精品解析：山西临汾市侯马市2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学试题

2025−2026学年第二学期期末考试八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，只提交答题卡，不提交试卷． 第Ⅰ卷　选择题（共30分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 矩形的四条边都相等 C. 菱形的四个内角都相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 3. 中国科学院理化技术研究所最新研发的微纳机器人，尺寸在微米（米）左右，比头发丝的直径还要小，却能像机械手一样完成抓取、运输和释放颗粒细胞的精密任务，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的良好习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的个队伍积分分别为，，，，，，则这组数据的下四分位数是（ ） A. B. C. D. 5. 根据以下尺规作图痕迹，在一个平行四边形内作出的四边形中，无法确定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③平分 D. ④ 8. 如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离（ ） A. 始终不变 B. 先变小再变大 C. 先变大再变小 D. 逐渐变小 9. 如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案写在答题卡的横线上） 11. 请写出一个随增大而增大的一次函数表达式_________． 12. 八年级某班投送的视频作品《数学与科技》在“视听吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如下表所示： 视频作品 视听吸引 启发思考 社会责任 《数学与科技》 如果按照“视听吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该《数学与科技》作品得分是______分． 13. “杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 14. 中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 15. 如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，，，则的长为______． 三．解答题（本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 18. A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题： （1）填空：甲的速度为___________； （2）分别求出与x之间的函数解析式； （3）求出点C的坐标，并写点C的实际意义． 19. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，为进一步加强安全教育工作，提升中小学生的安全防范意识和自我保护能力，某校开展安全知识竞赛，各班级以小组为单位组织初赛．八（1）班对本班甲，乙两组同学（每组人）的初赛成绩进行分析． 数据整理：将甲，乙两组同学的初赛成绩整理成如下的统计图． 数据分析：对这两组同学的初赛成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）请计算出乙组同学初赛成绩的方差； （3）八（1）班计划从甲，乙两组中选取一个小组去参加校级安全知识竞赛，你认为选取哪个小组参加比较合适？请结合上表中的两个统计量说明理由． 20. 年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）飞箭航模店计划购买两种模型共个，且每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． ①求与的函数关系式(不要求写出的取值范围)； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 阅读与思考 下面是小聪同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(，)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． 关系：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 关系：当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． 关系证明如下： 证明：如图，连结， ，分别为边，的中点， ，(依据)， 同理可得，，， ，， ∴四边形是平行四边形(依据)． 同理可得， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 任务： （1）填空：材料中的依据是指：_______________．依据是指：_______________． （2）如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，对角线，请证明上面关系中的瓦里尼翁四边形是菱形． （3）顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是_________． 22. 如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点． （1）求和的值； （2）若点在线段上，且，求点的坐标； （3）在平面直角坐标系中存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 23. 实践与探索 数学活动课上，老师带领同学们利用纸片开展活动． （1）如图1，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，请你判断四边形的形状，并说明理由； （2）【问题探索】如图2，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点在矩形纸片的内部，连接并延长，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在正方形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形纸片内，延长交于点，若，请直接写出线段的长_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年第二学期期末考试八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，只提交答题卡，不提交试卷． 第Ⅰ卷　选择题（共30分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义时分母不为，只需列式子求解即可． 【详解】解：∵分式有意义，分母不能等于， ∴， ∴． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 矩形的四条边都相等 C. 菱形的四个内角都相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．平行四边形不是轴对称图形，故A错误； B．矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误； C．菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误； D．正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确． 3. 中国科学院理化技术研究所最新研发的微纳机器人，尺寸在微米（米）左右，比头发丝的直径还要小，却能像机械手一样完成抓取、运输和释放颗粒细胞的精密任务，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确科学记数法的表示形式为，首先确定的取值范围是，由此得到的数值． 【详解】解：． 4. 为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的良好习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的个队伍积分分别为，，，，，，则这组数据的下四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据下四分位数定义进行求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，， 方法一：∵， ∴下四分位数为前三个数的中位数， ∴下四分位数为第2个数，即51； 方法二：∵， ∴下四分位数为排序后第2个数据，即51． 5. 根据以下尺规作图痕迹，在一个平行四边形内作出的四边形中，无法确定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定条件及尺规作图的条件分析判断即可； 【详解】A中由图可知，又因为，所以四边形是菱形，故A不符合题意； B中AC是BD的垂直平分线，再根据平行四边形的对称性可知AC与BD互相平分且垂直，可得出四边形是菱形，故B不符合题意； C中AB、CD是角平分线，得到，不能证明四边形是菱形，故C符合题意； D中做的是连接AC，分别作两个角与已知角，相等的角，即，，能得到，，再根据，可得到四边形是菱形，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，尺规作角平分线、垂直平分线，作一个角等于已知角，准确分析作图是解题的关键． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应y值后直接比较大小，即可得出结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标代入解析式，得，，， ∵， ∴． 7. 如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③平分 D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是平行四边形，则①处的条件正确，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则②处的条件正确，故此选项不符合题意； C、由角平分线的性质得到，有一组邻边相等的矩形是正方形，则③处的条件正确，故此选项不符合题意； D、菱形的邻边本就相等，则④处的条件错误，故此选项符合题意． 8. 如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离（ ） A. 始终不变 B. 先变小再变大 C. 先变大再变小 D. 逐渐变小 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，， 连接， ∵，为的中点， ∴， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化． 9. 如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解：点，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， 点的坐标是． 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案写在答题卡的横线上） 11. 请写出一个随增大而增大的一次函数表达式_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】在此解析式中，当x增大时，y也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写一个即可． 【详解】解：如，y随x的增大而增大． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题属于开放型试题，答案不唯一，考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键． 12. 八年级某班投送的视频作品《数学与科技》在“视听吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如下表所示： 视频作品 视听吸引 启发思考 社会责任 《数学与科技》 如果按照“视听吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该《数学与科技》作品得分是______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据各项成绩和对应权重，计算加权平均数即可得到总成绩． 【详解】解：由题意得，总成绩为 ． 所以该作品的得分为分． 13. “杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 14. 中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 【答案】14.4 【解析】 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，则，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵是菱形的高， ∴， ∴． 15. 如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过点作交于，交于，由平行四边形的性质和判定可得，，可得，即，再根据、的平分线、分别与相交点、，，得，，从而得到，由三线合一可得，，再根据勾股定理求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 即：， ， 平分， ，， ， ， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得：, ． 【点睛】作出，利用“角平分线+平行线得到相等线段”，再根据“三线合一”求出，是解决本题的关键． 三．解答题（本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： = =； 【小问2详解】 解： = = =． 17. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据定理证得即可得到结论． 【详解】证明：如图，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴和互相平分． 18. A，B两地相距，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题： （1）填空：甲的速度为___________； （2）分别求出与x之间的函数解析式； （3）求出点C的坐标，并写点C的实际意义． 【答案】（1）60 （2）， （3）点C的坐标为，点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地 【解析】 【分析】（1）观察图象，由甲先出发可知甲从A地到B地用了，路程除以时间即为速度； （2）利用待定系数法分别求解即可； （3）将与x之间的函数解析式联立，解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：观察图象，由甲先出发可知甲从A地到B地用了， ∵A，B两地相距， ∴甲的速度为， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：设与x之间的函数解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴与x之间的函数解析式为， 同理，设与x之间的函数解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴与x之间的函数解析式为； 【小问3详解】 解：将与x之间的函数解析式联立得， ， 解得， ∴点C的坐标为， 点C的实际意义为：甲出发时，乙追上甲，此时两人距A地． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及到求一次函数解析式，求直线交点坐标等知识点，读懂题意，从所给图象中找到相关信息是解题的关键． 19. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，为进一步加强安全教育工作，提升中小学生的安全防范意识和自我保护能力，某校开展安全知识竞赛，各班级以小组为单位组织初赛．八（1）班对本班甲，乙两组同学（每组人）的初赛成绩进行分析． 数据整理：将甲，乙两组同学的初赛成绩整理成如下的统计图． 数据分析：对这两组同学的初赛成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）请计算出乙组同学初赛成绩的方差； （3）八（1）班计划从甲，乙两组中选取一个小组去参加校级安全知识竞赛，你认为选取哪个小组参加比较合适？请结合上表中的两个统计量说明理由． 【答案】（1）85； 86； 80 （2）乙组同学初赛成绩的方差 （3）选择乙小组参加比较合适．理由如下： ①从平均数来看，甲组初赛成绩的平均数为85分，乙组初赛成绩的平均数为85分，两组初赛成绩的平均数相等； ②从中位数来看，甲组初赛成绩的中位数为83.5分，乙组初赛成绩的中位数为86分，乙组初赛成绩的中位数大于甲组初赛成绩的中位数； ③从众数来看，甲组初赛成绩的众数为80分，乙组初赛成绩的众数为87分，乙组初赛成绩的众数大于甲组初赛成绩的众数； ④从方差来看，甲组初赛成绩的方差为57.75，乙组初赛成绩的方差为11.5，乙组初赛成绩的方差小于甲组初赛成绩的方差，所以乙组初赛成绩更稳定； ∴根据表中的任意两个统计量都可以发现乙组初赛成绩更好，选择乙小组参加比较合适． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义，即可求解； （2）根据方差的定义列式计算即可； （3）根据四个统计量，说明理由即可． 【小问1详解】 解：甲组的平均数为：， 乙组数据从小到大排列为：80，81，82，85，87，87，88，90， 则乙组的中位数为：，乙组的众数为：87， ∴；；； 【小问2详解】 解：乙组同学初赛成绩的方差： ； 【小问3详解】 解：略 20. 年月日，神舟二十三号载人飞船成功发射，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低，同样花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）飞箭航模店计划购买两种模型共个，且每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元．设购买“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元． ①求与的函数关系式(不要求写出的取值范围)； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“神舟”模型成本为每个15元，“天宫”模型每个12元 （2）①；②购“神舟”模型25个时，销售这批模型可获得最大利润，最大利润为850元 【解析】 【分析】（1） 设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个元，根据“花费元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多个”列出方程求解即可； （2）①根据利润的计算公式列出解析式即可； ②先求出a的取值范围，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个元． 依题意得 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意， 当时，元 答：“神舟”模型成本为每个15元，“天宫”模型每个12元； 【小问2详解】 解：①设“神舟”模型a个，则“天宫”模型为个． ②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，解得：． ∵． ，随的增大而增大． ∴当时，(元) 答：购“神舟”模型25个时，销售这批模型可获得最大利润，最大利润为850元． 21. 阅读与思考 下面是小聪同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(，)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． 关系：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 关系：当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． 关系证明如下： 证明：如图，连结， ，分别为边，的中点， ，(依据)， 同理可得，，， ，， ∴四边形是平行四边形(依据)． 同理可得， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 任务： （1）填空：材料中的依据是指：_______________．依据是指：_______________． （2）如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，对角线，请证明上面关系中的瓦里尼翁四边形是菱形． （3）顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是_________． 【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2）证明：∵E，H分别为AB，AD的中点， ∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形是菱形． （3）且． 【解析】 【分析】（1）根据上下文判断依据即可； （2）利用中位线的性质定义判定四边形是平行四边形，继而通过证明邻边相等证明瓦里尼翁四边形是菱形； （3）结合（2）可知只需在的条件下，增加一个条件，使得瓦里尼翁四边形是矩形即可，根据中位线定理可知增加的条件可以是． 【小问1详解】 材料中的依据是指：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．依据是指：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 且，理由如下： 由（2）可知：当时，瓦里尼翁四边形是菱形， 同理可得：，， 又∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形为正方形， 即要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是且． 22. 如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线相交于点，点为直线上一点． （1）求和的值； （2）若点在线段上，且，求点的坐标； （3）在平面直角坐标系中存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）存在，点的坐标为，， 【解析】 【分析】（1）将点代入函数表达式求解即可，再利用待定系数法求函数表达式即可． （2）根据点坐标求出，再利用求出，设点，利用面积求解即可． （3）根据平行四边形性质，对角线互相平分，注意需要分类讨论，求出中点坐标进行计算即可． 【小问1详解】 解: 把点代入得：， ∴点， 把点代入直线得：， 解得， ∴的值是， 的值是． 【小问2详解】 解：令时，则有，解得， ∴， ∴， 由(1)可知：， ∴， ∵，点在线段上， ∴，设点，， ∴， 解得：， 将代入得， ∴点． 【小问3详解】 解：∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 为对角线时，也为对角线，设， ∴对角线中点坐标为， ∴，， 解得，， ∴． 为对角线时，也为对角线，设， ∴对角线中点坐标为， ∴，， 解得，， ∴． 为对角线时，也为对角线，设， ∴对角线中点坐标为， ∴，， 解得，， ∴． 综上所述，点坐标为，，． 23. 实践与探索 数学活动课上，老师带领同学们利用纸片开展活动． （1）如图1，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，请你判断四边形的形状，并说明理由； （2）【问题探索】如图2，在矩形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点在矩形纸片的内部，连接并延长，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在正方形纸片中，是边的中点，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形纸片内，延长交于点，若，请直接写出线段的长_________． 【答案】（1）四边形是正方形，理由如下 ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠的性质得：， ∴四边形是矩形， 又∵ ∴矩形是正方形 （2）四边形是平行四边形，理由如下 ∵点E是的中点， ∴ 由折叠的性质可得， ∴， ∴ 由折叠的性质可得 ∵ ∴， ∴ 在矩形中， ∴四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠性质可知，，结合矩形性质可得四边形是正方形； （2）由折叠性质可知，，则，利用外角导角可证，则，进而题目可解； （3）由题意得，，，则，设，在中勾股定理列方程可解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：连接， 由题意得，，， 又， ∴， ∴， 设， 在中， 解得， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $