第六十讲向量中的隐圆 导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了向量中的隐圆专题，将极化恒等式积型、和型、定幂方和型、向量模约束型四类核心考点按代数结构与几何轨迹的内在联系构建知识网络，通过问题链设计引导学生自主推导轨迹方程，形成从识别模型到确定圆心半径的完整认知框架。 亮点在于诊断性例题与分层训练结合，开篇设置覆盖四类隐圆的典型例题，学生可自主诊断结构识别薄弱点，培养数学思维中的推理能力与数学语言中的模型观念。每个题型配有配方变形步骤指导和反思总结表，帮助学生建立个性化解题策略，教师可通过学生错题分布精准指导，实现因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第六十讲 向量中的隐圆 【学习目标】1.掌握四类向量隐圆：极化恒等式和型、极化恒等式积型、定幂方和型、向量模约束型隐圆的代数结构与几何轨迹。 2.熟练运用极化恒等式完成向量数量积、模长平方等式与圆方程的互化，快速确定圆心、半径。 【学习重点】1.四类隐圆标准结构识别，准确写出圆心、半径； 2.极化恒等式和型、积型的公式变形与轨迹推导； 【学习难点】1.区分结构相似的和型、积型、加权平方和隐圆； 2.题目条件经过移项、配方变形后还原标准模型；结合隐圆分析最值取等条件。 必掌握知识点： 1．向量极化恒等式推出的隐圆 乘积型： 定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆 证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆． 2．极化恒等式和型： 定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆． 3．定幂方和型 若为定点，，则的轨迹为圆． 证明： ． 4．与向量模相关构成隐圆，坐标法应用 题型一：极化恒等式・积型隐圆（） 特征：两点定点，动点与定点数量积为定值，轨迹圆，中点为圆心。 1.设，，动点满足，求的轨迹方程。 解：中点， 代入：，无轨迹； 变式：，则，，轨迹为以原点为圆心，的圆。 2．已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先建立平面直角坐标系且，，，进而确定的轨迹圆，再利用向量数量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可. 【详解】如下图构建平面直角坐标系，且，，， 所以在以为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为， 而，故， 综上，只需求出定点与圆上点距离平方的范围即可， 而圆心与的距离，故定点与圆上点的距离范围为，所以.故选：B 3.已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______. 【答案】/ 【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形， 设的中点为S，连接，则， 所以， 又为直角三角形，所以，故①， 设，则由①可得， 整理得：， 从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内部，所以， 因为，所以 ； 解法2：如图，因为,所以， 故四边形为矩形，由矩形性质，， 所以，从而，故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内，所以.故答案为： . 题型二：极化恒等式・和型隐圆（） 4．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.设，则，所以，所以点M的轨迹是一个圆D, 由题得圆C和圆D相交或相切，所以，所以. 故选：B 题型三：定幂加权平方和隐圆（） 5.已知，，动点满足，求的轨迹方程 解：展开： ，的轨迹方程为。 6．已知，，若圆上存在点，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，根据条件得点M在以为圆心，1为半径的圆上，从而将问题转化成圆与圆有交点，再利用圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设点，则， 化简得，即，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上， 又圆的圆心为，半径为， 由题有，即，整理得到，解得， 所以实数的取值范围为.故选：C. 7．已知平面向量，，，满足，，，若平面向量（且），则的最小值是______. 【答案】 【分析】利用建系的方法，假设，依据条件可得然后作出双曲线，表示出，即可得结果. 【详解】设，由题可知：， 如图，由 所以，又，所以 则 则， 所以 即，其中 如图 ，即 所以 当三点共线时，有 当且仅当时，取等号，则的最小值是，故答案为： 【点睛】本题考查向量的综合应用，关键在于平面直角坐标的建立以及得到向量的坐标满足双曲线的方程，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题. 题型四：向量模约束型隐圆（单模 、双模定值、轨迹圆） 8．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由，得到，代入圆方程即可求解. 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即.故选：B 9．（浙江省江浙皖高中（县中）发展共同体2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题）已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于两点，且满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，由题可得，从而可得点在圆上，直线与圆相交或相切，据此可得答案. 【详解】取的中点，因为，所以，所以，又，所以点在圆上， 又在直线上，所以直线与圆相交或相切， 所以直线到圆圆心距离小于等于5，又圆心坐标为. 则，所以.故选：A． 10．（广东省深圳外国语学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题）已知平面向量满足，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式可求得，由此可设，，，根据向量数量积坐标运算可化简所求为，根据三角函数最值可求得结果. 【详解】，，， 则可设，，， ， 则当，即时，取得最大值， 此时取得最大值.故选：D. 11．已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】不妨用坐标表示向量，，然后作，，由共线定理得点位置， 而，括号内利用向量模的几何意义求最小值． 【详解】因为，是平面内两个夹角为的单位向量，所以不妨设，， ，作平行四边形即为菱形，过作的平行线交轴于，交的延长线于， 设，则点在直线上，的延长线交于，则， 是菱形对角线的交点，则，， ，，， 设，则是关于直线的对称点， ，则，即，又， 所以， ，当且仅当共线时等号成立， 所以 的最小值是， 的最小值是，故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查求向量模的最小值问题，解题关键是平面直角坐标系中作出向量，，然后由向量的线性运算得出各点位置，然后利用向量模的几何意义，结合对称求得最小值． 巩固提升： 1.设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， ，即． 点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面． 若直线上存在点Q使得， 则PQ为圆的切线时最大， ，即． 圆心到直线的距离，或． 故选：C． 2．已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由推出，所以，如图，终点的轨迹是以为半径的圆，设，，，，所以表示的距离，显然当时最小，M的最大值为圆心到的距离加半径，即， 故选：A 3．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】如图，为直线上的任意一点， 过圆心作，连接，由， 可得， 由，当共线时取等号， 又是的中点，所以， 所以. 则此时，的最小值为. 故答案为： 4．设，为单位向量，则的最大值是________ 【答案】 【解析】依题意，为单位向量，设， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 5．（河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 极化恒等式：，公式推导：； 平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解. 【详解】（1）. 由极化恒等式可得：. （2）如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第六十讲 向量中的隐圆 【学习目标】1.掌握四类向量隐圆：极化恒等式和型、极化恒等式积型、定幂方和型、向量模约束型隐圆的代数结构与几何轨迹。 2.熟练运用极化恒等式完成向量数量积、模长平方等式与圆方程的互化，快速确定圆心、半径。 【学习重点】1.四类隐圆标准结构识别，准确写出圆心、半径； 2.极化恒等式和型、积型的公式变形与轨迹推导； 【学习难点】1.区分结构相似的和型、积型、加权平方和隐圆； 2.题目条件经过移项、配方变形后还原标准模型；结合隐圆分析最值取等条件。 必掌握知识点： 1．向量极化恒等式推出的隐圆 乘积型： 定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆 证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆． 2．极化恒等式和型： 定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆． 3．定幂方和型 若为定点，，则的轨迹为圆． 证明： ． 4．与向量模相关构成隐圆，坐标法应用 题型一：极化恒等式・积型隐圆（） 特征：两点定点，动点与定点数量积为定值，轨迹圆，中点为圆心。 1. 设，，动点满足，求的轨迹方程。 2．已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______. 题型二：极化恒等式・和型隐圆（） 4．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：定幂加权平方和隐圆（） 5.已知，，动点满足，求的轨迹方程。 6．已知，，若圆上存在点，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，，，满足，，，若平面向量（且），则的最小值是______. 题型四：向量模约束型隐圆（单模 、双模定值、轨迹圆） 8．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 9．（浙江省江浙皖高中（县中）发展共同体2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题）已知圆，直线．若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于两点，且满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（广东省深圳外国语学校2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题）已知平面向量满足，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．已知，是平面内两个夹角为的单位向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 巩固提升： 1.设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为 A． B． C． D． 3．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为__________. 4．设，为单位向量，则的最大值是________ 5．（河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 极化恒等式：，公式推导：； 平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $