27.3 实际问题与反比例函数(第3课时) 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的实际应用，通过复习反比例函数概念、图像性质及函数模型解决问题的步骤，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生分析实际问题变量关系。 其亮点在于以物理实验、中考真题、科技实例为载体，通过数据直观分析、模型建立与检验，发展学生模型观念和数据意识。课堂小结系统梳理解决问题步骤，学生能提升应用能力，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与 反比例函数(第3课时) 学习目标 1 2 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，选择合适的函数模型解决问题，发展模型观念. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 反比例函数 概念 表达形式 图象 和性质 一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中 x是自变量，y是x的函数. 反比例函数的三种表达形式：y=，y=kx−1，xy=k . (注意：k≠0) 与方程的关系 实际应用 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 增减性 对称性 ··· 应用 k的几何意义 双曲线y=与直线y=kx+b的交点 方程、不等式的解(集) 实际问题 解决 反比例函数 解析式 性质 图象 1 复习引入 利用函数模型解决实际问题的一般步骤： 实际问题 合适的函数模型 抽象 利用函数的 图象和性质求解 实际问题 的答案 目标 一次函数 反比例函数 二次函数 解析式 性质 图象 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型.面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题. 探究 某物理实验小组研究气体的压强p(单位：kPa)与体积V(单位：mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据.. 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系?如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 2 合作探究 分析：由表可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 2 合作探究 画出散点图 (1)数据的直观分析 画出趋势图 形似双曲线的一支 反比例函数 2 合作探究 设函数解析式为p=(V>0) (2)建立模型 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2000 2016 1968 2030 1956 2010 求出k的值 得到函数模型 计算所有k值的平均值，得 k=(2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型 p=. ① 2 合作探究 (3)检验模型 画出函数①的图象 将已知数据代入① 函数模型与实际 数据基本吻合 p=(V>0) 2 合作探究 (4)求解问题 函数模型 利用函数的 图象和性质求解 实际问题的答案 将p=132代入①，得 132=. 解得 V=≈15.13(mL). 因此，当压强为132 kPa时，气体的体积约为15.13 mL. 追问1 左表中的有些数对只能近似满足函数解析式；p=(V>0)，即右图中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立 函数模型的方式与你以往所学有什么不同? 序号 1 2 3 4 5 6 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 2 合作探究 p=(V>0) 2 合作探究 解：以往所学的函数模型，是确定性的精确模型，主要有以下特点： ①解析式给定； ②所有数据点都准确落在函数图象上； ③变量之间是严格的一一对应关系. 本题的建模方式是基于实验数据的近似拟合模型，主要有以下特点： ①解析式是根据实验数据拟合出来的； ②数据点只是近似满足函数关系，不会完全落在图象上； ③这种模型是对实际物理规律的近似刻画，允许存在合理的实验误差，更贴近真实情境中的变量关系. 追问2 结合“探究”和问题(1)所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. 2 合作探究 实际问题 合适的函数模型 解析式 性质 利用函数的 图象和性质求解 实际问题 的答案 目标 图象 一次函数 反比例函数 二次函数 (1)数据的直观分析 (2)建立模型 (3)检验模型 (4)求解问题 3 典例分析 中考演练(2026江苏扬州) “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中 描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 3 典例分析 中考演练(2026江苏扬州) “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中 描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 3 典例分析 中考演练(2026江苏扬州) “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（kmh）之间关系的函数表达式． 解：(2)观察表格数据，每组行车速度v与视野角度f的乘积近似等于4000，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为： f=(v>0)； 3 典例分析 中考演练(2026江苏扬州) “道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 解：(3)由题意，要求视野角度不小于80度，即f≥80，代入函数表达式得： ≥80，解得v≤50， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50 km/h，即0<v≤50 km/h． 3 典例分析 例 我国嫦娥六号探测器与地球之间的通信是通过无线电波实现的，电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化，已知某段电磁波在宇宙中，波长入与频率f的部分对应值如下表： (1)选择合适的函数模型，求出波长λ m关于频率f MHz的函数表达式： (2)嫦娥六号探测器与地球之间的通信要求电磁波的频率f大于300 MHz，求它的波长λ的取值范围． 3 典例分析 解：(1)由表格可知，λ·f=300， ∴λ=； (2)∵λ=， 当电磁波的频率为300 MHz时， ∴λ==1， 由反比例函数的性质知，当电磁波的频率大于300 MHz时，0<λ<1， 答：波长λ取值范围为0<λ<1． 4 巩固练习 1. 汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），v、t的一组对应值如下表： (1)根据表中的数据，可以将v与t看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午9:00从甲地出发，请通过计算说明在上午11:30之前能否到达乙地． 反比例 v= 4 巩固练习 解：(2)∵11时30分−9时=2.5（小时）， ∴v==120（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过100千米/小时，120>100， ∴在上午11:30之前不能到达乙地． 4 巩固练习 2. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到100°C时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至30°C时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于7:20到校接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的水温为y°C，水温随时间变化的测量数据如表所示： 请根据上述信息解决下列问题： 4 巩固练习 (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； 4 巩固练习 (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量x的取值范围； 4 巩固练习 解：(2)第一次加热：y是关于x的一次函数，设y=mx+30(m≠0)， 将点(7，100)代入，可得100=7m+30，解得m=10， ∴第一次加热过程的函数解析式为y=10x+30 (0≤x≤7)； 第一次降温：y是关于x的反比例函数，设y=(k≠0)， 将点(7，100)代入，可得100=，解得k=700， 当y=30时，则=30，解得x=， ∴第一次降温过程的函数解析式为y=(7<x≤)； 4 巩固练习 (3)上午第一节下课时间为8:45，同学们能不能喝到不超过50°C的水？请通过计算说明． 解：(3)能，计算过程如下：由题意得，由7:20到8:45，共计时长为85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式y= ，当y=30时，可得30= ，解得x=， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴y=≈46.7°℃ ， ∵46.7℃<50℃，∴同学们能喝到不超过50°C的水． “城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，这是2024年南昌地铁线路图．小华了解到地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256米 处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过 多少秒停下来，以及最后三秒滑行的距离．为 了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描 述列车离停车线的距离s(米)与滑行时间t(秒)的 函数关系，再应用该函数解决相应的问题． 5 当堂检测 (1)建立模型 ①收集数据 ②建立平面直角坐标系 为了观察s(米)与t(秒)的关系，建立如图所示的平面直角坐标系； ③描点连线 在平面直角坐标系中描出表中的点，请你用平滑的曲线依次连接； ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象； 5 当堂检测 二次 ⑤求函数解析式 请根据上述数据求出s关于t的函数解析式； 5 当堂检测 解：⑤设抛物线的解析式为s=at2+bt+c(a≠0)，根据题意，得： ， 解得， 故抛物线的解析式为s=t2−16t+256． (2)应用模型 列车从减速开始经过多少秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为多少米． 5 当堂检测 解：当s=0，得t2−16t+256=0， 解得t=32． 当t=29时， s1=×292−16×29+256=2.25； 当t=32时，s=0， 故2.25−0=2.25（米）， 答：列车从减速开始经过32秒，列车停止； 最后三秒钟，列车滑行的距离为2.25米． 6 课堂小结 利用函数模型解决实际问题的一般步骤： 实际问题 合适的函数模型 解析式 性质 利用函数的 图象和性质求解 实际问题 的答案 目标 图象 一次函数 反比例函数 二次函数 (1)数据的直观分析 (2)建立模型 (3)检验模型 (4)求解问题 6 课堂小结 反比例函数 概念 表达形式 图象 和性质 一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中 x是自变量，y是x的函数. 反比例函数的三种表达形式：y=，y=kx−1，xy=k . (注意：k≠0) 与方程的关系 实际应用 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 增减性 对称性 ··· 应用 k的几何意义 双曲线y=与直线y=kx+b的交点 方程、不等式的解(集) 实际问题 解决 合适的函数模型 解析式 性质 图象 7 布置作业 A B 习题27.3：第9题. 第83页数学活动：活动2：用简易密度计测量密度. $