陕西专版） 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1.中国刺绣是用针引线在织物上绣制图案的传统手工艺，古称“针绣”，“女红”．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．已知当x＝6时，分式无意义，则的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．0 D．2 4．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若的面积为6，则的面积是（    ）． A．10 B．1 C．12 D．13 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点M、N，若NC＝3，BC＝4，则AC的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在平行四边形中，点E为边的中点，将沿翻折，得到，连接并延长交于点G，若，平行四边形的面积为6，则的长为（　　） A． B．2 C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：______． 10．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 11．(原创)（3分）如图，直线y＝3x与直线y＝kx-b（k≠0）相交于点M（t，3），则关于x的不等式3x＞kx-b的解集是 　 　 ． 12．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 13．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为______． 三．解答题（共13小题，满分81分） 14.（5分）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 15．（5分）解方程： 16（5分）先化简：，再从﹣2≤x≤2中选一个适合的整数代入求值． 17．（5分）如图，在▱ABCD中，请利用尺规作图法在BC边上求作点E，连接AE，使得AE＝BE．（保留作图痕迹，不写作法） 、 18，（6分）在三角形ABC中，角A，角B，角C相邻的外角度数比是5:4:3，求三角形ABC的最大内角的度数为 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AF＝CE，AB＝CD．求证：BE＝DF． 20．（6分）某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本甲种笔记本需10元，购买一本乙种笔记本需5元，该班购买甲、乙两种笔记本共35本，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少本甲种笔记本？ 21．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣2）、C（3，﹣3）． （1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标． 22．（7分）如图所示，在△ABC中，D是边AB上一点，AD＝AC，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F是BC上一点，连接DF，CD，AF，且DC平分∠EDF，求证：AF垂直平分CD． 23．（7分）已知：如图，在中，平分，，垂足为D，点G是的中点．若，，则长为多少？ 24．（7分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接CE、BD交于点F． （1）求证：BD＝CE； （2）当四边形ABFE是平行四边形，且AB＝2，∠BAC＝30°时，求CF的长． 25．（8分）如图，在中，，于点D，点F在线段AD上，连接BF，，点E在BF上，连接DE，． (1) 求证：； (2)若，，求EF的长 26．（8分）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量。 27．（12分）知识回顾：（1）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，如图1，点，分别为边，的中点，则线段称为的中位线，则与的位置关系是 　　；与的数量关系是 　　． 方法探究：（2）请将图2中的三角形通过剪切拼接成一个与之面积相等的平行四边形，若要求只有一条剪切线，请画出剪切线及剪拼成的平行四边形，并说明拼接方法． 问题解决：（3）如图3，有一块空地和水井，李大爷计划利用该空地和水井修建一片菜地，其中点为的中点，，，，．为灌溉方便，李大爷想在水井处修建一条水渠为线段，且在上），且水渠两边的菜地面积相等，已知修建该水渠的费用为60元，请你帮助李大爷计算修建这条水渠所需的总费用． 2026年秋季九年级数学开学考试（陕西专版）答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C D C B C C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．0（答案不唯一） 10．44 11．x＞1 12．30 13．12 三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（5分）解：解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得x≤5， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤5． 16．（5分）【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 17．（5分）解：如图，点E即为所求． ·18．（6分）解：由题意可设相邻外角的度数为，相邻外角的度数为，相邻外角的度数为，则有：， ............2分 解得：， .....................3分 ∴相邻外角的度数为，相邻外角的度数为，相邻外角的度数为， .....................4分 ∴的最大内角的度数为． .....................5分 19．（6分）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△ABE和△CDF都是直角三角形， ∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE＝DF． 20．（5分）【答案】25本 【详解】解：设购买本甲种笔记本，则购买本乙种笔记本，····································1分 由题意得：，····································4分 解得：， 答：至多购买25本甲种笔记本．····································5分 21．（6分）（1）如图，△A1B1C1 为所作； （2） 如图，△A2B2C2 为所作，点A的对应点A2 的坐标为（﹣2，1） 22.证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠CDE＝∠DCF（两直线平行，内错角相等）， ∵DC平分∠EDF， ∴∠CDF＝∠CDE∠EDF， ∴∠CDF＝∠DCF（等量代换）， ∴DF＝CF（等角对等边）， ∴点F在线段CD的垂直平分线上， ∵AD＝AC， ∴点A在线段CD的垂直平分线上， ∴AF垂直平分CD． 23．（7分）【答案】9 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ，····································1分 在和中 ， ，····································3分 ， 又点是中点， 是的中位线，····································5分 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴．····································7分 24．（7分）【1）证明：在等腰△ABC中，AB＝AC， 由旋转的性质得：△ABC≌△ADE， ∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：过A作AH⊥CE于H，如图所示： 在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°， 由（1）可知：AC＝AE， ∴CH＝EHCE， ∴CE＝2CH， ∵四边形ABFE是平行四边形， ∴EF∥AB，EF＝AB＝2， ∴∠ACH＝∠BAC＝30°， 在Rt△ACH中，AHAC＝1， 由勾股定理得：CH， ∴CE＝2CH， ∴CF＝CE﹣EF． 25.（8分）【答案】9 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 26．（8分）【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【详解】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， (元/个)， ∴单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解∶单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)，···· 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了， 则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过35500元， ∴， 解得， ∴a的最小值为4， 则政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 27．（12分）【答案】（1） ，；（2）见解析；（3）元 【详解】解：（1）点，分别为边，的中点， 为的中位线， ，； 故答案为： ，； （2）如图，取的中点，的中点，连接，延长至，使， 点，分别为边，的中点， 为的中位线， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 取的中点，的中点，以为剪切线将三角形裁剪，将绕点顺时针旋转至点与点重合，则四边形为拼成的平行四边形； （3）取的中点，连接，作交于点，交于点，过点作于点，过点作于点， ， 四边形为梯形， 由梯形的面积公式可知，， ，， 四边形，四边形为平行四边形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， 点为的中点， 为的中位线， ，， ， 在中，， 修建该水渠的费用为60元， 修建这条水渠所需的总费用为（元． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $