精品解析：甘肃省环县第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

环县一中2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：湘教版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 以下四个命题中，真命题为（ ） A. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 B. 底面是矩形的平行六面体是长方体 C. 直四棱柱是直平行六面体 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点 4. 已知的直观图如图所示，//轴，//轴，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（ ） A. 若，，则与必异面 B. 若点，点，则直线 C. 若，，则 D. 若点，点，则直线与相交 6. 连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，N为线段上靠近A的三等分点，点P在上且则实数m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若为复数，则 10. 下列各式中，值不为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为，，圆台的母线与下地面所成角的正切值为，为上一点，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 当圆锥的圆锥的体积相等时， C. 圆台的体积为 D. 当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 13. 圆柱的底面周长为是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是___________cm． 14. 司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若与共线，求； （2）若，求． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求函数的值域． 17. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率． 18. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的值； （2）若． ①求a的值； ②求面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． （1）求证：为的中点； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 环县一中2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：湘教版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理运算求解. 【详解】由正弦定理，则， 故外接圆的半径为1. 故选：A. 2. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法运算结合共轭复数，复数几何意义可得答案. 【详解】复数， 则， 从而在复平面对应点为，在第四象限. 3. 以下四个命题中，真命题为（ ） A. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 B. 底面是矩形的平行六面体是长方体 C. 直四棱柱是直平行六面体 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】根据各几何体的定义即性质逐个选项判断即可. 【详解】A中， 如图，若，且，则该三棱锥不是正三棱锥，A是假命题； B中，平行六面体中侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题； C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故直四棱柱不一定是直平行六面体，C是假命题； D中，根据棱台的定义，D是真命题. 故选：D 4. 已知的直观图如图所示，//轴，//轴，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法概念结合题设可得答案. 【详解】根据斜二测画法可知，， 则． 5. 已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（ ） A. 若，，则与必异面 B. 若点，点，则直线 C. 若，，则 D. 若点，点，则直线与相交 【答案】D 【解析】 【分析】应用线面位置关系，线线位置关系关系判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，，则与平行或相交、或异面，故A为假命题； 对于B，若点，点，则直线平面或直线与平面相交，故B为假命题； 对于C，若，，则与平行或异面，故C为假命题； 对于D，若点，点，则直线与平面相交，故D为真命题； 故选：D. 6. 连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次1点的情况，再由古典概率求解即可. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点的情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是. 故选：B 7. 如图，在中，N为线段上靠近A的三等分点，点P在上且则实数m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由线性运算可得，由三点共线可得系数和为1，即可求出. 【详解】由题可得， ， 三点共线，，. 故选：D. 8. 如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若为复数，则 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：因为故选项A正确； 选项B：复数的虚部为，故选项B不正确； 选项C：若，则即，故选项C不正确； 选项D：设，所以， 则，故选项D正确. 10. 下列各式中，值不为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：； 对于B：； 对于C：； 对于D：． 11. 已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为，，圆台的母线与下地面所成角的正切值为，为上一点，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 当圆锥的圆锥的体积相等时， C. 圆台的体积为 D. 当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】转化求解圆台的母线长判断Q；利用比例关系判断B；求解体积判断C；取得球的表面积判断D． 【详解】解：圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点， ， 母线，与圆台的母线长为6矛盾，所以A错误； ，，B正确； ，C正确； 设球心到上底面的距离为，则，解得，，，D正确； 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 【答案】## 【解析】 【详解】由知为异面直线和所成的角． 在Rt中，，则， 即异面直线和所成角的大小是. 13. 圆柱的底面周长为是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是___________cm． 【答案】5 【解析】 【详解】圆柱的侧面展开图如图： 由圆柱的底面周长为，得，又， 在中，， 所以蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是. 14. 司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】设，由仰角分别得到，根据求解. 【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系： 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故，​ 如图可知，， 即， 解得：，因为高度为正，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若与共线，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立关于的方程进行求解； （2）根据平面向量的线性运算的坐标表示建立关于的方程组进行求解. 【小问1详解】 由题得， 因为与共线，， 所以，解得． 【小问2详解】 ，即， 则， 解得． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，进而求出最小正周期. （2）由指定区间求出相位范围，再利用正弦函数性质求出值域. 【小问1详解】 ． 所以函数的最小正周期． 【小问2详解】 由，得，则， 所以函数的值域为． 17. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可. 【小问1详解】 由题意可得 即解得或 由于，所以． 【小问2详解】 设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 18. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的值； （2）若． ①求a的值； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理以及两角和的正弦公式即可求解； （2）①根据已知条件以及(1)中结论，利用正弦定理和余弦定理求出，②结合均值不等式即可求解面积的最大值. 【小问1详解】 ， ， 化简可得： ， , ， 【小问2详解】 ①， ， ． ②由①得， ，当且仅当时等号成立， 面积的最大值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． （1）求证：为的中点； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：连接，，因为四边形是矩形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以，所以， 因为是的中点，所以为的中点． （2）证明：因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以， 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质，及矩形的性质证明，进而根据三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质证明，再根据线面垂直的判定及性质证明，从而根据线面垂直的判定及面面垂直的判定即可证明结论； （3）先确定直线与平面所成的角，再证明为二面角的平面角，从而得到，再结合余弦定理，勾股定理，正切函数的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作，垂足为，设中点为，连接，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 由（1）易得，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以为直线与平面所成角． 由（2）知平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角，即， 设，在中，由余弦定理得，解得， 所以，，， 又，所以， 所以，即直线与平面所成角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $